2 一次函数与正比例函数 教学设计.doc

第四章 一次函数 ２．一次函数 一、学生起点分析 在七年级下期学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续 通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系 是否可看作函数。本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数.由于 有前面内容的铺垫，学生已经会建立变量之间的关系，可能有部分学生表述上还 不太规范，在教学中，教师要注意纠正学生的一些错误习惯，如将解析式写成 等，培养学生良好的书写习惯. 二、教学任务分析 《一次函数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书 八年级 (上) 第四章 《一次函数》的第二节.本节内容安排了 1 个课时：让学生理解一次函数和正比 例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函 数的观点认识现实世界的意识和能力. 与原传统教材相比，新教材更注重借助生活中的实际背景，让学生经历一般 规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念；同时，新教材调整了知识 的安排顺序，原来教材正比例函数在一次函数前面，而新教材是将正比例函数作 为一次函数特殊情况给出来的. 本节课教学目标分析是： (1)理解一次函数和正比例函数的概念； (2)能根据所给条件写出简单的一次函数表达式. (3)经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力； (4)经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，发展学生的数学应用能力. (5)体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发 学生学数学、用数学的兴趣. (6)在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心. 本节课教学重点是： 理解一次函数和正比例函数的概念. 本节课教学难点是： 1, 1x y x y+ = − = − 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力. 三、教学过程设计 本节课设计了七个环节: 第一环节:复习引入；第二环节：新课讲述；第三 环节：巩固练习；第四环节：知识提高；第五环节：反馈练习；第六环节：课堂 小结；第七环节：布置作业. 第一环节：复习引入 内容：复习上节课学习的函数,教师提出问题: (1)什么是函数? (2)函数有哪些表示方式? (3)在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些 例子呢? 意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧 知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学 生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识. 效果： 问题(1)(2)学生都能快而准的回答,问题(3)是在一个开放的环境中回答,学 生不能很准确的表述出来,可让学生互相补充,也可教师进行补充、完善.通过学 生亲身经历了感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受成 功的喜悦,充分体现了本节课的情感、态度目标. 若课堂气氛比较沉闷,也可由教师先举例,让学生来列函数表达式,激发学生 的学习激情,再让学生举例:(如可补充如下习题) ①假设某学生骑自行车的速度为 10km/h,则他骑自行车用的时间 t(h)和所 走过的路程 s 之间的关系是什么? ②上网费用是 2 元/小时,则上网 t(小时),费用 y(元)的关系式是什么? 第二环节：新课讲述 内容： 例 1 某弹簧的自然长度为 3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量 x 每增加 1kg,弹簧长度 y 增加 0.5cm. (1)计算所挂物体的质量分别为 1kg、2kg、3kg、4kg、5kg 时的弹簧长度,并 填入下表: x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm (2)你能写出 x 与 y 之间的关系式吗? 答案 (1) 3、3.5、4、4.5、5、5.5 ；(2) . 例 2 某辆汽车油箱有汽油 100L,汽车每行驶 50km 耗油 9L. (1)完成下表: 汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300 油箱剩余汽油量 y/L (2)你能写出 x 与 y 之间的关系式吗? (3)汽车行驶的路程 x 可以无限增大吗?有没有一个取值范围?剩余油量 y 呢? 答案 (1) 100、91、82、73、64、46； (2) x 与 y 之间的关系式为 ； (3) 汽车行驶路程 x 不可能无限增大,因为汽油只有 100L,每行驶 50km 耗油 9L,行驶 560km 后,油箱就没有油了,所以 x 不会超过 560km.y 代表油 箱剩余油量,所以 y 应该小于 100 但不能小于零. 通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念: 一般地,若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 ( 为常数, ≠ 0)的形式,则称 是 的一次函数( 是自变量, 为因变量).特别地,当 时, 则 是 的正比例函数. 意图：从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发,通 过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念. 效果： 从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立 障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，提 3 0.5y x= + 100 0.18y x= - y kx b= + ,k b k y x x y 0b = y x高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力. 主要从函数解析式这一角度去研究一次函数，这是学生第一次正式接触函数 的表达式，教学中可根据学生状况多加一些例子，让学生逐步学会从函数表达式 去认识函数，进一步掌握一次函数的定义. 第三环节：巩固练习 内容: 1.在函数(1) ,(2) ,(3) ,(4) , (5) (6) 中是一次函数的是 ,是正比例函数 的是 . 2.若函数 是一次函数,则 应满足的条件是 ； 若是正比例函数,则 应满足的条件是 . 3.当 = 时,函数 是关于 的一次函数. 意图：对本节知识进行巩固练习. 效果：学生基本能交好的独立完成练习题,收到了较好的教学效果. 在第 3 题中,学生易忘记 ≠ 的条件,而错误的将答案写成± . 第四环节：知识提高 内容： 例 3 写出下列各题中 与 之间的关系式,并判断: 是否为 的一次函数?是 否为正比例函数? (1)汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶,行驶路程 (千米)与行驶时间 (时) 之间的关系； (2)圆的面积 (厘米 2)与它的半径 (厘米)之间的关系； (3)一棵树现在高 50 厘米,每个月长高 2 厘米, 个月后这棵树的高度为 (厘米),则 与 的关系. 答案: (1)由路程=速度×时间,得 , 是 的一次函数,也是 的正比 3y x= 5y x= - 4y x=- 22 3y x x= - 2y x= - 1 2y x= - (6 3 ) 4 4y m x n= + + - ,m n ,m n k 2 8( 3) 5ky k x -= + - x 3k + 0 3 x y y x y x y x x y y x 60y x= y x x例函数； (2)由圆的面积公式,得 , 不是 的一次函数,也不是 的正比 例函数； (3)这棵树每月长高 2 厘米, 个月长高了 厘米,因而 , 是 的一次函数,但不是 的正比例函数. 例 4 某地区电话的月租费为 25 元,在此基础上,可免费打 50 次市话(每次 3 分钟),超过 50 次后,每次 0.2 元. (1)写出每月电话费 (元)与通话次数 ( ＞50)的函数关系式； (2)求出月通话 150 次的电话费； (3)如果某月通话费为 53.6 元,求该月通话的次数. 分析:解决此类问题首先要理解题意,然后找出相等关系.此题相等关系为: 每月通话费=月租费+超过 50 次后电话费. 答案: (1)根据题意得: × ,即 ； (2)当 时, × ； (3)因为 ＞ ,可知通话次数大于 50 次,即当 时,求 的 值. ,解得 . 意图：通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概 念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用, 发展学生的抽象思维能力. 充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力 的发展. 效果： 根据已知条件写出简单的一次函数的表达式,教学时,学生会出现一定的差 异,此时,要给予学生足够的思考时间,必要的时候可组织学生交流讨论,而不能 是简单的“告诉”.另外,在教学上还必须注意培养学生的书面表达能力,这些都 是逻辑思维训练的一部分. 在例 4 中的(1)中,易错解为 .应让学生仔细审题,找准等量关系； (2)、(3)两问是给定自变量的值,求函数数值，这类问题的实质就是解方程. 2y xp= y x x x 2x 50 20y x= + y x x y x x 25 ( 50)y x= + - 0.2 0.2 15y x= + 150x = 0.2y = 150 15+ 45= 53.6 25 53.6y = x 53.6 0.2 15x= + 193x = 25 0.2y x= +第五环节：反馈练习 内容: 1.下列语句中,具有正比例函数关系的是( ) (A) 长方形花坛的面积不变,长 与宽 之间的关系； (B) 正方形的周长不变,边长 与面积 之间的关系； (C) 三角形的一条边不变,这条边上的高 与面积 之间的关系； (D) 圆的面积为 ,半径为 , 与 之间的关系. 2．我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于 1600 元的部 分不收税；月收入超过 1600 元但低于 2100 元的部分征收 5%的所得税……如果 某人月收入 1960 元.他应缴纳个人工资、薪金所得税为（ ）× %= （元）. （1）当月收入大于 1600 元而又小于 2100 元时，写出应缴纳所得税 （元） 与月收入 （元）之间的关系式. （2）某人月收入为 1760 元，他应该缴纳所得税多少元？ （3）如果某人本月缴所得税 元，那么此人本月工资、薪金是多少以元？ 意图：对本节知识进行巩固练习. 效果：学生基本能较好地独立完成练习题,收到了较好的教学效果. 在第 2 题,学生容易遗忘几何的相关内容,在此教师可作适当的提醒,让学生 更顺利地完成习题. 第六环节: 课堂小结 内容: 这节课我们学习了一类很有用的函数——一次函数，只要解析式可以表示成 （ 为常数， ≠0）的形式的函数则称为一次函数.正比例函数是 一次函数当 时的特殊情形.（方式：师生互相交流总结.） 目的：鼓励学生结合本节课的学习内容,谈谈自己的收获和感想,进一步巩固 本节课的知识. 实际效果：学生畅所欲言自己对本节课的感受与收获,都能准确的说出一次 y x x S h S S r S r 1960 1600- 5 18 y x 19.2 y kx b= + ,k b k 0b =函数与正比例函数的概念.但学生容易忽略一次函数与实际生活的联系,教师应 做适当补充. 第七环节：布置作业 1．根据下表写出 之间的一个关系式. 2.某电信公司手机的 A 类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月 必须缴月租费 50 元，另外，每通话 1 分钟交费 0.4 元. （1）写出每月应缴费用 （元）与通话时间 （分）之间的关系式； （2）某手机用户这个月通话时间为 152 分，他应缴费多少元？ （3）如果该手机用户本月预交了 200 元的话费，那么该用户本月可通话多 长时间？ 3．某电信公司手机的 B 类收费标准如下：没有月租费，但每通话 1 分钟收 费 元.按照此类收费标准，分别完成第 2 题中的各小题. 4．根据上面第 2，3 题中的条件，完成下列各题： （1）若每月平均通话时间为 300 分，你选择哪类收费方式？ （2）每月通话多长时间时，按 A，B 两类收费标准缴费，所交话费相等？ 四、教学设计反思 1．本课时在初中数学学习中的重要性 函数是初中阶段数学学习的一个重要内容，学生又是第一次接触函数，充分 考虑学生的接受能力，本节从生动有趣的问题情景出发，通过对一般规律的探索 过程，从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.又通过具有丰富的现 实背景的例题，进一步理解一次函数和正比例函数的概念，为下一步学习《一次 函数图象》奠定基础，并形成用函数观点认识现实世界的能力与意识. 2．怎样对学生进行引导 本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识较强,思维活跃,对研究常量 的计算问题已掌握了一定的方法,但对函数、变量的变化规律的学习刚刚开始,抽 ,x y x 1- 0 1 2 3 y y x 0.6象概括概念的能力尚显不足,为此，我力求以下三个方面对学生进行引导: (1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程； (2)从学生活动出发,通过以旧引新,顺势教学过程； (3)借助探索,通过思维深入,领悟教学过程. 3．注意改进的方面 在讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的 学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论 给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学 生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。