课 题： 第 15 课时 利用平均不等式求最大（小）值 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 1、重要的结论： 已知 x，y 都是正数，则： (1)、如果积 xy 是定值 P，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 2 P ； (2)、如果和 x+y 是定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 二、典型例题： 例 1、当 x 取什么值时，函数 y ? 4 x ?
2
1 4
S
2
9 x
2
有最小值？最小值是多少？
例 2、求函数 y ?
x
2
? 2x ? 6 x ?1
（ x ? 0 ）的最小值
例 3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为 6400 元的电脑。假定在电脑的使用过程中， 每年的维修费用约为：第一年为 200 元，第二年 400 元，第三年 600 元，?，按等差数列递 增。这台电脑使用多少年报废最合算？ 分析：
例 4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上 A 点的水平距离是 a ，那么 电灯距离桌面的高度 h 等于多少时，A 点处最亮？（亮度公式： I ?
k r
2
sin ? ，这里 k 为常
数， r 是电灯到照射点的距离，? 是照射到某点的光线与水平面所成的角） 分析：
r h
a O
A
例 5、求函数 y ? 2 x ?
2
3 x
, ( x ? 0 ) 的最大值，下列解法是否正确？为什么？
解一： y ? 2 x ?
2
3 x
? 2x
2
?
1 x
?
1 x
? 33 2 x
2
?
1 x
?
2 x
?3
3
4
∴ y min ? 3 3 4 解二： y ? 2 x ?
2
3 x
?2
2x
2
?
3 x
?2
6 x 当2x
2
?
3 x
3
即x ?
12 2
时
3
y min ? 2
6?
12 2
?2
3 12 ? 2
3
6
324
答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=” ，即不存在 x 使得 2 x 解二错在 2 6 x 不是定值（常数）
3 x
3
2
?
1 x
?
2 x
；
正确的解法是： y ? 2 x ?
2
? 2x
2
?
3 2x
?
3 2x
? 33 2 x
2
?
3 2x
?
3 2x
? 33
9 2
?
3 2
3
36
当且仅当 2 x
2
?
3 2x
即x ?
6 2
时 y min ?
3 2
3
36
例 6、若 ? 4 ? x ? 1 ，求
x
2
? 2x ? 2 2x ? 2
2
的最值
解：
x
2
? 2x ? 2 2x ? 2
?
1 2
?
( x ? 1)
?1
x ?1
?
1 2
[( x ? 1 ) ?
1 x ?1
]? ?
1 2
[ ? ( x ? 1) ?
1 ? ( x ? 1)
]
∵? 4 ? x ? 1
∴ ? ( x ? 1) ? 0
1 ? ( x ? 1)
?0
从而 [ ? ( x ? 1 ) ?
1 ? ( x ? 1)
]? 2
?
1 2
[ ? ( x ? 1) ?
1 ? ( x ? 1)
] ? ?1
即(
x
2
? 2x ? 2 2x ? 2
) min ? ? 1
例 7、设 x ? R 且 x ?
2
?
y
2
? 1 ，求 x 1 ? y
2
的最大值
2
解：∵ x ? 0
∴x 1? y
2
?
2?
x(
2
1 2
?
y
2
)
2
又x2 ? (
1 2
?
y
2
) ? (x
2
?
y
2
)?
1 2
?
3 2
2
1 2
3 4
2
3 2
2
∴x 1? y
2
?
2(
?
)?
3 4
2
即 ( x 1 ? y ) max ?
2
例 8、已知 a , b , x , y ? R ? 且
a x
?
b y a x
? 1 ，求 x ? y 的最小值
解： x ? y ? ( x ? y ) ? 1 ? ( x ? y )(
?
b y
)?a?b?
ay x
?
xb y
?a?b?2
ay x
?
xb y
?(
a?
b)
2
当且仅当
ay x
?
xb y
即
x y
?
a b
时 ( x ? y ) min ? ( a ?
b)
2
三、小结：
四、练习： 1．求下列函数的最值： 1? 、 y ? 2 x ?
2
4 x
,(x ? R )
?
(min=6)
a 2
2?、 y ? x ( a ? 2 x ) , ( 0 ? x ?
2
)
( max ?
2a 27
3
)
2．1?、 x ? 0 时求 y ?
1 9
6 x
? 3 x 的最小值， y ?
2
6 x
2
? 3 x 的最小值 ( 9 ,
9 2
3
4)
2?、设 x ? [ , 27 ] ，求 y ? log
x
3
? log
27
3
( 3 x ) 的最大值(5)
3?、若 0 ? x ? 1 , 求 y ? x 4 (1 ? x 2 ) 的最大值 (
4 27
,x ?
2 3
3
)
4?、若 x , y ? R ? 且 2 x ? y ? 1 ，求
1 x
?
1 y
的最小值 ( 3 ? 2 2 )
3．若 a ? b ? 0 ，求证： a ?
1 b(a ? b)
的最小值为 3
4．制作一个容积为 16 ? m 的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和高各取多少时，
3
用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料） ( R ? 2 m , h ? 4 m )
2、某种汽车购买时的费用是 10 万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为 9 千元； 汽车的维修费平均为： 第一年 2 千元， 第二年 4 千元， 第三年 6 千元， 依等差数列逐年递增。 问这种汽车使用多少年报废最合算(即年平均费用最少)? 解：设这种汽车使用 n 年报废最合算 n 年汽车的维修总费用为
0 .2 ? 0 .4 ? 0 .6 ? ? ? 0 .2 n ? n ( n ? 1) 2 ? 0 . 2 ? 0 . 1( n
2
? n ) (万元)
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