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第五章 二元一次方程组
1.认识二元一次方程组
一、学生起点分析
学生的知识技能基础:学生在七年级上册已学过一元一次方程,学生已经具
备列一元一次方程解决实际问题的经验基础,为本节的学习已做好知识储备,估
计学生应有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组,解决简单的实际问题.
学生活动经验基础:本节所涉及的实际问题包括:老牛、小马驮包裹问题、
公园的门票问题等,这些问题均为全体学生所熟悉的情境,容易被学生接受和理
解,从而也容易建立相应的数学模型来解题.
二、教学任务分析
《谁的包裹多》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级(上)第
五章《二元一次方程组》的第一节,本节内容安排 1 个课时完成.具体内容是:
让学生通过对实际问题的分析,体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型;
同时了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念,并会判断一组数是
不是某个二元一次方程组的解.
二元一次方程是继一元一次方程后,又一个体现符号表示思想的内容,它是
刻画现实世界的一个有效数学模型,在数学上有着广泛的应用,同时也是学习物
理、化学等其他学科知识的一个重要基础.它既是一元一次方程知识的延伸和拓
广,又是今后学习一般线性方程组及平面解析几何等知识的基础,具有承上启下
的作用.列方程(组)解应用题是联系实际的重要方面,突显了方程作为一种数
学模型的重要特征,这既是培养学生逻辑思维能力的良好载体,也是培养学生应
用意识和实践能力的良好题材.
基于学生对一元一次方程理解的基础上,教科书从实际问题出发,通过引导
学生经历自主探索和合作交流的活动,学习二元一次方程、二元一次方程组及其
解等基本概念.在学习过程中,要突出强调建模思想,展现方程是刻画现实世界
的有效数学模型,是贯穿方程与方程组的一条主线. 为此,本节课的教学目标是:
(1)理解二元一次方程(组)及其解的概念, 能判别一组数是否是二元一
次方程(组)的解;2
(2)会根据实际问题列简单的二元一次方程或二元一次方程组;
(3)通过加深对概念的理解,提高对“元”和“次”的认识,而且能够逐步培
养类比分析和归纳概括的能力,了解变与不变的辩证统一的思想.
本节课的教学重点是:
(1)掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念,理解它们解的含义;
(2)判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.
本节课的教学难点是:
从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程,体会方程的模型思想.
三、教学过程设计
本节课设计了四个教学环节:
第一环节:情境引入;第二环节:新课讲解,练习提高;第三环节:课堂小
结;第四环节:布置作业.
第一环节:情境引入
内容:
(一)情境 1
实物投影,并呈现问题:在一望无际的呼伦贝尔大草原上,一头老牛和一
匹小马驮着包裹吃力地行走着,老牛喘着气吃力地说:“累死我了”,小马说:“你
还累,这么大的个,才比我多驮 2 个.”老牛气不过地说:“哼,我从你背上拿来
一个,我的包裹就是你的 2 倍!”,小马天真而不信地说:“真的?!”同学们,
你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢?
请每个学习小组讨论(讨论 2 分钟,然后发言).教师注意引导学生设两个
未知数,从而得出二元一次方程.
这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数,我们设老牛驮 x 个
包裹,小马驮 y 个包裹,老牛的包裹数比小马多 2 个,由此得方程 ,若
老牛从小马背上拿来 1 个包裹,这时老牛的包裹是小马的 2 倍, 得方程:
.
(二)情境 2
实物投影,并呈现问题:昨天,有 8 个人去红山公园玩,他们买门票共花了
2x y− =
( )1 2 1x y+ = −3
34 元.每张成人票 5 元,每张儿童票 3 元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童
呢?同学们,你们能否用所学的方程知识解决呢?
仍请每个学习小组讨论(讨论 2 分钟,然后发言),老师注意引导学生分析
其中有几个未知量,如果分别设未知数,将得到什么样的关系式?
这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数,我们设他们中有
x 个成年人,有 y 个儿童,在题目的条件中,我们可以找到的等量关系为:成人
人数+儿童人数=8,成人票款+儿童票款=34.由此我们可以得到方程
和 .
在这个问题中,可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答,我们要肯定
学生的做法,并将学生的答案保留下来,放到第二节二元一次方程组解法的学习
中去,让学生更有学习的好奇心与积极性.同时告诉学生在某些有两个等量关系
的实际问题中,列二元一次方程组比列一元一次方程更快捷、清楚.
目的:通过现实情景再现,让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模
型,培养学生良好的数学应用意识.
设计效果:学生通过前面的情景引入,在老师的引导下,列出关注两个未知
数的方程,为后续关于二元一次方程的讨论提供了素材,同时,有趣的情境,也
激发了学生学习的兴趣.
第二环节:新课讲解,练习提高
内容:
(一)二元一次方程概念的概括
提请学生思考:上面所列方程有几个未知数?所含未知数的项的次数是多
少?从而归纳出二元一次方程的概念:含有两个未知数,并且所含未知数的项的
次数都是 1 的方程.教师对概念进行解析,要求学生注意:这个定义有两个要求:
①含有两个未知数;
②所含未知数的项的最高次数是一次.
再呈现一些关于二元一次方程概念的辨析题,进行巩固练习:
1.下列方程有哪些是二元一次方程:
(1) ,(2) ,(3) ,
8x y+ =
5 3 34x y+ =
093 =−+ yx 01223 2 =+− yx 743 =− ba4
(4) ,(5) ,(6) .
2.如果方程 是二元一次方程,那么 m= ,n= .
(二)二元一次方程组概念的概括
师提请学生思考:上面的方程 中的 x 含义相同吗?
y 呢?(两个方程中 x 的表示老牛驮的包裹数,y 表示小马的包裹数,x、y 的含
义 分 别 相 同 . ) 由 于 x 、 y 的 含 义 分 别 相 同 , 因 而 必 同 时 满 足 和
,我们把这两个方程用大括号联立起来,写成 ,从
而得出二元一次方程组的概念:像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成
的一组方程.如:
注意:在方程组中的各方程中的同一个字母必须表示同一个对象.
再呈现一些辨析题,让学生进行巩固练习:
判断下列方程组是否是二元一次方程组:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(三)因承上面的情境,得出有关方程的解的概念
1. 适合方程 吗? 呢? 呢?你还能
找到其他 x,y 值适合 方程吗?
2. 适合方程 吗? 呢?
3.你能找到一组值 x,y 同时适合方程 和 吗?各小组合作
完成,各同学分别代入验算,教师巡回参与小组活动,并帮助找到 3 题的结论.
由学生回答上面 3 个问题,老师作出结论:
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的解.
113 =−
yx ( ) 523 =− yxx 152
=− nm
132 21 =− +− nmm yx
2 1 2 1( )x y x y− = + = −,
2x y− =
( )1 2 1x y+ = −
( )
−=+
=−
.121
,2
yx
yx
=−
=+
;03
,332
yx
yx
=+
=+
.8
,835
yx
yx
=+
=−
;1253
,12
yx
yx
=−
=+
;53
,12
yx
yx
=+
=−
;153
,37
zy
yx
=
=
;2
,1
y
x
=+
=−
;1283
,52
yx
yx
=+
=−
.325
,132
bab
ba
6, 2x y= = 8x y+ = 5, 3x y= = 4, 4x y= =
8x y+ =
5, 3x y= = 5 3 34x y+ = 2, 8x y= =
8x y+ = 5 3 34x y+ =5
如 x=6, y=2 是方程 x+ y =8 的一个解,记作 ;同样, 也是方
程 的一个解,同时 又是方程 的一个解.
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
例如, 就是二元一次方程组 的解.
然后,同样呈现一些辨析性练习:(投影)
1.下列四组数值中,哪些是二元一次方程 的解?
(A) (B) (C) (D)
2.二元一次方程 的解有:
……
3.二元一次方程组 的解是( )
(A) (B) (C) (D)
4.以 为解的二元一次方程组是( )
(A) (B)
(C) (D)
5.二元一次方程 的正整数解为 .
6.如果 是 的解,那么 m= ,n= .
=
=
2
,6
y
x
=
=
3
,5
y
x
8x y+ =
=
=
3
,5
y
x 5 3 34x y+ =
=
=
3
,5
y
x
=+
=+
3435
,8
yx
yx
13 =− yx
=
=
;3
,2
y
x
=
=
;1
,4
y
x
=
=
;3
,10
y
x
−=
−=
.2
,5
y
x
2832 =+ yx
=
=
._____
,5
y
x
−=
=
.2
_____,
y
x
=
−=
._______
,5.2
y
x
=
=
.3
7
_____,
y
x
=
=+
xy
yx
2
,102
=
=
;3
,4
y
x
=
=
;6
,3
y
x
=
=
;4
,2
y
x
=
=
.2
,4
y
x
=
=
2
,1
y
x
=−
=−
;13
,3
yx
yx
−=+
−=−
;53
,1
yx
yx
−=+
−=−
;553
,32
yx
yx
=+
−=−
.53
,1
yx
yx
6=+ yx
=
=
2
,1
y
x
=−
=+
nyx
myx
3
,26
7.写出一个以 为解的二元一次方程组为 . (答案不唯一)
目的:通过新课的讲解以及学生的练习,充分做到讲练结合,让学生更好巩
固新知识.
设计效果:通过本环节的讲解与训练,让学生对利用新知识解决一些简单问
题有更加明确的认识,同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的,需要前后联系,
才能更好地处理一些新问题.
第三环节:课堂小结
内容:
1.含有两未知数,并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一
次方程.
2.二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值,它有无数个解.
3.含有两个未知数的两个二元一次方程组成的一组方程,叫做二元一次方程
组,它的解是两个方程的公共解,是一组确定的值.
目的:引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法,从而将本节知识点
进行很好的回顾以加深学生的印象,同时使知识系统化.
设计效果:本环节虽然用时不多,却是必不可少的教学环节,对学生回顾与
整理本节课的知识效果明显.
第四环节:布置作业
习题 5.1
四.教学设计反思
1.本节课充分体现了从问题情景中抽象数学问题、使用各种数学语言表达问
题、建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有
意义的这一变化学习过程.在教学中力求体现“问题情景——建立数学模型——解
释、应用与拓展”的模式,使学生在自主探索和合作交流的过程中建立二元一次
方程的数学模型,学会逐步掌握基本的数学知识和方法,形成良好的数学思维习
惯和应用意识,提高自己解决问题的能力,感受数学创造的乐趣,增进学好数学
的信心,获得对数学较全面的体验和理解.
−=
=
3
,2
y
x7
2.通过情境引入,让同学们体会到了生活中的数学无处不在,激发了学生强
烈的求知欲望,学生的反应非常积极踊跃,丰富了学生们的情感与态度.充分利
用小组合作交流,让同学们自己找出方程中的等量关系,启发同学们自己说出各
个定义的理解.在同学们合作做题的时候,老师进一步强调小组合作交流、合理
分配时间会取得更好的效果.教学过程各环节紧紧相扣,整个教学过程逻辑思维
清晰,问题与问题之间衔接紧密,每一步都为下一步做了很好的铺垫.
3.这个案例主要针对中等生而设计,教师可根据学生学习能力再进行设计上
的侧重.比如,学生学习能力较强,可在实际问题中抽象二元一次方程组的模型
环节、课后的拓展环节增加适当的深层次的内容,以满足学生的学习需要.