1.3 2 二项式定理及其应用（选修2-3）.doc

二项式定理及其应用 一、求某项的系数： 【例 1】（1）在（1-x3）（1+x）10 的展开式中，x5 的系数是多少？（407） （2）求（1+x-x2）6 展开式中含 x5 的项．（ ） 二、证明组合数等式： 练习 （12345） [来源:www.shulihua.net] 例 2 计算：1.9975（精确到 0.001）． 师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下． 56x例 3：（1996 年全国高考有这样一道应用题） 某地现有耕地 10 000 公顷，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22％，人均粮食占有量比 现在提高 10％．如果人口年增长率为 1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确 到 1 公顷）？ 例 3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数 n，经过 23n+3＋7n＋5 天后 的那一天是星 期几？ 生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自 然数 n，23n+3+7n＋5 被 7 除的余数． 受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用 数，7n 也是 7 的倍数，最后余数是 1 加上 5，是 6 了． 师：请同学们在笔记本上完成此题的解答 （教师请一名同学板演） 解：由于 23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5则 23n+3＋7n ＋5 被 7 除所得余数为 6 所以对于任意自然数 n，经过 23n+3＋7n＋5 后的一天是星期日． 师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1 能被 19 整除吗？ （教师在教室内巡视，3 分钟后找学生到黑板板演） 解：7777-1=（76+1）77 由于 76 能被 19 整除，因此 7777-1 能被 19 整除． 师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？ 生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把 7777 改成（19＋58）77， 显然展开式中最后一项 5877 仍然不易判断是否能被 19 整除，于是我想到若 7777-1 能被 38，或 能被 57，或能被 76，或能被 95 整除，必能被 19 整除，而 76 与 77 只差 1，故欲证 7777-1 被 19 整除，只需证（76+1）77 被 76 整除．得到了以上的解法． 师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们 解一些综合运用的习题 例 4 求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且 n≥2）． 师：仍然由同学先谈谈自己的想法． 生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将 3 换成 2＋ 1．注意到： ① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）； ② n≥2，右式至少三项； 这样，可以得到 3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且 n≥ 2）． 生癸：根据题设条件有 n∈N，且 n≥2．用数学归纳法应当可以证明． 师：由于观察习题时思维起点不同，得到了习题不同解法，生×同学从乘方运算这点考虑， 想到二项式定理，生×同学 从题设条件 n∈N 考虑，想到数学归纳法．大家要养成习惯，每遇 一题，从不同角度观察思考，得到更多解法，使我们思考问题更全面． 用二项式定理证明，生×同学已经讲清楚了证明过程，大家课下在笔记本上整理好，现在 请同学们在笔记本上完成数学归纳法的证明． （教师请一名同学板演） 证明：①当 n=2 时，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，显然 9＞8．故不等式成 立． ②假设 n=k（k∈N 且 k≥ 2）时，不等式成立，即 3k＞2k-1（k＋2），则当 n=k＋1 时， 由于 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k． 右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k， 则 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0． 所以 左式＞有式．故当 n=k＋1 时，不等式也成立． 由①，②不等式对 n≥2，n∈N 都成立． 师：为了培养综合能力，同学们在笔记本再演算一道习题： 设 n∈N 且 n＞1，求证： （证明过程中可以运用公式：对 n 个正数 a1，a2，…，an，总有 （教师在教室巡视，过 2 分钟找一名同学到黑板板演第（1）小题，再过 3 分钟找另一名 同学板演第（2）小题）[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net] 师：哪位同学谈一谈此题应怎样分析？ 生寅：第（1）小题左式与右式没有直接联系，应把它们分别转化， 列前 n 项的和，由求和公式也能得到 2n-1．因此得到证明． 第（2）小题左式与右式也没有直接联系．根据题目给出的公式要 师：根据式子的结构想有关知识和思考方法是分析问题的一种重要方法，要在解题实践 中掌握． 本节课讨论了二项式定理主要应用，包括组合数的计算、近似计算、整除和求余数的计 算以及与其他数学知识的综合应用．当然，二项式定理的运用不止这些，凡是涉及到乘方运 算（指数是自然数或转化为自然数）都可能用到二项式定理．认真分析习题的结构，类比、 联想、转化是重要的找到解题途径的思考方法，希望引起同学们的重视． 作业 1．课本习题：P253 习题三十一：6，7，10；2．课本习题：P256 复习参考题九：15（2）． 3．补充题： [来源:www.shulihua.net] 课堂 教学设计说明 1．开始练习起着承上启下的作用．这三题既复习了二项式定理及其性质，又考查了数学 基本思想，如等价变换、未知转化已知，取特殊值，利于本节课进行，又培养了学生预习复 习的学习习惯． 2．只有学生自己动手、动脑、动口才能真正把知识学到手，才能培养思维能力、计算能 力、表达能力、分析问题解决问题能力．因此课堂教学一定以学生为主体，体现主体参与． 3．学生的回答不会像教案写的那样标准，教师要因势利导，帮助学生提高分析能力． www.shulihua.net w。w-w*k&s%5￥uwww.shulihua.net w。w-w*k&s%5￥u