高二人教A版必修5系列教案：1.1正余弦定理知识点归纳考点分析及例题讲解 .doc

正余弦定理考点分析及例题讲解 考点回顾： 1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，tanA＝ 。 2. 2．斜三角形中各元素间的关系： 如图 6-29，在△ABC 中，A、B、C 为其内角，a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 。（R 为外接圆半径） 3. 正弦定理： a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R 的常见变形： (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2) a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝ a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C＝2R； (3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (4)sin A＝ a 2R，sin B＝ b 2R，sin C＝ c 2R. 4. 三角形面积公式：S＝ 1 2absin C＝ 1 2bcsin A＝ 1 2casin B. 5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍。 c a c b b a RC c B b A a 2sinsinsin === 余弦定理的公式： 或 . 6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 7. 判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 8. 解题中利用 中 ，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的 运算， 如： . 9. 解三角形的问题一般可分为下面两种情形： 若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则 称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是： 设△ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C。 （1）角与角关系：A+B+C = π； （2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； （3）边与角关系： 典例解析 题型 1：正弦定理 例 1、在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝　　　　 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C  = + −  = + −  = + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos 2 b c aA bc a c bB ac b a cC ab  + −=  + − =   + −= ABC∆ A B C π+ + = sin( ) sin ,A B C+ = cos( ) cos ,A B C+ = − tan( ) tan ,A B C+ = − sin cos ,cos sin ,tan cot2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B C+ + += = =例 2．在△ABC 中，sinA＝sinC，则△ABC 是 (　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 题型 2：余弦定理 例 1、在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 A＝ π 3 ，a＝ 3，b＝1，则 c 等于(　　) A．1 B．2 C. 3－1 D. 3 解析　由余弦定理得 cosA＝ b2＋c2－a2 2bc ，∴ 1 2＝ 1＋c2－3 2 × 1 × c， ∴c2－2＝c，∴c＝2 或 c＝－1(舍)． 巩固练习： 1、在△ABC 中， (1)若 a2＋b2－c2＝0，则 C＝________； (2)若 c2＝a2＋b2－ab，则 C＝________； (3)若 c2＝a2＋b2＋ 2ab，则 C＝_______. (4)在△ABC 中，已知 a＝1，b＝2，C＝60°，则 c 等于( ) A. 3 B．3 C. 5 D．5 2、在△ABC 中，若 b2＝a2＋c2＋ac，则 B 等于 (　　) A．60° B．45°或 135° C．120° D．30° 题型 3：正弦、余弦定理求角度 例 1、(2013·湖南·文 5)在锐角△ABC 中,角 A、B 所对的边长分别为 a,b.若 2asinB= b,则角 A 等于( ). 1. 3、在△ABC 中，已知 b＝3，c＝3 3，A＝30°，则角 C 等于 (　　) A．30° B．120° C．60° D．150° 32. 4、在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos 2C＝－ 1 4. (1)求 sin C 的值； (2)当 a＝2,2sin A＝sin C 时，求 b 及 c 的长． 2．解　(1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－ 1 4，0b. 9、如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由 增加的长度确定 解析：设直角三角形三边长为 a，b，c，且 a2＋b2＝c2， 则(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2 ＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0， ∴c＋x 所对的最大角变为锐角． 10、在△ABC 中，sin A＝sin B，则△ABC 是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰 三角形 11、在△ABC 中，若 a cos A＝ b cos B＝ c cos C，则△ABC 是(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案　B 解析　由正弦定理知： sin A cos A＝ sin B cos B＝ sin C cos C，∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝ C. 12、在△ABC 中，sin A＝ 3 4，a＝10，则边长 c 的取值范围是(　　) A.(15 2 ，＋∞) B ． (10 ， ＋ ∞) C ． (0,10) D.(0， 40 3 ] 解析　∵ c sin C＝ a sin A＝ 40 3 ，∴c＝ 40 3 sin C.∴0b，得 A>B，∴B＝30°，故 C＝90°， 由勾股定理得 c＝2. 18、在单位圆上有三点 A，B，C，设△ABC 三边长分别为 a，b，c，则 a sin A＋ b 2sin B＋ 2c sin C ＝________. 19、在△ABC 中，A＝60°，a＝6 3，b＝12，S△ABC＝18 3，则 a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C＝ ________，c＝________. 解析　 a＋b＋c sin A＋sin B＋sin C＝ a sin A＝ 6 3 3 2 ＝12. ∵S△ABC＝ 1 2absin C＝ 1 2×6 3×12sin C＝18 3， ∴sin C＝ 1 2，∴ c sin C＝ a sin A＝12，∴c＝6. 20、在△ABC 中，求证： a－ccos B b－ccos A＝ sin B sin A. 证明　因为在△ABC 中， a sin A＝ b sin B＝ c sin C＝2R， 所以左边＝ 2Rsin A－2Rsin Ccos B 2Rsin B－2Rsin Ccos A ＝ sinB＋C－sin Ccos B sinA＋C－sin Ccos A＝ sin Bcos C sin Acos C＝ sin B sin A＝右边． 所以等式成立，即 a－ccos B b－ccos A＝ sin B sin A. 22、在△ABC 中，B＝60°，最大边与最小边之比为( 3＋1)∶2，则最大角为(　　) A．45° B．60° C．75° D．90° 解析　设 C 为最大角，则 A 为最小角，则 A＋C＝120°，∴ sin C sin A＝ sin(120°－A) sin A ＝ sin 120° cos A－cos 120°sin A sin A ＝ 3 2tan A＋ 1 2＝ 3＋1 2 ＝ 3 2 ＋ 1 2， ∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°.23、在△ABC 中，a，b，c 分别是三个内角 A，B，C 的对边，若 a＝2，C＝ π 4 ，cos B 2＝ 2 5 5 ， 求△ABC 的面积 S. 解　cos B＝2cos2 B 2－1＝ 3 5， 故 B 为锐角，sin B＝ 4 5. 所以 sin A＝sin(π－B－C)＝sin(3π 4 －B)＝ 7 2 10 . 由正弦定理得 c＝ asin C sin A ＝ 10 7 ， 所以 S△ABC＝ 1 2acsin B＝ 1 2×2× 10 7 × 4 5＝ 8 7.