高二数学（人教版）选修4-5教案：第08课时 不等式的证明方法之——比较法.doc

课 题：　第 08 课时 不等式的证明方法之一：比较法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质： 二、典型例题： 例 1、设 ，求证： 。 例 2、若实数 ，求证： 证明：采用差值比较法： = = = = ∴ ∴ 讨论：若题设中去掉 这一限制条件，要求证的结论如何变换？ 例 3、已知 求证 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于 对称，不妨设 0>−⇔> baba 0=−⇔= baba 0+ 1≠x .)1()1(3 2242 xxxx ++>++ 2242 )1()1(3 xxxx ++−++ 324242 2221333 xxxxxxx −−−−−−++ )1(2 34 +−− xxx )1()1(2 22 ++− xxx ].4 3)2 1[()1(2 22 ++− xx ,04 3)2 1(,0)1(,1 22 >++>−≠ xxx 且从而 ,0]4 3)2 1[()1(2 22 >++− xx .)1()1(3 2242 xxxx ++>++ 1≠x ,, +∈ Rba .abba baba ≥ ba, .0>≥ ba，从而原不等式得证。 2）商值比较法：设 故原不等式得证。 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤 是：作差（或作商）、变形、判断符号。 例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度 行走， 另一半时间以速度 行走；乙有一半路程以速度 行走，另一半路程以速度 行走。如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点。 分析：设从出发地点至指定地点的路程是 ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分 别为 。要回答题目中的问题，只要比较 的大小就可以了。 解：设从出发地点至指定地点的路程是 ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别 为 ，根据题意有 ， ，可得 ， ， 从而 ， 其中 都是正数，且 。于是 ，即 。 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论：如果 ，甲、乙两人谁先到达指定地点？ 例 5、设 求证；对任意实数 ，恒有 （1） 证明 考虑（1）式两边的差。 ＝ ＝ （2） 0)( 0 ≥−=−∴ ≥− −− bababbabba babababa ba ,0>≥ ba ,0,1 ≥−≥ bab a  .1)( ≥=∴ −ba ab ba b a ba ba m n m n nm ≠ S 21,tt 21,tt S 21,tt Sntmt =+ 22 11 222 tn S m S =+ nm St += 2 1 mn nmSt 2 )( 2 += mn nmS nm Stt 2 )(2 21 +−+=− mnnm nmmnS )(2 ])(4[ 2 + +−= mnnm nmS )(2 )( 2 + −−= nmS ,, nm ≠ 021 += qppqxxf ba, ).()()( qbpafbqfapf +≥+ ).()()( qbpafbqfapf +−+ ]1)(2[)12()12( 222 ++−+++ qbpabqap .14)1(2)1(2 22 −++−−+− qppqabbqqapp ,0,1 >=+ pqqp pqabpqbpqa 422)2( 22 −+=∴ .0)(2 2 ≥−= bapq即（1）成立。 三、小结： 四、练习： 五、作业： 1．比较下面各题中两个代数式值的大小： （1） 与 ；（2） 与 . 2．已知 求证：（1） （2） 3．若 ，求证 4．比较 a4-b4 与 4a3(a-b)的大小． 解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2) = - (a-b)2 (当且仅当 d＝b 时取等号) ∴a4-b4 4a3(a-b)。 5．比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小． 6．已知 x≠0，比较(x2+1)2 与 x4+x2+1 的大小． 7．如果 x>0，比较 与 的大小． 8．已知 a≠0，比较 与 的大小． 9．设 x 1，比较 x3 与 x2-x+1 的大小． 说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是 “变形”的常用方法。 阅读材料：琴生不等式 例 5 中的不等式 有着重要的数学背景，它与高等数学中 的一类凸函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。 琴生在 1905 年给出了一个定义： 设函数 的定义域为[a,b]，如果对于[a,b]内任意两数 ，都有 2x 12 +− xx 12 ++ xx 2)1( +x .1≠a ;122 −> aa .11 2 2 ≥≥ cba .)( 3 cba cba abccba ++ ≥ 03 2 3 3 22 ≤         +      + bba ≥ ( )2 1−x ( )2 1+x ( )( )1212 22 +−++ aaaa ( )( )11 22 +−++ aaaa ≥ )()()( qbpafbqfapf +≥+ )(xf 21, xx当且仅当 时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 更为一般的情况是：设 是定义在区间[a,b]上的函数，如果对于[a,b]上的任意两点 ，有 其中 ，则称 是区间[a,b]上的凸函数。如果不等式反向，即有 则称 是[a,b]上的凹函数。 其推广形式 ，设 ， 是[a,b]上的凸函数， 则 对 任 意 有 ， 当且仅当 时等号成立。 若 是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等 式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。 nxxx === 21 )(xf 21, xx ),()()( 2121 qxpxfxqfxpf +≥+ 1,, =+∈ + qpRqp )(xf ),()()( 2121 qxpxfxqfxpf +≤+ )(xf 1,,,, 2121 =+++∈ + nn qqqRqqq  )(xf ],,[,,, 21 baxxx n ∈ )()()()( 22112211 nnnn xfqxfqxfqxqxqxqf +++≤+++  nxxx === 21 )(xf