课 题： 第 13 课时 几个著名的不等式之二：排序不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、问题：若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45min，25 min 和
30 min，每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05 元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样
的顺序维修，才能使经济损失降到最小？
分析：
二、排序不等式：
1、基本概念：
一般地，设有两组数： ≤ ≤ ， ≤ ≤ ，我们考察这两组数两两对应之积
的和，利用排列组合的知识，我们知道共有 6 个不同的和数，它们是：
对 应 关 系 和 备 注
（ ， ， ）
（ ， ， ）
同序和
（ ， ， ）
（ ， ， ）
乱序和
（ ， ， ）
（ ， ， ）
乱序和
（ ， ， ）
（ ， ， ）
乱序和
（ ， ， ）
（ ， ， ）
乱序和
（ ， ， ）
（ ， ， ）
反序和
根据上面的猜想，在这 6 个不同的和数中，应有结论：
同序和 最大，反序和 最小。
1a 2a 3a 1b 2b 3b
1a 2a 3a
1b 2b 3b
3322111 bababaS ++=
1a 2a 3a
1b 3b 2b
2332112 bababaS ++=
1a 2a 3a
2b 1b 3b
3312213 bababaS ++=
1a 2a 3a
2b 3b 1b
1332214 bababaS ++=
1a 2a 3a
3b 1b 2b
2312315 bababaS ++=
1a 2a 3a
3b 2b 1b
1322316 bababaS ++=
332211 bababa ++ 132231 bababa ++2、对引例的验证：
对 应 关 系 和 备 注
（1，2，3）
（25，30，45） 同序和
（1，2，3）
（25，45，30） 乱序和
（1，2，3）
（30，25，45） 乱序和
（1，2，3）
（30，45，25） 乱序和
（1，2，3）
（45，25，30） 乱序和
（1，2，3）
（45，30，25） 反序和
3、类似的问题：
5 个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要的时间分别是
4 分钟，8 分钟，6 分钟，10 分钟，5 分钟。那么如何安排这 5 个人接水的顺序，才能使他
们等待的总时间最少？
分析：
4、排序不等式的一般情形：
一般地，设有两组实数： ， ， ，…， 与 ， ， ，…， ，且它们满
足：
≤ ≤ ≤…≤ ， ≤ ≤ ≤…≤ ，
若 ， ， ，…， 是 ， ， ，…， 的任意一个排列，则和数
在 ， ， ，…， 与 ， ， ，…， 同序时最大，反
序时最小，即：
，
等号当且仅当 或 时成立。
分析：用逐步调整法
2203322111 =++= bababaS
2052332112 =++= bababaS
2153312213 =++= bababaS
1951332214 =++= bababaS
1852312315 =++= bababaS
1801322316 =++= bababaS
1a 2a 3a na 1b 2b 3b nb
1a 2a 3a na 1b 2b 3b nb
1c 2c 3c nc 1b 2b 3b nb
nncacaca +++ 2211 1a 2a 3a na 1b 2b 3b nb
112122112211 bababacacacabababa nnnnnnn +++≥+++≥+++ −
naaa === 21 nbbb === 21四、小结：
五、练习：
六、作业：
1、求证： 。
2、在△ABC 中，ha , hb ,hc 为边长 a,b,c 上的高，求证：asinA+bsinB+csinC ha + hb
+hc ．
3、若 a>0,b>0，则 ．
4、在△ABC 中，求证： ．（IMO）
5、若 a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，求证： ．
6、若 x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤ ，则 ．
dacdbcabdcba +++≥+++ 2222
≥
2222
332266 babababa +⋅+⋅+≥+
abccbacbacbacba 3)()()( 222 ≤−++−++−+
∑∑
==
≥
n
k
n
k
k
kk
a
11
2
1
2
1
2
1)1()1)(1( 21 ≥−−− nxxx
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