高二数学（人教版）选修4-5教案：第12课时 几个著名的不等式之——柯西不等式.doc

课 题：　第 12 课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均 不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重 要工具。 1、什么是柯西不等式： 定理 1：（柯西不等式的代数形式）设 均为实数，则 ， 其中等号当且仅当 时成立。 证明： 几何意义：设 ， 为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为 A （ ），B（ ），那么它们的数量积为 ， 而 ， ， 所以柯西不等式的几何意义就是： ， 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。 2、定理 2：（柯西不等式的向量形式）设 ， 为平面上的两个向量，则 ，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成 立。 3、定理 3：（三角形不等式）设 为任意实数，则： 分析： 思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？ dcba ,,, 22222 )())(( bdacdcba +≥++ bcad = α β ba, dc, bdac +=• βα 22|| ba +=α 22|| dc +=β |||||| βαβα •≥⋅ α β |||||| βαβα •≥⋅ 332211 ,,,,, yxyxyx 2 31 2 31 2 32 2 32 2 21 2 21 )()()()()()( yyxxyyxxyyxx −+−≥−+−+−+−4、定理 4：（柯西不等式的推广形式）：设 为大于 1 的自然数， （ 1， 2，…， ）为任意实数，则： ，其中等号当且仅当 时成立（当 时，约定 ， 1，2，…， ）。 证明：构造二次函数： 即构造了一个二次函数： 由于对任意实数 ， 恒成立，则其 ， 即： ， 即： ， 等号当且仅当 ， 即 等 号 当 且 仅 当 时 成 立 （ 当 时 ， 约 定 ， 1 ， 2，…， ）。 如果 （ ）全为 0，结论显然成立。 柯西不等式有两个很好的变式： 变式 1 设 ，等号成立当且仅当 变式 2 设 ai，bi 同号且不为 0（i=1，2，…，n），则： ，等号成立 当且仅当 。 n ii ba , =i n 2 11 2 1 2 )(∑∑∑ === ≥ n i ii n i i n i i baba n n a b a b a b ===  2 2 1 1 0=ia 0=ib =i n 22 22 2 11 )()()()( nn bxabxabxaxf −++−+−=  ∑∑∑ === +−= n i i n i ii n i i bxbaxaxf 1 2 1 2 1 2 )(2)()( x 0)( ≥xf 0≤∆ 0))((4)(4 1 2 1 22 1 ≤−=∆ ∑∑∑ === n i i n i i n i ii baba ))(()( 1 2 1 22 1 ∑∑∑ === ≤ n i i n i i n i ii baba 02211 =−==−=− nn bxabxabxa  n n a b a b a b ===  2 2 1 1 0=ia 0=ib =i n ia ni ≤≤1 ),,,2,1(0, nibiRai =>∈ ∑ ∑∑ ≥ = i i n i i i b a b a 2 1 2 )( )1( niab ii ≤≤= λ ∑ ∑∑ ≥ = ii i n i i i ba a b a 2 1 )( nbbb === 21二、典型例题： 例 1、已知 ， ，求证： 。 例 2、设 ，求证： 。 例 3、设 为平面上的向量，则 。 例 4、已知 均为正数，且 ，求证： 。 方法 1： 方法 2：（应用柯西不等式） 例 5：已知 ， ，…， 为实数，求证： 。 分析： 推论：在 个实数 ， ，…， 的和为定值为 S 时，它们的平方和不小于 ， 当且仅当 时，平方和取最小值 。 122 =+ ba 122 =+ yx 1|| ≤+ byax Rdcba ∈,,, 222222 )()( dbcadcba +++≥+++ γβα ,, |||||| γαγββα −≥−+− cba ,, 1=++ cba 9111 ≥++ cba 1a 2a na 2 11 2 )(1 ∑∑ == ≥ n i i n i i ana n 1a 2a na 21 Sn naaa === 21 21 Sn三、小结： 四、练习： 1、设 x1，x2，…，xn >0, 则 2、设 （i=1，2，…，n）且 求证: ． 3、设 a 为实常数,试求函数 (x∈R)的最大值． 4、求函数 在 上的最大值,其中 a，b 为正常数． 五、作业： 1、已知： ， ,证明： 。 提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。 2、若 ，且 = ， = ，求证： 都 是不大于 的非负实数。 证明：由 代入 = 可得 ∵　 ∴△≥0 即 化简可得 ： ∵　　 　　∴ 　 同理可得： 　， 由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用； 只要能灵活运用，就能收到事半功倍的效果。 3、设 a﹐b 为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。 11 1 1 − ≥ − ∑ ∑ = = n x x x n i in i i i +∈ Rxi 111 =+∑ = n i i i x x ∑∑ ≤≤≤= ≥ nji ji n i i xxx 11 2 )cos(sin)( xaxxf += xbxaxf cossin)( +⋅= )2,0( π 122 =+ ba 222 =+ nm 22 ≤+≤− bnam Rzyx ∈,, zyx ++ a 222 zyx ++ 2 2 1 a )0( >a zyx ,, a3 2 yxaz −−= 222 zyx ++ 2 2 1 a 02 1)()(22 222 =−−+−− ayaxyax Rx ∈ 02 1)(8)(4 2222 ≥    −−+−− ayayya 023 2 ≤− ayy 0>a ay 3 20 ≤≤ ax 3 20 ≤≤ az 3 20 ≤≤4、设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=10，求 的最小值。 5、设 x，y，z∈R，求 的最大值。 7、设三个正实数 a,b,c 满足 ，求证： a，b，c 一定是 某三角形的三边长。 8、求证 个正实数 a1，a2，…，an 满足 9、已知 ,且 求证: 。 10、设 ,求证: 。 11、设 ,且 x+2y+3z=36,求 的最小值． z 9 y 1 x 4 ++ 222 zy2x zyx2 ++ −+ )(2)( 4442222 cbacba ++>++ )3( ≥nn ))(1()( 44 2 4 1 222 2 2 1 nn aaanaaa +++−>+++  +∈ Rzyx ,, 12 =+∑ x x 1222 222 ≥+++++ z z y y x x +∈ Rzyx ,, 122 2 22 2 22 2 ≥++++++++ xyyx z zxxz y yzzy x +∈ Rzyx ,, zyx 321 ++