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第七章 平行线的证明
1.为什么要证明
一、学生知识状况分析
学生的技能基础:在七年级和八年级上学生学习了很多与几何相关的知识,为今
天的进一步的学习作好了知识储备,同时,学生也经历了很多验证结论合理性的过程,
有了初步的逻辑推理思维,合情推理能力得到了很大的提高,为今天系统的培养学生严
谨的逻辑推理能力打下了良好的基础.
学生活动经验基础: 在以往的几何学习中,学生已经参与了对几何图形的观察、
比较、动手操作、猜测、归纳等活动,对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很
大的帮助.
二、教学任务分析
学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面,但如果学生仅有对图形的直观感
受而不能进行推理、论证,有时是会产生错误的结论,本课时安排《你能肯定吗》的教
学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞,从而使学生对原有的直观感
觉产生怀疑,从而确立对某一事物进行合理论证的必要性。因此,本课时的教学目标是:
1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否.
2.经历观察、验证、归纳等过程,使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑,以
此激发学生的好奇心,从而认识证明的必要性,培养学生的推理意识.
3.了解检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理论证等.
三、教学过程分析
本节课的教学思路为:验证活动(1)——猜想并验证活动(2)——猜想并验证活
动(3)——经验总结——学生练习——课堂小结——巩固练习
第一环节:验证活动(1)
活动内容:
某学习小组发现,当 n=0,1,2,3 时,代数式 n2-n+11 的值都是质数,于是得到2
结论:对于所有自然数 n, n2-n+11 的值都是质数.你认为呢?与同伴交流.
参考答案:列表归纳为
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
n2-n+11 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 121
是否为
质数
是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 不是
活动目的:
对现在结论进行验证,让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性(欺骗性),从而对
不完全归纳的合理性产生怀疑,为下一步的学习提供必要的精神准备.
注意事项:
学生通过列表归纳,根据自己以往的经验判断,在 n=10 以前都一直认为 n2-n+11 是
一个质数,但当 n=10 时,找到了一个反例,进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定
某个数学结论的正确性.
第二环节:猜想并验证活动(2)
活动内容:
如图,假如用一根比地球的赤道长 1 米的铁丝将地球赤道围
起来,那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大(把地球看成球
形)?能放进一个红枣吗?能放进一个拳头吗?
参考答案:设赤道周长为 c,铁丝与地球赤道之间的间隙为 :
它们的间隙不仅能放进一个红枣,而且也能放进一个拳头.
活动目的:
通过理性的计算,验证了很难想像到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自
己的直观感觉产生怀疑,再次为论证的合理性提供素材.
注意事项:
要充分让学生发表自己的见解,首先让学生对自己的结论确信无疑,再进一步计算,
结果与学生的感觉产生矛盾,切忌直接进行计算,把结论告诉学生,这样就达不到预想
的要求,不能让学生留下深刻的印象.
)(16.02
1
22
1 mcc ≈=−+
πππ3
第三环节:猜想并验证活动(3)
活动内容:
如图,四边形 ABCD 四边的中点 E、F、G、H,度量四边形 EFGH 的边和角,你能
发现什么结论?改变四边形 ABCD 的形状,还能得到类似的结论吗?
参考答案:连接 AC.
∵E、F、G、H 分别是四边形 ABCD 四边中点,
∴EF∥AC,EF= AC;GH∥AC,GH= AC;
∴EF 平行且等于 GH,
∴四边形 EFHG 为平行四边形.
活动目的:
通过对图形的直观感受得出结论,但要使学生清楚地知道对几何结论的验证,通常
是用严谨的逻辑推理来论述.
注意事项:
让学生大胆地进行预测,但要让学生说清理由,让学生了解几何证明的必要性.
第四环节:归纳与总结
活动内容:
① 通过以上三个数学活动,使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑,从而
知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对其进行肯定.也即:
要判断一个数学结论是正确,仅观察、猜想、实验还不够,必须经过一步一步, 有根
有据的推理.
②举例说明“推理意识”与推理方法.
活动目的:
使学生理解仅有对图形的直观感受是不够的,从而帮助学生建立推理意识.
注意事项:
让学生用自己的语言进行叙述,培养学生的表达能力.
第五环节:反馈练习
2
1
2
1
A
B
E
C
D
F
G
H4
活动内容:1.如图中两条线段 a 与 b 的长度相等吗?请你先观察,再度量一下.
答案:a 与 b 的长度相等.
第 1 小题图 第 2 小题图
2.如图中三条线段 a、b、c,哪一条线段与线段 d 在同一直线上?请你先观察,再用三角
尺验证一下.
答案:线段 b 与线段 d 在同一直线上.
3.当 n 为正整数时,n2+3n+1 的值一定是质数吗?
答案:经验证:当 n 为正整数时,n2+3n+1 的值一定是质数.
第六环节:课堂小结
活动内容:
今天这节课你学到了什么知识?
参考答案:① 要说明一个数学结论是否正确,无论验证多少个特殊的例子,也无法保
证其正确性.
②要确定一个数学结论的正确性,必须进行一步一步、有根有据的推理.
活动目的:
通过学生的总结,使学生对证明的必要性有一个清楚的认识,数学杜绝随意性,数
学是严密的科学.
注意事项:
通过前三个例题的感受以及反馈练习,学生都清楚地知道推理、论证的必要性,了
解了数学不是一种直观感受,而是一种严密的科学.
第七环节 巩固练习
课本第 217 页习题 6.1 第 2,3 题.5
四、教学反思
本节课的教学设计是建立在“以学生的发展为本,为学生的终身学习奠定基础”的
教育理念上,融入了新课标的思想内涵,尊重学生的直观感觉,并从学生的直观感觉出
发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面,不是一味地强调证明的必要性,而
是通过几个事实的说明来让学生意识到证明的必要性,设计中突出体现了学生的主体地
位.
在教学设计中,力求让学生学会将生活问题数学化,用一个有趣的生活问题:“用
一根铁丝将地球赤道围起来”引起学生的兴趣并进行猜测,然后通过计算得出一个令人
很意外的结果,同时也培养了学生“用数学”的意识,并且使得学生有一种感受:数学
来源于生活,服务于生活,同时也要用数学的眼光看世界,切勿盲信于自己的直观感觉.
本节课通过事例让学生体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理
等.符合学生的认识特点和知识水平。有助于培养学生理解问题、分析问题、解决问题
的能力.