高二人教A版必修5系列教案：1.1.1正弦定理2 .doc

1．1 正弦定理（教学设计） 教学目标 1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方 法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关 系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用 的实践操作。 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情 推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间 的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重、难点 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 学法与教学用具 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： ，接着就一般斜 三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导， 让学生发现向量知识的简捷，新颖。 教学过程： 一、创设情景、新课引入 如图 1．1-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 二、新课讲解： (图 1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等 式关系。如图 1．1-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的定义，有 ， ，又 , A 则 b c 从而在直角三角形 ABC 中， C a B (图 1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 1．1-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的 定义，有 CD= ,则 ， si n si n si n a b c A B C = = ∆ ∠ ∠ ∠ ∆ si na Ac = si nb Bc = si n 1 cC c = = si n si n si n a b c cA B C = = = si n si n si n a b c A B C = = ∆ si n si na B b A= si n si n a b A B = C 同理可得 ， b a 从而 A c B (图 1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 （证法二）：过点 A 作 ， C 由向量的加法可得 则 A B ∴ ∴ ，即 同理，过点 C 作 ，可得 从而 类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 ， ， ； （2） 等价于 ， ， 从而知正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 ； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] si n si n c b C B = si n si n a b A B = si n c C = j AC⊥  AB AC CB= +   ( )j AB j AC CB⋅ = ⋅ +     j AB j AC j CB⋅ = ⋅ + ⋅      j ( ) ( )0 0cos 90 0 cos 90− = + −   j AB A j CB C sin sin=c A a C sin sin =a c A C ⊥ j BC sin sin =b c B C si n si n a b A B = si n c C = ∆ si n si n a b A B = si n c C = si na k A= si nb k B= si nc k C= si n si n a b A B = si n c C = si n si n a b A B = si n si n c b C B = si n a A = si n c C si n si n b Aa B = si n si naA Bb =例 1（课本例题）．在 中，已知 ， ， cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， ； 根据正弦定理， ； 根据正弦定理， 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 变式训练 1：已知在 解： ∴ 由 得 由 得 例 2．（课本例题）在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精 确到 ，边长精确到 1cm）。 解：根据正弦定理， 因为 ＜ ＜ ，所以 ，或 ⑴ 当 时， ， ⑵ 当 时， ， ∆ABC 032.0=A 081.8=B 42.9=a 0180 ( )= − +C A B 0 0 0180 (32.0 81.8 )= − + 066.2= 0 0 sin 42.9sin81.8 80.1( )sin sin32.0 = = ≈a Bb cmA 0 0 sin 42.9sin66.2 74.1( ).sin sin32.0 = = ≈a Cc cmA BbaCAcABC 和求中， ,,30,45,10 00 ===∆ 00 30,45,10 === CAc 00 105)(180 =+−= CAB C c A a sinsin = 21030sin 45sin10 sin sin 0 0 =×== C Aca C c B b sinsin = 25654 262075sin20 30sin 105sin10 sin sin 0 0 0 +=+×==×== C Bcb ∆ABC 20=a 28=b 040=A 01 0sin 28sin40sin 0.8999.20 = = ≈b AB a 00 B 0180 064≈B 0116 .≈B 064≈B 0 0 0 0 0180 ( ) 180 (40 64 ) 76= − + ≈ − + =C A B 0 0 sin 20sin76 30( ).sin sin40 = = ≈a Cc cmA 0116≈B 0 0 0 0 0180 ( ) 180 (40 116 ) 24= − + ≈ − + =C A B评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 变式训练 2： （1）在 （2）在 解：（1）∵ ∴ （2） ， 例 3：已知 ABC 中， A ， ,求 分析：可通过设一参数 k(k>0)使 , 证明出 解：设 则有 ， ， 从而 = = 又 ，所以 =2 评述：在 ABC 中，等式 0 0 sin 20sin24 13( ).sin sin40 = = ≈a Cc cmA CAacBbABC ,,1,60,3 0 和求中， ===∆ CBbaAcABC ,,2,45,6 0 和求中， ===∆ 2 1 3 60sin1sinsin,sinsin 0 =×==∴= b BcCC c B b 000 90,30,,60, ==∴ BCCBCBcb 为锐角， 222 =+= cba 2 3 2 45sin6sinsin,sinsin 0 =×==∴= a AcCC c A a  00 12060,sin 或=∴o)si n c k kC = = si na k A= si nb k B= si nc k C= si n si n si n a b c A B C + + + + si n si n si n si n si n si n k A k B k C A B C + + + + k si n a A = 0 3 2si n60 k= = si n si n si n a b c A B C + + + + ∆ si n si n a b A B = si n c C = = ( )0si n si n si n a b c k kA B C + + = >+ +恒成立。 变式训练 3：已知 ABC 中， ，求 （答案：1：2：3） 例 4：在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， 求证：三角形面积 （记忆：两边夹角正弦值的一半） 附：（课本 P8 探究与发现的分析） 已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况: ⑴若 A 为锐角时: ⑵若 A 为直角或钝角时: 三、课堂小结 （1）定理的表示形式： ； 或 ， ， （2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 四、课时必记：（优化设计 P1 知识拓展） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 =2R （其中 R 指的是三角形外接圆的半 径） 五、分层作业： A 组：： 1 在△ABC 中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC 为( A ) A 直角三角形 B 等腰直角三角形C 等边三角形 D 等腰三角形 b a b a b a b a a 已知边a,b和∠A 仅有一个解有两个解仅有一个解无解 a≥bCH=bsinA