3 勾股定理的应用 教学设计.doc

第一章 勾股定理 3. 勾股定理的应用 一、学生知识状况分析 本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了 解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在学习七年级上第一 章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而 学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础． 二、教学任务分析 本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第一章《勾股 定理》第３节．具体内容是运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．当然， 在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、 操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识； 一些探究活动具体一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合 作交流的能力． 本节课的教学目标是： 1.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念． 2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及 渗透数学建模的思想． 3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． 利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际 问题是本节课的重点也是难点． 四、教法学法 1．教学方法 引导—探究—归纳 本节课的教学对象是初二学生，他们的参与意识教强，思维活跃，为了实现 本节课的教学目标，我力求以下三个方面对学生进行引导：（1）从创设问题情景入手，通过知识再现，孕育教学过程； （2）从学生活动出发，顺势教学过程； （3）利用探索研究手段，通过思维深入，领悟教学过程． 2．课前准备 教具：教材、电脑、多媒体课件． 学具：用矩形纸片做成的圆柱、剪刀、教材、笔记本、课堂练习本、文 具． 五、教学过程分析 本节课设计了七个环节．第一环节：情境引入；第二环节：合作探究；第三 环节：做一做；第四环节：小试牛刀；第五环节：举一反三；第六环节：交流小 结；第七环节：布置作业． 第一环节：情境引入 内容： 情景 1：多媒体展示： 提出问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？ 情景 2： 如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点 食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它 想从 A 处爬向 B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 意图： 通过情景 1 复习公理：两点之间线段最短；情景２的创设引入新课，激发学 生探究热情． 效果： 从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠 定了良好基础．第二环节：合作探究 内容： 学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总 各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总 结出最短路线．让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎 么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的 方法． 意图： 通过学生的合作探究，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距 离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸， 培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展 空间观念． 效果： 学生汇总了四种方案： （1）　 （2）　　 　（3）　　 　 （4） 学生很容易算出：情形（1）中 A→B 的路线长为： ， 情形（2）中 A→B 的路线长为： 所以情形（1）的路线比情形（2）要短． 学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母 线 AA’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A→B 是折线，而情形（4）是线段，故根 据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可． 如图： （1）中 A→B 的路线长为： ． （2）中 A→B 的路线长为： >AB． （3）中 A→B 的路线长为：AO+OB>AB． （4）中 A→B 的路线长为：AB． 'AA d+ ' 2 dAA π+ 'AA d+ ' 'AA A B+ A ’ A ’ A ’得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可 让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算 AB？ 在 Rt△AA′B 中，利用勾股定理可得 ，若已知圆柱体高为 12cm，底面半径为 3cm，π 取 3，则 ． 注意事项：本环节的探究把圆柱侧面寻最短路径拓展到了圆柱表面，目的仅 仅是让学生感知最短路径的不同存在可能．但这一拓展使学生无法去论证最短路 径究竟是哪条．因此教学时因该在学生在圆柱表面感知后，把探究集中到对圆柱 侧面最短路径的探究上． 方法提炼：解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决 这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下： 1．审题——分析实际问题； 2．建模——建立相应的数学模型； 3．求解——运用勾股定理计算； 4．检验——是否符合实际问题的真实性． 第三环节：做一做 内容： 李叔叔想要检测雕塑底座正面的 AD 边和 BC 边是否分别 垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务吗？ （2）李叔叔量得 AD 长是 30 厘米，AB 长是 40 厘米，BD 长 是 50 厘米，AD 边垂直于 AB 边吗？为什么？ （3）小明随身只有一个长度为 20 厘米的刻度尺，他能有办法检验 AD 边是否 垂直于 AB 边吗？BC 边与 AB 边呢？ 解答：（2） ∴AD 和 AB 垂直． 222 'BAAAAB +′= 2 2 212 (3 3) , 15AB AB= + × ∴ = 2 2 2 230 40 2500AD AB+ = + = 2 2500BD = 2 2 2AD AB BD∴ + =3 2 20 B A 意图： 运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工 具灵活处理问题． 效果： 先鼓励学生自己寻找办法，再让学生说明李叔叔的办法的合理性．当刻度尺 较短时，学生可能会在上面解决问题的基础上，想出多种办法，如利用分段相加 的方法量出 AB，AD 和 BD 的长度，或在 AB，AD 边上各量一段较小长度，再去 量以它们为边的三角形的第三边，从而得到结论． 第四环节：小试牛刀 内容： 1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨 8：00 甲先出发，他以 6 km/h 的速度向正东行走，1 时后乙出发，他以 5 km/h 的速度向正北行走．上午 10： 00，甲、乙两人相距多远？ 解答：如图:已知 A 是甲、乙的出发点，10:00 甲到达 B 点，乙到达 C 点．则: AB=2×6=12（km） AC=1×5=5（km） 在 Rt△ABC 中: ∴BC=13（km）． 即甲乙两人相距 13 km． 2．如图，台阶 A 处的蚂蚁要爬到 B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最 近距离． 解答： . 3．有一个高为 1.5 m，半径是 1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔， 从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m，问这根铁棒有多长？ 2 2 2 2 2 25 12 169 13BC AC AB= + = + = = ． 2 2 2 215 20 625 25AB∴ = + = =解答：设伸入油桶中的长度为 x m． 则最长时: ∴最长是 2.5+0.5=3（m）． 最短时: ． ∴最短是 1.5+0.5=2（m）． 答:这根铁棒的长应在 2～3m 之间． 意图： 对本节知识进行巩固练习，训练学生根据实际情形画出示意图并计算． 效果： 学生能独立地画出示意图，将现实情形转化为数学模型，并求解． 第五环节：举一反三 内容： 1．如图，在棱长为 10 cm 的正方体的一个顶点 A 处有一只蚂蚁，现要向顶 点 B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是 1 cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在 20 s 内从 A 爬到 B？ 解：如图，在 Rt△ABC 中: ∵500＞202 . ∴不能在 20 s 内从 A 爬到 B. 2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题 的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一 根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好 到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 2 2 21.5 2 2.5 x x = + = ． ． 1.5x = 2 2 2 2 210 20AB AC BC= + = + =500． B A B A B C解答：设水池的水深 AC 为 x 尺，则这根芦苇长为 AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形 ABC 中，BC=5 尺. 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2. 即 52+ x2=（x+1）2. 25+x2= x2+2x+1. 2x=24. ∴ x=12，x+1=13． 答：水池的水深 12 尺，这根芦苇长 13 尺． 意图： 第 1 题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是 将空间问题平面化；第 2 题，学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应 用，了解我国古代人民的聪明才智；运用方程的思想并利用勾股定理建立方 程． 效果： 学生能画出棱柱的侧面展开图，确定出 AB 位置，并正确计算．如有可能， 还可把正方体换成长方体进行讨论． 学生能画出示意图，找等量关系，设适当的未知数建立方程． 注意事项：对于普通班级而言，学生完成“小试牛刀”，已经基本完成课堂 教学任务．因此本环节可以作为教学中的一个备选环节，共老师们根据学生状况 选用． 第六环节：交流小结 内容： 师生相互交流总结： 1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解． 2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理 解决实际问题． 意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定 理的广泛应用及它们的悠久历史． 效果： 学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出在寻求曲面最短路径时， 往往考虑其展开图，利用两点之间，线段最短进行求解．并赞叹我国古代数学的 成就． 第七环节：布置作业 1．课本习题 1．4 第 1，2，3 题． 2．如图是学校的旗杆，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出了 一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗?请你 与同伴交流设计方案? 注意事项：作业 2 作为学有余力的学生的思考题． 六、教学设计反思 本节从生动有趣的问题情景出发，通过学生自主探究，运用勾股定理及其逆 定理解决简单的实际问题，既巩固了基本知识点，又在将实际问题抽象成几何图 形过程中，学会观察，提高分析能力，渗透数学建摸思想．在设计中，我注重以 下两点： 1．要充分利用好教材提供的素材 “蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，这 个问题体现了二、三维图形的转化，对发展学生的空间观念很有好处． 2．合理使用教材提供的练习 本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组，使练习有梯 度，既巩固了基本知识点，又训练了学生的应用能力．第一个作业让学生深入理 解和应用勾股定理及逆定理． 3．突破重点、突破难点的策略在教学过程中教师应通过情景创设，激发兴趣，鼓励引导学生经历探索过程， 得出结论，从而发展学生的数学应用能力，提高学生解决实际问题的能力． 4．分层教学 根据本班学生实际情况可在教学过程中选择：基础训练——“小试牛刀”； 提高训练——“举一反三”；拓展训练——作业第 2 题． 5．评价方式 根据新课标的评价理念，在教学过程中应关注学生的参与程度，关注活动中 所反映出的思维水平，关注对实际问题的理解水平，关注学生对基本知识的掌握 情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力．在教学过程中尊重学 生的个体差异，对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励，并帮助学生树立 学习数学的自信，充分发挥教育的价值． 附：板书设计 蚂蚁怎样走最近 情境引入———— 小试牛刀：　　　　　举一反三————— 合作探究————　 １．——————　　　　　１． —————— ２．——————　　　　　２．—————— 　　　　　　　　　　 ３．——————　　　　　课后作业：