1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教版选修2-3.doc

§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图 1－5－1 提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情 推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2 课时 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1） ， （2） . 2．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 的限制；求有理项时要注意到指数及项 数的整数性 二、讲解新课： 1 二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当 依次取 …时，二项式系数表，表中每行 两端都是 ，除 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是 ， ， ，…， ． 可以看成以 为自 变量的函数 定义域是 ，例当 时，其图象是 个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵ ）． 直线 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵ ， ∴ 相对于 的增减情况由 决定， ， 当 时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 0 1( ) ( )n n n r n r r n n n n n na b C a C a b C a b C b n N− ∗+ = + + + + + ∈  1(1 ) 1n r r n n nx C x C x x+ = + + + + +  1 r n r r r nT C a b− + = r ( )na b+ n 1,2,3 1 1 ( )na b+ 0 nC 1 nC 2 nC n nC r nC r ( )f r {0,1,2, , }n 6n = 7 m n m n nC C −= 2 nr = 1( 1)( 2) ( 1) 1 ! k k n n n n n n k n kC Ck k −− − − + − += = ⋅ k nC 1k nC − 1n k k − + 1 11 2 n k nkk − + +> ⇔ < 1 2 nk + 6x 2 3 1(3 )2 nx x − n N ∗∈ n (1 )nx+ p q 2(1 )nx− pq 2 2p q+ 2 2p q− ( )2 3 4 1 0 1 2 31 1 1 1 111 1 1 1 1 n n n n n n n n a a a a aC C C C Ca a a a a +− − − − −− + − + + −− − − − − n N ∗∈ 2n ≥ ( )13 2 2n n n−> + ( )102 x+ ( ) ( )1 6nf x x n= − > ( ) 11 na a −− − 3 3 1 15360T x+ = 2( 1)na + 5 216 1 5 x x  +   2( 1)na + 54 a ( )a R∈ 3a = ± ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 9 14 13 0 1 13 141 3 2 1 1 1x x a x a x a x a− + = + + + + + + +求：① ② ． 答案：① ； ② 3．求值： ． 答案： 4．设 ，试求 的展开式中： （1）所有项的系数和； （2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和 答案：（1） ； （2）所有偶次项的系数和为 ； 所有奇次项的系数和为 六、板书设计（略） 七、教学反思： 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数” 与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。 二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况； (a+b)n 展开后应有什么规律，这里 n∈N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容. 选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n 一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，大家想想， 求 an 时我们用了什么方法，学生：先写出前 n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明， 老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4 的展开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以 用(a+b)3 展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式： (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？ 学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是 从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用 来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n= 现在的 问题就是要找 的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算 2007年高考题 1．（2007 年江苏卷）若对于任意实数 ，有 ，则 的值为 （B） A． B． C． D． 0 1 14a a a+ + + 1 3 13a a a+ + + 93 19683= ( )9 53 3 99632 + = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 92 2 2 2 2C C C C C C C C C C− + − + − + − + − 82 256= 2 9 6( ) ( 1) (2 1)f x x x x= + − + ( )f x 63 729= 63 1 3642 − = 63 1 3652 + = n nnn aaa  10 , nn n rrnr n n n n n babaabaaaa +++ −−  110 r na x 3 2 3 0 1 2 3( 2) ( 2) ( 2)x a a x a x a x= + − + − + − 2a 3 6 9 122．（2007 年湖北卷）如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为 A.3 B.5 C.6 D.10 【答案】：B. 【分析】： ， ， （ ）。 . 【高考考点】：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力. 【易错点】：注意二项式定理的通项公式中项数与 r 的关系。 【高备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。 3．（2007 年江西卷）已知 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 ，则 等于（　C　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4．（2007 年全国卷 I） 的展开式中，常数项为 ，则 （ D ） A． B． C． D． 5．（2007 年全国卷Ⅱ） 的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 6．（2007 年天津卷）若 的二项展开式中 的系数为 ，则 　2　（用数字作答）． 7．（2007 年重庆卷）若 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ B ） A10 B.20 C.30 D.120 8．（2007 年安徽卷）若(2x3+ )a 的展开式中含有常数项,则最小的正整数 n 等于 7 . 9．（2007 年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所示的 0-1 三角数表．从上往 下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，…，第 次全行的数都为 1 的是第 行；第 61 行中 1 的个数是 32 ． 第 1 行　　　　　 1 1 第 2 行 1 0 1 第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… n x x      − 3 2 23 2 2( ) 3 2 5 1 3 2(3 ) ( ) 3 ( 2) 3 ( 2)r n r r r n r r n r r r n r r n r r n n nT C x C x C xx − − − − − − + = − = − = − 2 5 0n r− = 5 2 rn = 2,4,r =  min 5n = 3 3 n x x  +   64 n 4 5 6 7 2 1 n x x  −   15 n = 3 4 5 6 8 2 1(1 2 )x x x  + −   42− 6 2 1x ax  +   2x 5 2 a = n xx )1( + x 1 n 2 1n −