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第一章 整式的乘除
３同底数幂的除法（第 1 课时）
总体说明:
在七年级上册的“有理数及其运算”和“整式及其加减”中，学生已经学习
了数的运算、字母表示数等内容，并且类比有理数的加减学习了整式的加减运算.
由“数的运算”转化到“式的运算”是代数学习的重点内容，可以帮助学生体会
代数与现实世界、学生生活、其他学科的密切联系，同时代数也为数学本身和其
他学科提供了语言、方法和手段.本章“整式的乘除”是让学生在前面的基础上
类比有理数的乘除（乘方）来学习整式的乘除运算.为了符合知识的内在联系，
在整式的乘、除之前，教科书先提前安排了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘
方、同底数幂的除法这四种幂的运算的学习，让学生进一步体会幂的意义，在法
则的探索和应用过程中理解算理，掌握基本的运算技能、建立符号意识、发展推
理和有条理的表达能力，为后续学习奠定基础.
本课“同底数幂的除法”是四种幂的运算中的最后一种，它与前面三种幂的
运算有着类似的法则探索过程，最大的区别在于前面三种运算都是乘法（乘方），
而它是除法，因此教学时就要注意两点：一是与数的除法类似，要求除数（式）
不为 0，二是会出现零指数幂和负整数指数幂,对它们意义的理解将是难点.另外，
在“有理数的运算”中学生已经学习了用科学记数法来表示大数，这里同底数幂
除法的运算结果中会出现绝对值较小的数据，在规定了负指数幂的意义后，我们
就可以顺利地将科学记数法的应用范围推广到绝对值较小的数据.
本课共分两课时，第一课时，主要让学生探索同底数幂的除法法则，了解零
指数幂和负整数指数幂；第二课时，主要是用科学记数法表示绝对值较小的数据.
一、 学生起点分析
学生的知识技能基础：小学学生就学习过数的除法，了解除数不能为 0；七
年级又学习了有理数运算和整式的加减，理解了正整数指数幂的意义；在这一章
前面几节课中还学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三种幂的运算，会
用法则进行计算并解决一些实际问题，具备了类比有理数的运算进行整式的运算
的知识基础.理解和运用法则不是学生学习的难点，需要注意的是在计算时学生2
是否会混淆这四种幂的运算，可以通过分析算理和练习对比，帮助学生提高认识.
学生活动经验基础：在探索前面三种幂的运算法则的过程中，学生已经历了
由特殊到一般的归纳过程，并能用幂的意义加以说明，具备了一定的推理能力和
表达能力，为本节探索同底数幂的除法法则积累了充足的活动经验.因此本节法
则的探索对学生而言并不困难，教学时可以放手让学生自主进行；此前学生只接
触过正整数指数幂，因此对零指数幂和负整数指数幂意义的理解是本课的难点，
教学时可以通过设计问题串，让学生经历观察、归纳、猜想、解释的过程来加深
理解.
二、 教学任务分析
教科书基于学生已有的知识经验基础，提出了本课的具体学习任务：经历探
索同底数幂除法运算法则的过程，发展学生的符号感和推理能力；会进行同底数
幂的除法，并能解决一些实际问题；体会 ( )及 = （ 是
正整数）的合理性，将法则拓广到零指数幂和负整数指数幂的范围.这仅仅是这
堂课的一个近期目标，而本节内容从属于“数与代数”领域，因而也应服务于代
数教学的远期目标“经历代数的抽象、运算与建模等过程，掌握基本知识、基本
技能；建立符号意识，在参与观察、猜想、证明等数学活动中发展合情推理和演
绎推理能力，清晰的表达自己的想法；体验解决问题方法的多样性，发展创新意
识”，同时在学习中应力图达成有关情感态度目标.
为此，本节课的教学目标是：
1．知识与技能：会进行同底数幂的除法运算，并能解决一些实际问题，了
解零指数幂和负整数指数幂的意义，能进行零指数幂和负整数指数幂的乘除法运
算.
2．过程与方法：经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂的
意义，经历观察、归纳、猜想、解释等数学活动，体验解决问题方法的多样性，
发展学生的合情推理和演绎推理能力以及有条理的表达能力.
3．情感与态度：在解决问题的过程中了解数学的价值，体会数学的抽象性、
严谨性和广泛性.
教学重点：同底数幂除法法则的探索和应用，理解零指数和负整数指数幂的
意义，将运算法则拓广到整数指数幂的范围
10 =a 0≠a pa −
pa
1 pa ,0≠3
教学难点：理解零指数幂和负整数指数幂的意义
三、 教学过程设计
本课时设计了七个教学环节：复习回顾、情境引入、归纳法则、探索拓广、
反馈延伸、课堂小结、布置作业.
第一环节 复习回顾
活动内容：前面我们学习了哪些幂的运算? 在探索法则的过程中我们用到了
哪些方法？
（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加. （m,n 是正整数）
（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘. （m,n 是正整数）
（3）积的乘方等于积中各因数乘方的积. (n 是正整数)
活动目的：学习同底数幂的除法要借助前面三种幂的运算的活动经验和知识
基础，因此这个环节的目的是回顾前面的知识和方法，为下面自主探索、归纳法
则做好铺垫.
活动的注意事项：教学时可以让学生自己写出三种幂的运算法则的叙述和字
母表示，要注意引导学生回顾三种法则探索过程中用到的归纳思想和数学的推理
方法，只要他们用自己的语言描述清楚即可，如学生可能会回答“由具体的例子
的计算（特殊）得到法则的符号表示（一般）”，“用幂的意义说明了法则的正确
性”等等.
第二环节 情境引入
活动内容：一种液体每升含有 1012 个有害
细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家
们进行了实验, 发现 1 滴杀虫剂可以杀死
109 个此种细菌，
（1）要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
（2）你是怎样计算的？
（3）你能再举几个类似的算式吗？
nmnm aaa +=⋅
mnnm aa =)(
nnn baab =)(4
活动目的：用实际背景来引入同底数幂的除法，让学生体会数学与现实生活
的紧密联系，而这个问题学生运用有理数知识就能解决，为下面类比解决“式”
的问题提供思路，第（3）问的目的是帮助学生抓住“同底数幂”“相除”这些本
质特征，同时也为进一步的探索提供素材.
活动的注意事项：解决问题（1）学生可能根据题意列出算式 ，也
有可能列出 ，应让学生认识到两种形式的实质是一样的.
问题（2）用到的是有理数的运算，教学时应鼓励学生独立思考，在黑板上
呈现不同的计算过程，并说明每一步的算理，学生可能出现不同的解决方法：
可能先将幂还原成大数再用分数的约分来计算：
（滴）；
也可能先逆用同底数幂的乘法再进行约分来计算：
（滴）
问题（3）应尽可能多的在黑板上呈现学生举的算式，在教学时可以通过追
问“这些算式举的对不对？”帮助学生抓住特征：同底数幂、除法.还可以再追
问“这些算式应该叫做什么运算呢？”引入这节课的研究对象：同底数幂的除法
运算.
第三环节 归纳法则
活动内容：1.计算你列出的算式
（选作）2.计算下列各式，并说明理由（m>n）
3.你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗？
活动目的：让学生从有理数的运算出发，由特殊逐渐过渡到一般，得到同底
数幂的运算法则： (a≠0，m,n 是正整数，且 m>n)，再运用幂的意
义加以说明.在此过程中，发展学生类比、归纳、符号演算、推理能力和有条理
的表达能力.
912 1010 ÷
9
12
10
10
100010101010.........1010
10........1010
10
101010 9
12
912 =××=×××
×××==÷
10001010
101010)1010(1010 3
9
39
939912 ==×=÷×=÷
;1010)1( nm ÷ ;)3()3)(2( nm −÷− ;)2
1()2
1)(3( nm −÷−
nmnm aaa −=÷5
活动的注意事项：这里的教学方式可以根据上一环节学生的举例情况灵活处
理：
方式一，如果学生列出的算式比较全面：既有只含有理数的算式，又有既含
字母又含数的算式（如类似于活动 2 的指数为字母或是底数为字母的），还有只
含字母的算式（类似于法则的），那么教学时可以先引导学生将所列举的算式进
行分类，再按照由“数”到“混合”再到“字母”的顺序分三个层次进行探索，
让学生自己完成由特殊过渡到一般的过程，这样就不用再进行活动 2 和 3.
方式二：如果学生列出的算式不够全面，就可以先将活动 2 的内容补充进来，
再让学生观察运算前后指数和底数发生了怎样的变化，从特例中归纳出同底数幂
除法的运算性质： ，培养学生的合情推理能力.最后进行活动 3，
在运用符号运算的过程中培养学生的演绎推理能力.
有了前面探索法则的经验基础，类比有理数的计算过程学生不难得出
，但学生可能会忽视“a≠0，m,n 是正整数，
且 m>n”的要求，教学时可以追问“a 都可以取哪些值呢？”来引导学生类比有
理数的除法中对除数不为 0 的要求来理解这里的 a≠0，再借助上面的计算约分
时出现 m-n 个 a 的过程得到 m>n.而当 m=n 和 mn）
当 m=n 时，我们可以类似的得到
1，（ ，m,n 为正整数）；
当 m
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