1.2 3 排列组合应用题（选修2-3）.doc

排列组合应用题的教学设计 解决排列组合应用题的基础是：正确应用两个计数原理，分清排列和组合的区别。 引例1 现有四个小组，第一组7人，第二组8人，第三组9人，第四组10人，他们参加旅游 活动： （1）选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法。 　 （2）每组选一名组长，共有多少种不同的选法 4 评述：本例指出正确应用两个计数原理。 引例 2 （1）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？ （2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ 评述：本例指出排列和组合的区别。 求解排列组合应用题的困难主要有三个因素的影响： 1、 限制条件。2、背景变化。 3、数学认知结构 排列组合应用题可以归结为四种类型： 第一个专题 排队问题 重点解决： 1、如何确定元素和位置的关系 元素及其所占的位置，这是排列组合问题中的两个基本要素。以元素为主，分析各种可 能性，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”。 例：3 封不同的信，有 4 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ 分析：这可以说是一道较简单的排列组合的题目了，但为什么有的同学能做出正确的答案 (种)，而有的同学则做出容易错误的答案 (种)，而他们又错在哪里呢？应该是错在“元素”与 “位置”上了! 法一：元素分析法(以信为主) 第一步：投第一封信，有 4 种不同的投法； 第二步 ：接着投第二封信，亦有 4 种不同的投法； 第三步：最后投第三封信，仍然有 4 种不同的投法。 因此，投信的方法共有： (种)。 法二：位置分析法(以信箱为主) 第一类：四个信箱中的某一个信箱有 3 封信，有投信方法 (种)； 第二类：四个信箱中的某一个信箱有 2 封信，另外的 某一个信箱有 1 封信，有投信方法 种 。 34 43 34 1 4C 2 2 3 4C P第三类：四个信箱中的某三个信箱各有 1 封信，有投信方法 (种)。 因此，投信的方法共有：64 (种) 小结：以上两种方法的本质还是“信” 与“信箱”的对应问题。[来源:www.shulihua.net] 2、如何处理特殊条件——特殊条件优先考虑。 例：7 位同学站成一排，按下列要求各有多少种不同的排法； 甲站某一固定位置；②甲站在中间，乙与甲相邻；③甲、乙相邻； ④甲、乙两人不能相邻； ⑤甲、乙、丙三人相邻；⑥甲、乙两人不站在排头和排尾；⑦甲、乙、丙三人中任何两人都 不相邻；⑧甲、乙两人必须相邻，且丙不站在排头和排尾。 第二个专题 排列、组合交叉问题 重点解决：[来源:www.shulihua.net] 1、先选元素，后排序。 例：3 个大人和 2 个小孩要过河，现有 3 条船，分别能载 3 个、2 个和 1 个人，但这 5 个 人要一次过去，且小孩要有大人陪着，问有多少种过河的方法？ 分析：设 1 号船载 3 人，2 号船载 2 人，3 号船载 2 人，小孩显然不能进第 3 号船，也不能二 个同时进第 2 号船。 法一：从“小孩”入手。 第一类： 2 个小孩同时进第 1 号船，此时必须要有大人陪着另外 2 个大人同时进第 2 号船或分别进第 2、3 号船，先选 3 个大人之一进 1 号船， 有 (种)过河方法 第二类：2 个小孩分别进第 1、2 号船，此时第 2 号船上的小孩必须要有大人陪着，另外 2 个大人同时进第 1 号船或分别进第 1、3 号船，有过河方法 (种)。 因 此，过河的方法共有： (种)。 法二：从“船”入手 第一类：第 1 号船空一个位，此时 3 条船的载人数分别为 2、2、1，故 2 个小孩只能分 别进第 1、2 号船，有过河方法 (种)； 第二类：第 2 号船空一个位，此时 3 条船的载人数分别为 3、1、1，故 2 个小孩只能同时 进第 1 号船，有过河方法 (种)； 第三类：第 3 号船空一个位，此时 3 条船的载人数分别为 3、2、0，故 2 个小孩同时进第 1 号 船 或 分 别 进 第 1 、 2 号 船 ， 有 过 河 方 法 (种)。因此，过河的方法共有： (种 )。 3 4P ( )1 2 1 3 21 9N C P= + = ( )2 1 2 2 2 3 21 18N P C P= + = 2 3 1 2 3 12N P P= = 3 2 3 6N P= = 1 2 2 3 3 2 3 90N C P C= + = 1 2 9 18 27N N N= + = + = 1 2 3 12 6 9 27N N N N= + + = + + =2、 怎样界定是排列还是组合[来源:数理化网] 例：①身高不等的 7 名同学排成一排，要求中间的高，从中间看两边，一个比一个矮， 这样的排法有多少种？ ②身高不等的 7 名同学排成一排，要求中间的高，两边次高，再两边次高，如此下去， 这样的排法共有有多少种？ 答：① 种 ② =8 种 本来①是组合题， 与顺序无关，但有些学生不加分析，看到排队就联想排列，这是一个 误区。至于②也不全是排列问题，只是人自然有高低，按人的高低顺次放两边就是了。 又例： 7 名同学排成一排，甲、乙、丙这三人的顺序定，则不同排法有多少种？ 分析，三人的顺序定，实质是从 7 个位置中选出三个位置，然后按规定的顺序放置这三 人，其余 4 人在 4 个位置上全排列。故有排法 =840 种。 3、枚举法 三人互相传球，由甲开始传球，并作为第一次传球，经过 5 次传球后，球仍回到甲手中， 则不同的传球方式共有 （A）6 种 （B）8 种 （C）0 种 （D）12 种 解：（枚举法）该题新颖，要在考试短时间内迅速获得答案，考虑互传次数不多，所得 选择的答案数字也不大，只要按题意一一列举即可。 [来源:www.shulihua.net] 第三个专题 分堆问题 重点解决： 1、均匀分堆和非均匀分堆 关于这个问题，课本 P146 练习 10 如此出现：8 个篮球队有 2 个强队，先任意将这 8 各队 分成两个组，（每组 4 个队）进行比赛，这两个强队被分成在一个小组的概率是多少？ ¼× ±û ±û ¼× ±û ÒÒ ±û ÒÒ ±û ±û ÒÒ ¼× ¼× ¼× ÒÒ ¼× ¼× ¼× ÒÒ 3 6 20c = 1 1 1 2 2 2p p p 3 4 7 4c p由于课本后面出现这样的练习题，所以前面应对这些问题有所分析，尤其为什么均匀分堆有 出现重复？应举例说明。 例：有六编号不同的小球， ① 分成 3 堆，每堆两个 ② 分成 3 堆，一堆一个，一堆两个，一堆三个 ③ 分成 3 堆，一堆一个，一堆一个，一堆四个 在①、②、③的条件下，再分别给三个小朋友玩，每人一堆，有多少种分法？ 分析：①、②、③都是分堆，其中①是三个均匀分堆，有 3！重复，③是两个均匀分堆， 有 2！重复，如此类推。②是非均匀分堆，不可能出现重复。在教学中应用数字表示球，通过 列举法说明重复的可能，以及避免重复。 例：有六编号不同的小球， ① 分成 3 堆，每堆两个 ② 分成 3 堆，一堆一个，一堆两个，一堆三个 ③ 分成 3 堆，一堆一个，一堆一个，一堆四个 在①、②、③的条件下，再分别给三个小朋友玩，每人一堆，有多少种分法？ 分析：①、②、③都是分堆，其中①是三个均匀分堆，有 3！重复，③是两个均匀分堆， 有 2！重复，如此类推。②是非均匀分堆，不可能出现重复。在教学中应用数字表示球，通 过列举法说明重复的可能，以及避免重复。 答案：① ② ③ ④再乘以 2、为什么有重复，怎样避免重复 例：从 4 名 男生、5 名女生中任选 3 人参加学代会，至少男生、女生各一名的不同选 法 有多少种？ 有些学生这样想：先从 4 人中选一人，再从 5 人中选一人，最后在剩下的 7 人中选一人， 结果是 结果是 错误的。因为后面的 7 人与前面已选的人可能出现重 复，正确的答案是 。 又例：有 4 个唱歌节目，4 个舞蹈节目，2 个小 品排成一个节目单，但舞蹈和小品要相隔， 不同的编排有多少种方法？ 有些学生这样想，先定位 4 个唱歌，有 5 个位插入小品两个位，此时有 7 个位再插入 4 个舞 蹈，故的表达式是 。[来源:www.shulihua.net] 其实，这里又出现了重复，正确的列式是 第四个专题 直接法和间接法的区别及运用 重点解决： 3 3P 4 2 4 4 5 7P P P 6 4 5 4 6 7 5 72P P P P− 2 2 6 4 3! C C 1 2 6 5CC 4 6C 1 1 1 4 5 7 140C C C = 2 1 1 2 4 5 4 5 70C C C C+ =1、选择集合的元素有交集问题； 例：七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有几种不同的坐法？ 法一：直接法 第一类：甲在第 2-6 号位中选一而坐，接着乙在第 1-6 位中余下的 5 个位中择一 而坐，剩 下的任意安排 (种)； 第 二 类 ： 甲 在 第 7 号 坐 ， 剩 下 的 任 意 安 排 ， 有 坐 法 数 (种)。 因此，不同的坐法数共有 (种)。 法二：间接法 七人并坐，共有坐法数 (种)。甲坐首位，有 种方法；乙坐末位， 亦有 种方法。甲坐首位、乙坐末位都不符合题目要求，所以应该从扣除，但在扣除的过程中，甲 坐首位且乙坐末位的情况被扣除了 2 次，因此还须补回一个 。因此，不同的坐法数有 （种） 2、选择元素中有至少、至多等问题。 在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品，从 100 见产品中任意抽取 3 件，（1）至少 有一件是次品的抽法有多少种？（2）至多有一件次品的抽法有多少种？ 答：（1）解法 1： 解法 2 ： （2） 以上的处理，主要有如下几个好处： ①教学比较自然、流畅，容易对近似概念进行比较，找到其相同点和不同点，更深刻的 从外延到内涵掌握概念及其数学意义。 ②把相关概念弄清楚后，能给学生有足够的工具，使学生解决应用题时不在被工具而困 扰，形成良好知识结构，解决问题的思路容易畅通 ③重点突出，学生就比较容易把每一个难点和重点给予突破，减轻学生的负担又能实现 学生的学习落到实处。 ④在提高教学质量的前提下，又能提高效率。 www.shulihua.net w。w-w*k&s%5￥u www.shulihua.net w。w-w*k&s%5￥u 6 2 6 720N P= = 7 7P 6 6P 6 6P 5 5P 7 6 5 7 6 52 3720N P P P= − + = 1 1 5 1 5 5 5 3000N C C P= = 1 2 3000 720 3720N N N= + = + = 2 2 100 98 9604C C− = 1 2 2 1 2 97 2 97 9604C C C C+ = 3 1 2 98 2 98 161602C C C+ =