1.3 三角函数的计算 教学设计.doc

1 第一章 直角三角形的边角关系 《三角函数的计算》教学设计 一、学生知识状况分析 1. 本章前两节学生学习了三角函数的定义，三角函数 sinα、cosα、tanα 值 的具体意义，并了解了 30°，45°，60°的三角函数值. 2. 学生已经学会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除及平方运算，对 计算器的功能及使用方法有了初步的了解. 二、教学任务分析 随着学习的进一步深入，当面临实际问题的时候，如果给出的角不是特殊角， 那么如何解决实际的问题，为此，本节学习用计算器计算 sinα、cosα、tanα 的 值，以及在已知三角函数值时求相应的角度.掌握了用科学计算器求角度，使学 生对三角函数的意义，对于理解 sinα、cosα、tanα 的值∠α 之间函数关系有了 更深刻的认识. 根据学生的起点和课程标准的要求，本节课的教学目标和任务是： 知识与技能 1. 经历用计算器由已知锐角求三角函数的过程，进一步体会三角函数的意 义. 2. 能够用计算器进行有关三角函数值的计算.能够运用计算器辅助解决含三 角函数值计算的实际问题. 过程与方法 在实际生活中感受具体的实例，形成三角形的边角的函数关系，并通过运用 计算器求三角函数值过程，进一步体会三角函数的边角关系. 情感态度与价值观 通过积极参与数学活动，体会解决问题后的快乐.感悟计算器的计算功能和 三角函数的应用价值2 教学重点：用计算器求已知锐角的三角函数值.能够用计算器辅助解决含 三角函数值计算的实际问题. 教学难点：能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题三、教 学过程分析 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：复习引入、探索新知、例题讲解，随堂练习、， 课堂小结、布置作业、课外探究. 第一环节 复习引入 活动内容： 用多媒体展示学生前段时间所学的知识，提出问题，从而引入课题. 直角三角形的边角关系： 三边的关系: ，两锐角的关系: ∠A+∠B=90°. 边与角的关系: 锐角三角函数 ， ， ， 特殊角 30°,45°,60°的三角函数值.、 引入问题：1、你知道 sin16°等于多少吗？ 第二环节 探索新知 活动内容一： ABsin16°米中的“sin16°”是多少呢? 我们知道，三角函数中，当角的大 小确定时，三角函数值与直角三角形的大小无关，随着角度的确定而确定. 对于特殊角 30°、45°、60°可以根据勾股定理和含这些特殊角的直角三 角形的性质，求出它们的三角函数值，而对于一般锐角的三角函数值，我们该怎 么办？我们需借助于科学计算器求出这些锐角的三角函数值. 222a cb =+ c aBA == cossin c bBA == sincos b aA =tan 1sin A ?4A = ∠ =2、已知 则3 怎样用科学计算器求三角函数值呢? 1.用科学计算器求一般锐角的三角函数值. 用科学计算器求三角函数值，要用到 和 键.我们对下面几个角的三 角函数 sin16°，cos72°38′25″和 tan85°的按键顺序如下表所示.(多媒体演 示) 按键顺序 显示结果 sin16° sin16°=0.275637355 cos72°38′25 ″ cos72°38′25″ =0.2983699067 tan85° tan85=11.4300523 同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算 sin16°，cos72°38′25″， tan85°.看显示的结果是否和表中显示的结果相同. (教学时应注意不同的计算器按键方式可能不同，可引导学生利用自己所使 用的计算器探索计算三角函数值的具体步骤，也可以鼓励同学们互相交流用计算 器计算三角函数值的方法) 用计算器求三角函数值时，结果一般有 10 个数位,我们的教材中有一个约定. 如无特别说明，计算结果一般精确到万分位. 下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题. 用计算器求得 BC＝sin16°≈0.2756. [问题]如图，当登山缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 200 米，已 知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠a＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多 少? sin 1 6 = sin 1 6 = 4 在 Rt△ABC 中，∠α＝16°，AB=200 米，需求出 BC. 根据正弦的定义，sin16°= , ∴BC＝ABsin16°＝200 sin16°≈55.12m. 对问题进一步探索：当缆车继续由点 B 到达点 D 时，它又走过了 200 m，缆 车由点 B 到点 D 的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计 算什么? 学生思考后，有如下几种解决方案： 方案一：可以计算缆车从 B 点到 D 点垂直上升的高度. 方案二：可以计算缆车从 A 点到 D 点，一共垂直上升的高度、水平移动的距 离. 用计算器辅助计算出结果： （1）在 Rt△DBE 中，∠β＝42°，BD＝200 m，缆车上升的垂直高度 DE＝ BDsin42°=200sin42°≈133.83(米). （ 2 ） 由 前 面 的 计 算 可 知 ， 缆 车 从 A → B → D 上 升 的 垂 直 高 度 为 BC+DE=55.12+133.83＝188.95(米). （3）在 Rt△ABC 中，∠α＝16°，AB=200 米，AC＝ABcos16°≈200×0.9613 ＝192.23(米). 在 RtADBE 中 ， ∠ β ＝ 42 ° ， BD ＝ 200 米 .BE ＝ BD · cos42 ° ≈ 200 × 0.7431=148.63(米). 缆车从 A→B→D 移动的水平距离为 BE+AC＝192.23+148.63=340.86(米). 活动目的：对教材中的问题，需要求出 16°角的三角函数值，由此引出一 般锐角的三角函数的计算问题. 200 BC AB BC =5 实际教学效果：学生根据之前所学的三角函数的定义得出边角的关系，并对 问题进行拓展，让学生对非特殊角的三角函数进行理解，对实际问题进行体会， 由此感受到学习新知识的需要，产生探索的欲望. 活动内容二： 课前提出的问题 ，则∠A 等于多少. 我们来看下面这个实际问题： [问题]随着人民生活水平的提高，私家小轿车越来越多，为了交通安全及方 便行人推车过天桥，某市政府要在 10 m 高的天桥两端修建 40m 长的斜道.请问这 条斜道的倾斜角是多少? (如下图所示) 活动目的：通过上例创设问题情境，激发学习兴趣，学生要解决这个问题必 须先求 sinA＝ ，再求∠A，把这个问题归结为“已知三角函数值求相应锐 角的大小”. 实际教学效果：学生的求知欲被激发起来，思维处于活跃状态，每个同学都 积极探索解决这个实际问题的办法与途径. 寻求方法 活动内容：练习掌握已知三角函数值求角度，要用到 、 、 键 的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键. 例如： ①已知 sinA＝0.9816，求锐角 A. ②已知 cosA＝0.8607，求锐角 A. ③已知 tanA＝56.78，求锐角 A. 4 1sin =A 4 1= AC BC6 按键顺序如下表: 按键顺序 显示结果 sinA=0.9816 sin-10.9816=78.99184039 cosA=0.8607 cos-10.8607=30.60473007 tanA=56.78 tan-156.78=88.99102049 上表的显示结果是以“度”为单位的.再按 键即可显示以“度、分、 秒”为单位的结果. 这一环节的引例中 sinA= ＝0.25.按键顺序为 . 显示结果为 sin-10.25=14.47751219°，再按 键可显示 14°28′39 ″,所以 ∠A=14°28′39″.（以后在用计算器求角度时如果没有特别说明，结果精 确到 1″即可.） (教学时，给学生以充分交流的时间和空间，教师要引导学生根据自己使用 的计算器，探索具体操作步骤.) 活动目的：前一环节课已经学习如何利用科学计算器求已知角的三角函数值， 通过本环节学习，使学生掌握如何利用科学计算器由锐角三角函数值求相应的锐 角的大小，即已知三角函数值求角度，要用到 、 、 键的第二功能 “sin-1,cos-1,tan-1”和 键.此外，通过这一环节促进学生的可逆性联想. 实际教学效果：学生能够利用科学计算器由已知锐角三角函数值反过来求相 应的锐角的大小，并从中体会用科学计算器解决问题的优势，体会了三角函数值 和对应角度的对应关系. 活动内容（练一练）： 4 17 下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示). 1、用计算器求下列各式的值. (1)sin56°；(2)cos20.5°； (3)tan44°59′59″；(4)sin15°+cos61°+tan76°. (以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确) 答案：(1)sin56°≈0.8290； (2)cos20.5°≈0.9367； (3)tan44°59′59″≈1.0000； (4)sin15°+cos61°+tan76°≈0.2588+0.4848+4.0108=4.7544. 2.已知 sinθ＝0.82904，求锐角θ的大小. 答案:θ≈56° 活动目的：通过上面的练习，使学生通过亲手操作掌握利用计算器由已知锐 角三角函数值求相应锐角大小的方法，并能进行不同角度单位之间的转换. 实际教学效果：学生能够正确使用计算器解决已知锐角三角函数值求相应锐 角的大小的问题（包括函数值为无理数的情形）. 第三环节：例题讲解 例 1.求图中避雷针的长度(结果精确到 0.01m). 解：∵ ∴ 2050tan,2056tan BCBD =°=o °= 56tan20BD °= 50tan20BC8 ∴ 例题 2:工件上有一 V 形槽,测得它的上口宽 20mm,深 19.2mm,求 V 形角(∠ ACB)的大小(结果精确到 1°). 第四环节：随堂练习 练习 1： 某水库大坝的横断面是梯形 ABCD,坝顶宽 CD=3m,斜 AD=16m,坝高 8m,斜坡 BC 的坡比为 1:3,求斜坡 BC 的坡角∠B 和坝底宽 AB. 2. 如图,根据图中已知数据,求△ABC 的面积. 3. 如图,根据图中已知数据,求 AD. D C A BM N 4cm 32°46° A B C mBCBDCD 82.550tan2056tan20 ≈−=−= °° D C BA9 第五环节 课堂小结 活动内容：谈一谈：这节课你学习掌握了哪些新知识？通过这节课的学习你 有哪些收获和感想？ 活动目的：鼓励学生结合本节课的学习，从数学方法、数学思维与科学工具 等方面谈自己的收获与感想. 实际教学效果：学生畅所欲言谈自己的学习感受和实际收获： 学会了运用 计算器计算已知锐角的三角函数值以及由三角函数值求角；运用三角函数解决与 直角三角形有关的实际问题；三角函数的有关知识与现实生活有密切的联系.进 一步认识数学方法、数学思维与科学工具的功能，增强在解决问题的过程中综合 运用三个方面解决问题的意识. 第六环节 布置作业 习题 1.4. 第七环节 课外探究 活动内容：拓展创新演练： 如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成 80°角， 房屋朝南的窗户高 AB=1.8 m，要在窗户外面上方安装一个 水平挡板 AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板 AC 的宽度 (结果精确到 0.01 m) . 32° 4cm 46° A B DC10 四、教学反思 本节课让学生经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，鼓励学生 用计算器完成复杂的计算，从而让学生能够利用工具进行数学的解答.本节课的 目的是让学生体会对于实际问题，一旦建立了数学模型，在已知边和角的关系求 边，或者已知边和边的关系求角，都可以用科学计算器完成.在教学过程中，首 先教会学生怎样使用科学计算器，然后多给几个例子计算，以便熟练的掌握.学 生在抽象三角函数的模型是关键，这里应多给时间让学生思考，不能操之过急.