高二人教A版必修5系列教案：1.1.1正弦定理1 .doc

第一章 解斜三角形 1．1．1 正弦定理 （一）教学目标 1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方 法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题 2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关 系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用 的实践操作。 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情 推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间 的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 （二）教学重、难点 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：正弦定理的推导即理解 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： ，接着就一般斜 三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导， 让学生发现向量知识的简捷，新颖。 教学用具：直尺、投影仪、计算器 （四）教学过程 1[创设情景] 如图 1．1-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 2[探索研究] (图 1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等 式关系。如图 1．1-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的定义，有 ， ，又 , A 则 b c 从而在直角三角形 ABC 中， C a B (图 1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： si n si n si n a b c A B C = = ∆ ∠ ∠ ∠ ∆ si na Ac = si nb Bc = si n 1 cC c = = si n si n si n a b c cA B C = = = si n si n si n a b c A B C = =如图 1．1-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的 定义，有 CD= ,则 ， C 同理可得 ， b a 从而 A c B (图 1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 （证法二）：过点 A 作 ， C 由向量的加法可得 则 A B ∴ ∴ ，即 同理，过点 C 作 ，可得 从而 类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 ， ， ； （2） 等价于 ， ， 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ； β ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 ∆ si n si na B b A= si n si n a b A B = si n si n c b C B = si n si n a b A B = si n c C = j AC⊥  AB AC CB= +   ( )j AB j AC CB⋅ = ⋅ +     j AB j AC j CB⋅ = ⋅ + ⋅      j ( ) ( )0 0cos 90 0 cos 90− = + −   j AB A j CB C sin sin=c A a C sin sin =a c A C ⊥ j BC sin sin =b c B C si n si n a b A B = si n c C = ∆ si n si n a b A B = si n c C = si na k A= si nb k B= si nc k C= si n si n a b A B = si n c C = si n si n a b A B = si n si n c b C B = si n a A = si n c C si n si n b Aa B = si n si naA Bb =3[例题分析] 例 1．在 中，已知 ， ， cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， ； 根据正弦定理， ； 根据正弦定理， 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2　如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，求证： 证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理， 得 ， ， 两式相除得 五巩固深化反馈研究 1 已知ΔABC 已知 A=600，B=300，a=3；求边 b=（）　: Ａ　　３　　　Ｂ ２ Ｃ D （2）已知ΔABC 已知 A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（） A 8 B 4 C 4 -3 D 8 -8 （3）正弦定理的内容是———————————— （4）已知 a+b=12 B=450 A=600 则则则 a=------------------------，b=------------------------ （5）已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为 4:5:6，有三角形的周长为 7.5，则其三边长分别为 -------------------------- （6）．在ΔABC 中，利用正弦定理证明 六，课堂小结（有学生自己总结） 七 课外作业：P10. A1, B1 ∆ABC 032.0=A 081.8=B 42.9=a 0180 ( )= − +C A B 0 0 0180 (32.0 81.8 )= − + 066.2= 0 0 sin 42.9sin81.8 80.1( )sin sin32.0 = = ≈a Bb cmA 0 0 sin 42.9sin66.2 74.1( ).sin sin32.0 = = ≈a Cc cmA BD AB DC AC = sin sin BD AB β α= 0sin sin(180 ) sin DC AC AC β α α= =− BD AB DC AC = 3 2 3 3 ==+ c ba C BA sin sinsin + A B CD A B CD β α1800− α