《等差数列与等比数列》小结
湖北省天门实验高级中学 彭淑芬
一、教学设计
1.教学内容解析
本节课内容是在系统地学习完等差数列、等比数列后的一节单元小结课，小节分两课时,
本节课为第一课时，主要对等差数列和等比数列的定义和公式进行小结和应用.这一单元的
知识点有：等差数列、等差数列的前 n 项和、等比数列、等比数列前 n 项和.本节课的重点
是引导学生复习所学的知识，通过例题的分析让学生深刻理解等差数列和等比数列的定义及
公式的形式，通过例题探究找出知识间的内在联系，建立完整的知识结构体系.
本单元课本内容通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立了等差数列和等比数列这
两种重要的数列模型，探索了它们之间的一些基本数量关系，利用它们解决了一些实际问题.
本单元在内容的设计上也突出了一些重要的数学思想方法：如类比思想、归纳思想、函数思
想方法等等.因此，数学思想方法的教学也是本节课的重要内容.
根据以上分析，本节课的教学重点确定为：
教学重点：等差数列、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式的应用.
2.学生学情诊断
从整个中学教材体系分析，前面已经学习了函数的知识，又通过对本单元新课的学习，
学生已对本单元的知识点有了大致的理解，但知识间的内在联系还比较模糊，头脑欠缺一个
完整的知识结构体系.对等差数列、等比数列公式的认识缺乏函数的思想，运用也不够灵活，
对定义的理解仅仅停留在表面层次上.
学生对数学思想和数学方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运
算，而轻视对问题的抽象分析.因此，本节课的教学过程也要加强对学生分析能力和归纳能
力的培养.
根据以上分析，本节课的教学难点确定为：
教学难点：灵活运用等差数列、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式去解决相关
问题.
3.教学标准设置
（1）通过实例探究，学生能系统掌握等差数列、等比数列的定义和公式，能灵活应用
等差数列、等比数列的定义和公式去解决相关问题.
（2）通过情景设置,有效的激发学生的学习兴趣, 让学生感受数学的实用性.通过问题
的探究，进一步渗透类比思想、归纳思想、函数思想 .
（3）培养学生归纳知识、应用知识的能力,培养学生勇于探索、勤于思考的精神.
4.教学策略分析
本节课是单元小结课，教学容量较大，学生参与度高，采用多媒体课件辅助教学，进一
步提高课堂效率，调动学生的学习积极性.在教法上面采用着重于学生探究的启发式教学方
法,结合探究进行结论的归纳.
教学流程图
→→ → → → →
5.教学过程设计
（1）创设情景
创设情景 知识回顾
景
实例探究 探中抽知 有效建构 在一个月的月头，巴依老爷到买买提家去收地的租钱，说：“从这个月开始你的租钱
这样交：第一个月交我 1000 元，第二个月交我 2000 元，第三个月交我 3000 元，以后每个
月交的钱数比前一个月增加 1000 元，30 个月以后就不收你租钱了。”买买提想了想回答“行！
但尊敬的巴依老爷，您能答应我一个小小的请求吗:您在这 30 个月内第一个月返我 1 分钱，
第二个月返我 2 分钱，第三个月返我 4 分钱，以后每个月返的钱数是前一个月的 2 倍，您愿
意吗？”巴依老爷想都没想就答应了，心中暗自高兴：这买买提可真傻！
设计意图：通过动画片段的引入，利用等差数列和等比数列的知识分析所涉及的问题，
进一步激发学生的学习兴趣，引出课题.
（2）知识结构
设计意图：通过知识结构的分析，引导学生复习等差数列和等比数列的定义和通项公式，
建立等差数列与一次型函数，等比数列与指数型函数之间的关系，通过类比
两类数列的学习过程，找到知识间的内在联系，将知识系统化.
（3）实例探究
探究一：如何判定等差、等比数列
例题 1：
设计意图：分别用等差数列和等比数列的定义、等差（比）中项公式结合对数函数和
指数函数的运算性质进行证明.
探究二：如何理解前 n 项和公式形式
例题 2.已知等差数列{ }的前 n 项和 ,等比数列{ }的前 n 项和
为 ，则
分析：
na annSn +−= 22
nb
bT n
n += 2 =+ ba
2
1( )2 2
d dn a n= + −
2 ( ,An Bn A B= + 为常数）
dnnnaSn n 2
)1(
1
−+=项和公式：等差数列前
{ } { } { }
{ } .2
log, 3
为等比数列数列
为等差数列，，求证：数列正项等比数列已知等差数列
n
n
a
b
nn ba强调常数项为 0
联系指数型函数，强调系数与常数项互为相反数
设计意图 ：分别对等差数列和等比数列的前 n 项和公式形式结合函数进行特点分析.
通过例题 1 及例题 2 的分析，归纳:
判定等差数列的方法：
类比归纳：判定等比数列的方法：
设计意图:巩固等差数列和等比数列的定义以及通项形式,进一步总结证明和判断等
差数列和等比数列的方法，渗透类比思想和归纳思想.
判断题：
探究三：通项与前 n 项和的关系
变式.
设计意图：引导学生完成，将解题中用到的关系式 推广到
对任意数列都成立.
探究四：等差数列前 n 项和的最值
例题 3.
设计意图：分别利用通项和二次函数求出最值，强调通项形式，渗透函数的思想.用几
何画板在同一坐标系中画出通项和前 n 项和所对应的函数图像，让学生直观
{ } { }2 5 , 2 1,n
n n n na n S n n b n T= − = +已知等差数列 前 项和 等比数列 的前 项和为
{ } { }, .n na b求数列 通项
为常数）项和公式法：）前（
为常数）通项公式法：
中项公式法：
为常数）定义法：
BABnAnSn
qpqpna
aaa
ddaa
n
n
nnn
nn
,(4
,()3(
2)2(
()1(
2
21
1
+=
+=
+=
=−
++
+
）项和公式法：）前（
）常数，均是非通项公式法：
中项公式法：
为非零常数）定义法：
0(4
0,()3(
)2(
()1(
*1
2
2
1
1
≠−=
∈=
⋅=
=
−
++
+
kkkqSn
Nnqccqa
aaa
qqa
a
n
n
n
n
nnn
n
n
nqq
a
q
a
−−−=
11
11
)0( ≠−= kkkqn
)1(1
)1(1 ≠−
−= qq
qaSn
n
n项和公式：等比数列前
≥−
==
− )2(,
)1(,
1
1
nSS
nSa
nn
n
{ }
得最小值？
取项和前取何值时当且已知等差数列 nnn Snnnaa ,,62, −=
{ } { }
{ }
{ }
{ }
{ } .,134
,3)3(
,22
;(21
:,,,
2
423
1
为等比数列则数列）若（
是等差数列；则数列若
为等差数列；则数列）若（
为等差数列为常数），则数列时，）若（
下列说法正确的是项和分别为的前已知数列
n
n
n
nn
n
nnn
nnnn
bT
annS
aaaa
addaan
TSnba
−=
++=
+=
=−≥ +理解数列为特殊的函数.
（4）课堂小结，共同提升
设计意图：通过知识的整合，引导学生归纳在解题过程中所运用的等差数列和等比数
列的知识，强调知识的应用要立足定义，立足公式形式，通过小结，使本节
课的知识得到进一步的巩固，这一过引导学生完成，充分体现学生的主体地
位.
（5）巩固练习
证明：数列 为等差数列.
设计意图：进一步将所复习的知识运用到实际解题中来,及时巩固所学知识.
二.教学反思
本节课作为一节单元小结课，我比较注重整体认知，以探究的形式进行知识点的复习，
通过这种学习方法让学生学得有新鲜感,从而提高课堂效率.通过动画情景引入,充分调动学
生的学习积极性；也通过情景引入对等差数列和等比数列定义和公式形式进行回顾和应用，
让学生建立与函数之间的联系，进一步将所学知识系统化；通过实例的探究，让学生会运用
等差数列和等比数列的定义和公式解决实际问题.在教学过程中充分体现以学生为主体，教
师为主导的教学思想，通过问题的探究进一步渗透类比思想、归纳思想和函数思想.让学生
将所学知识从具体的运算上升到抽象分析的高度，实现了我的教学目标.
由于课堂时间有限，不能将所有知识点进行一一归纳，对于等差数列、等比数列中已知
递推关系求通项以及求和问题还没有涉及到，将留到第二课时进行小结.
{ } { } .,13.2 2 通项求项和前已知数列 nnn annSna +−=
{ }
=
−=
n
SnaSna nnnn 取得最小值时，则当若项和为中，其前在等比数列 ,112,3.
{ } 时，当中，正项数列 2,1.1 1 ≥= naan 2
1
1
1 −
−
+
=
n
n
n
a
aa
2
1
na
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