高二数学（人教版）选修4-5教案：第09课时 不等式的证明方法之——综合法与分析法.doc

课 题：　第 09 课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由 于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比 研究两种思路方法的特点。 所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证 的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知 中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援 人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻 地，这是“分析法”。 以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的， 是常常要用到的一个重 要不等式。 二、典型例题： 例 1、 都是正数。求证： 证明：由重要不等式 可得 本例的证明是综合法。 例 2、设 ，求证 证法一 分析法 要证 成立. 只需证 成立， 又因 ， 只需证 成立， 又需证 成立， 即需证 成立. 而 显然成立. 由此命题得证。 证法二 综合法 ABBA 222 ≥+ ba, .2≥+ a b b a ABBA 222 ≥+ .22 =≥+ a b b a a b b a 0,0 >> ba .2233 abbaba +≥+ 2233 abbaba +≥+ )())(( 22 baabbababa +≥+−+ 0>+ ba abbaba ≥+− 22 02 22 ≥+− baba 0)( 2 ≥− ba 0)( 2 >− ba两边同时加上 得 两边同时除以正数 得（1）。 读一读：如果用 或 表示命题 P 可以推出命题 Q（命题 Q 可以由命题 P 推出），那么采用分析法的证法一就是 （1） 而采用综合法的证法二就是 如果命题 P 可以推出命题 Q，命题 Q 也可以推出命题 P，即同时有 ， 那么我们就说命题 P 与命题 Q 等价，并记为 在例 2 中，由于 都是正数， 实际上 例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面 是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长 为 ，则周长为 的圆的半径为 ，截面积为 ；周长为 的正方形为 ，截面 积为 。所以本题只需证明 。 ab )()( mbamab +>+ )( mbb + QP ⇒ PQ ⇐ ).4()3()2( ⇐⇐⇐ ).1()2()3()4( ⇒⇒⇒ PQQP ⇒⇒ , .QP ⇔ mbmb +,, ).4()3()2()1( ⇔⇔⇔ L L π2 L 2 2      ππ L L 4 L 2 4      L 22 42     >     LL ππ证明：设截面的周长为 ，则截面是圆的水管的截面面积为 ，截面是正方形 的水管的截面面积为 。只需证明： 。 为了证明上式成立，只需证明 。 两边同乘以正数 ，得： 。 因此，只需证明 。 上式显然成立，所以 。 这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截 面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。 例 5、证明： 。 证法一 因为 （2） （3） （4） 所以三式相加得 （5） 两边同时除以 2 即得（1）。 证 法 二 因 为 所以（1）成立。 例 6、证明： （1） 证明 （1） （2） （3） （4） （5） （5）显然成立。因此（1）成立。 例 7、已知 都是正数，求证 并指出等号在什么时候成立？ L 2 2      ππ L 2 4      L 22 42     >     LL ππ 164 2 2 2 LL >π π 2 4 L 4 11 >π π>4 22 42     >     LL ππ cabcabcba ++≥++ 222 abba 222 ≥+ bccb 222 ≥+ caac 222 ≥+ )(2)(2 222 cabcabcba ++≥++ ,0)(2 1)(2 1)(2 1)( 222222 ≥−+−+−=++−++ accbbacabcabcba .)())(( 22222 bdacdcba +≥++ ⇔ 0)())(( 22222 ≥+−++ bdacdcba ⇔ 0)2( 222222222222 ≥++−+++ dbabcdcadbdacbca ⇔ 022222 ≥−+ abcddacb ⇔ 0)( 2 ≥− adbc cba ,, .3333 abccba ≥++分析：本题可以考虑利用因式分解公式 着手。 证明： = = 由于 都是正数，所以 而 ， 可知 即 （等号在 时成立） 探究：如果将不等式 中的 分别用 来代替，并在两 边同除以 3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式： ，其中 是互不相等的正数，且 . 三、小结： 解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去） 一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式， 得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常 常用到的技巧。 四、练习： 1、已知 求证： ))((3 222333 cabcabcbacbaabccba −−−++++=−++ abccba 3333 −++ ))(( 222 cabcabcbacba −−−++++ ].)()())[((2 1 222 accbbacba −+−+−++ cba ,, .0>++ cba 0)()()( 222 ≥−+−+− accbba 03333 ≥−++ abccba abccba 3333 ≥++ cba == abccba 3333 ≥++ 333 ,, cba cba ,, 27)1)(1)(1( >++++++ accbba cba ,, 1=abc ,0>x .21 ≥+ xx2、已知 求证 五、作业： ,,0,0 yxyx ≠>> .411 yxyx +>+