1.2.2组合教案 新人教版选修2-3.doc

§1．2．2 组合 教学目标： 知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断 一个问题是排列问题还是组合问题。 过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数 与组合数 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组 合数公式进行计算。 情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。 教学重点：组合的概念和组合数公式 教学难点：组合的概念和组合数公式 授课类型：新授课 课时安排：2 课时 内容分析： 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的 问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺 序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中 学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系. 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟， 只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通. 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别. 学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引 导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后 再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果 不需要，是组合问题；否则是排列问题. 排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过 程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出 发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中 感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或 解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道 在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说 明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高. 教学过程： 一、复习引入： 1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第 二类办法中有 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步 有 种不同的方法，……，做第 n 步有 种不同的方法，那么完成这件事有 种不 同的方法 m nΑ 1m 2m nm 1 2 nN m m m= + + + 1m 2m nm 1 2 nN m m m= × × × m nC3．排列的概念：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的 顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 4．排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取 出 元素的排列数，用符号 表示 5．排列数公式： （ ） 6 阶乘： 表示正整数 1 到 的连乘积，叫做 的阶乘 规定 ． 7．排列数的另一个计算公式： = 8.提出问题： 示例 1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 示例 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例 1 中不但要求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例 2 只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的 引出课题：组合． 二、讲解新课： 1 组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 例 1．判断下列问题是组合还是排列 （1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的 飞机票价？ （2）高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？ （3）从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选 出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ （4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？ 问题：（1）1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合 2．组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中 取出 个元素的组合数．用符号 表示． 3．组合数公式的推导： （1）从 4 个不同元素 中取出 3 个元素的组合数 是多少呢？ 启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 可以求得，故我们 可以考察一下 和 的关系，如下： n m m n≤ n m n m m n≤ n m m nA ( 1)( 2) ( 1)m nA n n n n m= − − − + , ,m n N m n∗∈ ≤ !n n n 0! 1= m nA ! ( )! n n m− n m ( )m n≤ n m n m ( )m n≤ n m m nC , , ,a b c d 3 4C 3 4A 3 4C 3 4A 组 合 排列 由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 ，可以分如下两步：① 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有 个；② 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有 种方法．由分步计数原理得： ＝ ，所以， ． （2）推广：一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 ，可以分如下两步： ① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 ； ② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 ，根据分步计数原理得： ＝ ． （3）组合数的公式： 或 规定: . 三、讲解范例： 例 2．用计算器计算 ． 解：由计算器可得 例 3．计算：（1） ； （2） ； （1）解： ＝35； （2）解法 1： ＝120． 解法 2： ＝120． 例 4．求证： ． dcbcdbbdcdbccbdbcdbcd dcacdaadcdaccadacdacd dbabdaadbdabbadabdabd cbabcaacbcabbacabcabc ,,,,, ,,,,, ,,,,, ,,,,, → → → → 3 4A 3 4C 3 3A 3 4A ⋅3 4C 3 3A 3 3 3 43 4 A AC = m nA m nC m mA m nA m nC m mA⋅ ( 1)( 2) ( 1) ! m m n n m m A n n n n mC A m − − − += =  )!(! ! mnm nC m n −= ),,( nmNmn ≤∈ ∗ 且 0 1nC = 7 10C 4 7C 7 10C 4 7 7 6 5 4 4!C × × ×= 7 10 10 9 8 7 6 5 4 7!C × × × × × ×= 7 10 10! 10 9 8 7!3! 3!C × ×= = 11 +⋅− += m n m n Cmn mC证明：∵ ＝ ＝ ∴ 例 5．设 求 的值 解：由题意可得： ，解得 ， ∵ ， ∴ 或 或 ， 当 时原式值为 7；当 时原式值为 7；当 时原式值为 11． ∴所求值为 4 或 7 或 11． 例 6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比 赛时一个足球队的上场队员是 11 人．问： (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？ 分析：对于（1)，根据题意，17 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元 素中选出 11 个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异， 因此这是一个分步完成的组合问题． 解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） . (2）教练员可以分两步完成这件事情： 第 1 步，从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组，共有 种选法； 第 2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有 种选法． 所以教练员做这件事情的方法数有 =136136（种）. 例 7．（1）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ 解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同的元素中取出 2 个元 素的组合数，即线段共有 )!(! ! mnm nC m n −= 11 1 ! ( 1)!( 1)! m n m m nCn m n m m n m ++ +⋅ = ⋅− − + − − 1 ! ( 1)! ( )( 1)! m n m n m n m + ⋅+ − − − ! !( )! n m n m− 11 +⋅− += m n m n Cmn mC ,+∈ Nx 32 1 1 32 − + − − + x x x x CC    −≥+ −≥− 321 132 xx xx 2 4x≤ ≤ x N+∈ 2x = 3x = 4x = 2x = 3x = 4x = 11 17C 1 11C 11 1 17 11C C× （条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的 有向线段的条数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即有向线段共有 （条）. 例 8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？ 解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有 = 161700 （种）. (2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 =9506(种). (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情 况．在第（2）小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有 种，因此根据分类加法计数原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有 + =9 604 （种） . 解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数 减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即 =161 700-152 096 = 9 604 （种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。 变式：按下列条件，从 12 人中选出 5 人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多 2 人当选； （6）甲、乙、丙三人至少 1 人当选； 例 9．（1）6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学，每人各得 2 本，有多少种不同的分法？ 解： ． （2）从 5 个男生和 4 个女生中选出 4 名学生参加一次会议，要求至少有 2 名男生和 1 名女生参加，有 多少种选法？ 解：问题可以分成 2 类： 第一类 2 名男生和 2 名女生参加，有 中选法； 第二类 3 名男生和 1 名女生参加，有 中选法 依据分类计数原理，共有 100 种选法 2 10 10 9 451 2C ×= =× 2 10 10 9 90A = × = 3 100 100 99 98 1 2 3C × ×= × × 1 2C 2 98C 1 2 2 98C C⋅ 1 2 2 98C C⋅ 1 2 2 98C C⋅ 2 1 2 98C C⋅ 3 3 100 98C C− 902 2 2 4 2 6 =⋅⋅ CCC 2 2 5 4 60C C = 3 1 5 4 40C C =错解： 种选法 引导学生用直接法检验，可知重复的很多 例 10．4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？ 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3 男，2 男 1 女，1 男 2 女，分别有 ， ， ， 所以，一共有 + + ＝100 种方法． 解法二：（间接法） 四、组合数的两个性质 组合数的性质 1： ． 一般地，从 n 个不同元素中取出 个元素后，剩下 个元素．因为从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的每一个组合，与剩下的 n − m 个元素的每一个组合一一对应，所以从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的组合数，等于从这 n 个元素中取出 n − m 个元素的组合数，即： ．在这里，主要体现：“取 法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵ 又 ，∴ 说明：①规定： ； ②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③此性质作用：当 时，计算 可变为计算 ，能够使运算简化. 例如 ＝ ＝ =2002； ④ 或 ． 2．组合数的性质 2： ＝ + ． 一般地，从 这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是 ，这些组合可以分为 两类：一类含有元素 ，一类不含有 ．含有 的组合是从 这 n 个元素中取出 m −1 个元 素与 组成的，共有 个；不含有 的组合是从 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的， 共有 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳 2 1 1 5 4 6 240C C C = 3 4C 1 6 2 4 CC ⋅ 2 6 1 4 CC ⋅ 3 4C 1 6 2 4 CC ⋅ 2 6 1 4 CC ⋅ 1003 6 3 10 =− CC mn n m n CC −= m n m− mn n m n CC −= )!(! ! )]!([)!( ! mnm n mnnmn nC mn n −=−−−=− )!(! ! mnm nC m n −= mn n m n CC −= 10 =nC 2 nm > m nC mn nC − 2001 2002C 20012002 2002 −C 1 2002C y n x n CC = yx =⇒ nyx =+ m nC 1+ m nC 1−m nC 121 ,,, +naaa  m nC 1+ 1a 1a 1a 132 ,,, +naaa  1a 1−m nC 1a 132 ,,, +naaa  m nC思想，“含与不含其元素”的分类思想． 证明： ∴ ＝ + ． 说明：①公式特征：下标相同而上标差 1 的两个组合数之和，等于下标比原下标多 1 而上标与大的相同的 一个组合数； ②此性质的作用：恒等变形，简化运算 例 11．一个口袋内装有大小不同的 7 个白球和 1 个黑球， （1）从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：（1） ,或 ，；（2） ；（3） ． 例 12．（1）计算： ； （2）求证： ＝ + + ． 解：（1）原式 ； 证明：（2）右边 左边 例 13．解方程：（1） ；（2）解方程： ． 解：（1）由原方程得 或 ，∴ 或 ， 又由 得 且 ，∴原方程的解为 或 上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把 和 代入检验,这样运算量小得多. （2）原方程可化为 ，即 ，∴ ， ∴ ， ∴ ，解得 或 ， 经检验： 是原方程的解 例 14．证明： 。 )]!1([)!1( ! )!(! !1 −−−+−=+ − mnm n mnm nCC m n m n )!1(! !)1(! +− ++−= mnm mnmnn )!1(! !)1( +− ++−= mnm nmmn )!1(! )!1( +− += mnm n m nC 1+= m nC 1+ m nC 1−m nC 563 8 =C =3 8C +2 7C 3 7C 212 7 =C 353 7 =C 6 9 5 8 4 7 3 7 CCCC +++ n mC 2+ n mC 12 −n mC 2−n mC 4 5 6 5 6 6 4 8 8 9 9 9 10 10 210C C C C C C C= + + = + = = = 1 1 2 1 1 1 2( ) ( )n n n n n n n m m m m m m mC C C C C C C− − − − + + += + + + = + = = 32 13 1 13 −+ = xx CC 3 3 3 2 2 2 10 1 + − + − + =+ x x x x x ACC 1 2 3x x+ = − 1 2 3 13x x+ + − = 4x = 5x = 1 1 13 1 2 3 13 x x x N ∗  ≤ + ≤  ≤ − ≤  ∈ 2 8x≤ ≤ x N ∗∈ 4x = 5x = 4x = 5x = 2 3 3 3 1 10 x x xC A− + += 5 3 3 3 1 10x xC A+ += ( 3)! ( 3)! 5!( 2)! 10 ! x x x x + +=− ⋅ 1 1 120( 2)! 10 ( 1) ( 2)!x x x x =− ⋅ − ⋅ − 2 12 0x x− − = 4x = 3x = − 4x = pn pm p m p n n m CCCC − −⋅=⋅证明：原式左端可看成一个班有 个同学，从中选出 个同学组成兴趣小组，在选出的 个同学中， 个同学参加数学兴趣小组，余下的 个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在 个同学中选出 个同学参加数学兴趣小组，在余下的 个同学中选出 个同学参加物理兴趣小组 的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。 例 15．证明： … （其中 ）。 证明：设某班有 个男同学、 个女同学，从中选出 个同学组成兴趣小组，可分为 类：男 同学 0 个，1 个，…， 个，则女同学分别为 个， 个，…，0 个，共有选法数为 … 。又由组合定义知选法数为 ，故等式成立。 例 16．证明： … 。 证明：左边= … = … ， 其中 可表示先在 个元素里选 个，再从 个元素里选一个的组合数。设某班有 个同学，选出若干 人（至少 1 人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种选法按取到的人数 分类（ … ）， 则选法总数即为原式左边。现换一种选法，先选组长，有 种选法，再决定剩下的 人是否参加，每人 都有两种可能，所以组员的选法有 种，所以选法总数为 种。显然，两种选法是一致的，故左边= 右边，等式成立。 例 17．证明： … 。 证明：由于 可表示先在 个元素里选 个，再从 个元素里选两个（可重复）的组合 数，所以原式左端可看成在例 3 指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原 式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有 种选 法；若组长和副组长不是同一个人，则有 种选法。∴共有 + 种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。 例 18．第 17 届世界杯足球赛于 2002 年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有 32 支球队有幸参加，他们先 分成 8 个小组循环赛，决出 16 强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级 16 强），这支球队按 确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比 赛？ 答案是： ，这题如果作为习题课应如何分析 解：可分为如下几类比赛： ⑴小组循环赛：每组有 6 场，8 个小组共有 48 场； m n n p pn − m p pm − pn − ++ −110 m mn m mn CCCC m nmm m n CCC +=+ 0 mn ≥ n m m 1+m m m 1−m ++ −110 m mn m mn CCCC 0 m m n CC+ m nmC + +++ 321 32 nnn CCC 12 −=+ nn n nnC +++ 321 32 nnn CCC n nnC+ +++ 31 3 21 2 11 1 nnn CCCCCC n nnCC1+ i ni CC1 n i i n i ，，21=i n， n 1−n 12 −n 12 −nn +++ 32221 32 nnn CCC 22 2)1( −+=+ nn n nnCn i nii i n CCCCi 112 = n i i 12 −nn 22)1( −− nnn 12 −nn 22)1( −− nnn 22)1( −+= nnn 6422488 2 4 =++++C⑵八分之一淘汰赛：8 个小组的第一、二名组成 16 强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出 8 强，共有 8 场； ⑶四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8 强中每两个队比赛一场，可以决出 4 强，共有 4 场； ⑷半决赛：根据抽签规则，4 强中每两个队比赛一场，可以决出 2 强，共有 2 场； ⑸决赛：2 强比赛 1 场确定冠亚军，4 强中的另两队比赛 1 场决出第三、四名 共有 2 场. 综上，共有 场 五、课堂练习： 1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题： （1）从 4 个风景点中选出 2 个安排游览，有多少种不同的方法？ （2）从 4 个风景点中选出 2 个，并确定这 2 个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 2． 名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ） ． ． ． ． 3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ） ． 对 ． 对 ． 对 ． 对 4．设全集 ，集合 、 是 的子集，若 有 个元素， 有 个元素，且 ， 求集合 、 ，则本题的解的个数为 （ ） ． ． ． ． 5．从 位候选人中选出 人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法 6．从 位同学中选出 人去参加座谈会，有 种不同的选法 7．圆上有 10 个点： （1）过每 2 个点画一条弦，一共可画 条弦； （2）过每 3 个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形 8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸 五边形有 条对角线 9．计算：（1） ；（2） ． 10． 个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、 亚军的可能情况共有多少种？ 11．空间有 10 个点，其中任何 4 点不共面，（1）过每 3 个点作一个平面，一共可作多少个平面？（2）以 每 4 个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？ 12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？ 13．写出从 这 个元素中每次取出 个的所有不同的组合 答案：1. （1）组合, （2）排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15 7. （1）45 （2） 120 8. （1）5（2） 9. ⑴455； ⑵ 10. ⑴10； ⑵20 11. ⑴ ； ⑵ 12. 13. ； ； ； ； 6422488 2 4 =++++C 7 A 42 B 21 C 7 D 6 A 15 B 25 C 30 D 20 { }, , ,U a b c d= A B U A 3 B 2 { }A B a= A B A 42 B 21 C 7 D 3 6 2 6 2 n 3 15C 3 4 6 8C C÷ , , , ,A B C D E 5 , , , ,a b c d e 5 4 ( 3) / 2n n − 2 7 3 10 120C = 4 10 210C = 1 2 3 4 4 4 4 4 4 2 1 15C C C C+ + + = − = , , ,a b c d , , ,a b c e , , ,a b d e , , ,a c d e , , ,b c d e六、小结：组合的意义与组合数公式；解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还 是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理 学生探究过程：（完成如下表格） 名 称 排 列 组 合 定义 种数 符号 计算 公式 关系 性质 ， 七、课后作业： 八、板书设计（略） 九、教学反思： 排列组合问题联系实际生动有趣，题型多样新颖且贴近生活，解法灵活独到但不易掌握，许多学生面 对较难问题时一筹莫展、无计可施，尤其当从正面入手情况复杂、不易解决时，可考虑换位思考将其等价 转化，使问题变得简单、明朗。 教科书在研究组合数的两个性质① ，② 时，给出了组合数定义的解释 证明，即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一个组合问题的两种计算方法，由组合个数相等证 出要证明的组合等式。这种构造法证明构思精巧，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能极大地激发学习兴 趣。本文试给几例以说明。 名称内容 分类原理 分步原理 定 义 相同点 不同点 mn n m n CC −= 1 1 − + += m n m n m n CCC教学反思： 1 注意区别“恰好”与“至少” 从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种 2 特殊元素（或位置）优先安排 将 5 列车停在 5 条不同的轨道上，其中 a 列车不停在第一轨道上，b 列车不停在第二轨道上，那么不 同的停放方法有种 3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空” 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种 4、混合问题，先“组”后“排” 对某种产品的 6 件不同的正品和 4 件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第 5 次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？ 5、分清排列、组合、等分的算法区别 (1)今有 10 件不同奖品,从中选 6 件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法? (2) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分给三人,其中 1 人一件 1 人二件 1 人三件, 有多少种分法? (3) 今有 10 件不同奖品, 从中选 6 件分成三份,每份 2 件, 有多少种分法? 6、分类组合,隔板处理 从 6 个学校中选出 30 名学生参加数学竞赛,每校至少有 1 人,这样有几种选法?