选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 01 课时 不等式的基本性质
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远
者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中
息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上
方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖
的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，
需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式
等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不
等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从
引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)，若再加
m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
分析：起初的糖水浓度为 ，加入 m 克糖 后的糖水浓度为 ，只要证 > 即可。
怎么证呢?
二、不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：
①、如果 a>b，那么 bb，且 b>c，那么 a>c，即 a>b，b>c a>c。
③、如果 a>b，那么 a+c>b+c，即 a>b a+c>b+c。
推论：如果 a>b，且 c>d，那么 a+c>b+d．即 a>b， c>d a+c>b+d．
④、如果 a>b，且 c>0，那么 ac>bc；如果 a>b，且 c0，那么 (n N，且 n>1)
⑥、如果 a>b >0，那么 (n N，且 n>1)。
三、典型例题：
例 1、已知 a>b，cb-d．
a
b
ma
mb
+
+
ma
mb
+
+
a
b
0>−⇔> baba
0=−⇔= baba
0 ∈
nn ba > ∈例 2 已知 a>b>0，c选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 02 课时 含有绝对值的不等式的解法
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础
上，本节讨论含有绝对值的不等式。
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下
面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，
化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.
请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 。
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第 一 种 类 型 。 设 a 为 正 数 。 根 据 绝 对 值 的 意 义 ， 不 等 式 的 解 集 是
，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 a 的点的集合是开区间（－a，a），如
图所示。
图 1-1
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型。 设 a 为正数。根据绝对值的意义，不等式 的解集是
{ 或 }
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a 的点的集合是两个开区间 的并
集。如图 1-2 所示。
–
图 1-2
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。
二、典型例题：
例 1、解不等式 。
=
0
00
0
xx
x
xx
x
，如果
，如果
，如果
ax <
}|{ axax ax −<
),(),,( ∞−−∞ aa
a a
213 + ，对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。
三、小结：
四、练习：解不等式
1、 2、
3、 . 4、 .
5、 6、 .
7、 8、
9、 10、
五、作业：
xx −>− 213
xx −>− 213 213 −−x 01314 + ba 233 =+ ba
2≤+ ba
qpxxxf ++= 2)( )3(,)2(,)1( fff 2
1
)3(,)2(,)1( fff 2
1
.2)3()2(2)1( , (1 − b)c > , (1 − c)a > ,
则三式相乘：ab < (1 − a)b•(1 − b)c•(1 − c)a < ①
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理： ,
以上三式相乘： (1 − a)a•(1 − b)b•(1 − c)c≤ 与①矛盾
∴原式成立
例 4、已知 a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设 a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由 a + b + c > 0, 则 b + c = −a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾
又：若 a = 0，则与 abc > 0 矛盾， ∴必有 a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
三、小结：
四、练习：
1、利用反证法证明：若已知 a，b，m 都是正数，并且 ，则
2、设 0 < a, b, c < 2，求证：(2 − a)c, (2 − b)a, (2 − c)b,不可能同时大于 1
3、若 x, y > 0，且 x + y >2，则 和 中至少有一个小于 2。
提示：反设 ≥2， ≥2 ∵x, y > 0，可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾。
五、作业：
4
1
4
1
4
1
4
1
64
1
4
1
2
)1()1(0
2
=
+−≤−< aaaa
4
1)1( ≤− bb 4
1)1( ≤− cc
64
1
ba < .b
a
mb
ma >+
+
x
y+1
y
x+1
x
y+1
y
x+1选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 10 课时 不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，
再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方
法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
二、典型例题：
例 1、若 是自然数，求证
证明：
=
=
注意：实际上，我们在证明 的过程中，已经得到一个更强的结论
，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
例 2、求证：
证明：由 （ 是大于 2 的自然数）
得
n .21
3
1
2
1
1
1
2222
cba .222 bacacbcba cbacba +++>
ba, 2≥+
a
b
b
a
cba ,, .3>−++−++−+
c
cba
b
bac
a
acb
cba ,,
20
πθ
+
+
x
x
ba, .81122
>
+
+
+
bab
a
a
b
b
a
a
b
ba,
;9)1)(1( 22 abbaba >++++ .9))(( 222222 babaabbaba >++++14、已知 求证：
15、已知 求证：
16、已知 都是正数，且有
求证：
17、已知 都是正数，且 ，
求证：
18、设 的三条边为 求证 .
19、已知 都是正数，设 求证：
20、设 是自然数，利用放缩法证明不等式
21、若 是大于 1 的自然数，试证
B 组
22、已知 都是正数，且 求证：
23、设 ，试用反证法证明 不能介于 与 之间。
24、若 是自然数，求证
,1,1 222222 =++=++ zyxcba .1≤++ czbyax
,1,1 2222 =+=+ yxba .1≤+ byax
dcba ,,, 2222 , dcybax +=+=
))(( bcadbdacxy ++>
naaaa ,,, 321 1321 =⋅⋅⋅⋅ naaaa
n
naaaa 2)1()1)(1)(1( 321 ≥++++
ABC∆ ,,, cba )(2222 cabcabcbacabcab ++α 0∈ ∑
∑∑ ≥
= i
i
n
i i
i
b
a
b
a 2
1
2 )(
)1( niab ii ≤≤= λ
∑
∑∑ ≥
= ii
i
n
i i
i
ba
a
b
a 2
1
)(
nbbb === 21
122 =+ ba 122 =+ yx 1|| ≤+ byax例 2、设 ，求证： 。
例 3、设 为平面上的向量，则 。
例 4、已知 均为正数，且 ，求证： 。
方法 1：
方法 2：（应用柯西不等式）
例 5：已知 ， ，…， 为实数，求证： 。
分析：
推论：在 个实数 ， ，…， 的和为定值为 S 时，它们的平方和不小于 ，当且仅当
时，平方和取最小值 。
三、小结：
四、练习：
Rdcba ∈,,, 222222 )()( dbcadcba +++≥+++
γβα ,, |||||| γαγββα −≥−+−
cba ,, 1=++ cba 9111 ≥++
cba
1a 2a na 2
11
2 )(1 ∑∑
==
≥
n
i
i
n
i
i ana
n 1a 2a na 21 Sn
naaa === 21
21 Sn1、设 x1，x2，…，xn >0, 则
2、设 （i=1，2，…，n）且 求证: ．
3、设 a 为实常数,试求函数 (x∈R)的最大值．
4、求函数 在 上的最大值,其中 a，b 为正常数．
五、作业：
1、已知： ， ,证明： 。
提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。
2、若 ，且 = ， = ，求证： 都是不大于
的非负实数。
证明：由 代入 =
可得
∵ ∴△≥0 即
化简可得 ： ∵ ∴
同理可得： ，
由此可见，在平常的解题中，一些证明定理、公理、不等式的方法都可以为我们所用；只要能
灵活运用，就能收到事半功倍的效果。
3、设 a﹐b 为不相等的正數，试证：(a＋b)(a3＋b3)＞(a2＋b2)2。
4、设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=10，求 的最小值。
11
1
1 −
≥
−
∑
∑ =
= n
x
x
x
n
i
in
i i
i
+∈ Rxi 111
=+∑
=
n
i i
i
x
x ∑∑
≤≤≤=
≥
nji
ji
n
i
i xxx
11
2
)cos(sin)( xaxxf +=
xbxaxf cossin)( +⋅= )2,0(
π
122 =+ ba 222 =+ nm 22 ≤+≤− bnam
Rzyx ∈,, zyx ++ a 222 zyx ++ 2
2
1 a )0( >a zyx ,, a3
2
yxaz −−= 222 zyx ++ 2
2
1 a
02
1)()(22 222 =−−+−− ayaxyax
Rx ∈ 02
1)(8)(4 2222 ≥
−−+−− ayayya
023 2 ≤− ayy 0>a ay 3
20 ≤≤
ax 3
20 ≤≤ az 3
20 ≤≤
z
9
y
1
x
4 ++4
5
6
x
yz
D
F
E
A B
C
P
5、设 x，y，z∈R，求 的最大值。
6、ΔABC 之三边长为 4，5，6，P 为三角形內部一点 P，P 到三边的距离分別为 x，y，z，求 x2+y2+z2
的最小值。
解：s=
∆ABC 面积=
且∆ABC=∆PAB+∆PBC+∆PAC
⇒ ⇒4x+5y+6z=
由柯西不等式
(4x+5y+6z)2≥(x2+y2+z2)(42+52+62)
⇒ ≥(x2+y2+z2)×77
⇒x2+y2+z2≥
7、设三个正实数 a,b,c 满足 ，求证： a，b，c 一定是某三角
形的三边长。
8、求证 个正实数 a1，a2，…，an 满足
9、已知 ,且 求证: 。
10、设 ,求证: 。
11、设 ,且 x+2y+3z=36,求 的最小值．
222 zy2x
zyx2
++
−+
2
15
2
654 =++
4
715
2
3
2
5
2
7
2
15))()(( =×××=−−− csbsass
)654(2
1
4
715 zyx ++=
2
715
4
7152 ×
44
225
)(2)( 4442222 cbacba ++>++
)3( ≥nn
))(1()( 44
2
4
1
222
2
2
1 nn aaanaaa +++−>+++
+∈ Rzyx ,, 12
=+∑ x
x 1222
222
≥+++++ z
z
y
y
x
x
+∈ Rzyx ,, 122
2
22
2
22
2
≥++++++++ xyyx
z
zxxz
y
yzzy
x
+∈ Rzyx ,, zyx
321 ++选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 12 课时 几个著名的不等式之二：排序不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、问题：若某网吧的 3 台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要 45min，25 min 和 30 min，
每台电脑耽误 1 min，网吧就会损失 0.05 元。在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才
能使经济损失降到最小？
分析：
二、排序不等式：
1、基本概念：
一般地，设有两组数： ≤ ≤ ， ≤ ≤ ，我们考察这两组数两两对应之积的和，利
用排列组合的知识，我们知道共有 6 个不同的和数，它们是：
对 应 关 系 和 备 注
（ ， ， ）
（ ， ， ）
同序和
（ ， ， ）
（ ， ， ）
乱序和
（ ， ， ）
（ ， ， ）
乱序和
（ ， ， ）
（ ， ， ）
乱序和
（ ， ， ）
（ ， ， ）
乱序和
（ ， ， ）
（ ， ， ）
反序和
根据上面的猜想，在这 6 个不同的和数中，应有结论：
同序和 最大，反序和 最小。
2、对引例的验证：
1a 2a 3a 1b 2b 3b
1a 2a 3a
1b 2b 3b
3322111 bababaS ++=
1a 2a 3a
1b 3b 2b
2332112 bababaS ++=
1a 2a 3a
2b 1b 3b
3312213 bababaS ++=
1a 2a 3a
2b 3b 1b
1332214 bababaS ++=
1a 2a 3a
3b 1b 2b
2312315 bababaS ++=
1a 2a 3a
3b 2b 1b
1322316 bababaS ++=
332211 bababa ++ 132231 bababa ++对 应 关 系 和 备 注
（1，2，3）
（25，30，45） 同序和
（1，2，3）
（25，45，30） 乱序和
（1，2，3）
（30，25，45） 乱序和
（1，2，3）
（30，45，25） 乱序和
（1，2，3）
（45，25，30） 乱序和
（1，2，3）
（45，30，25） 反序和
3、类似的问题：
5 个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这 5 个人的水桶需要的时间分别是 4 分钟，
8 分钟，6 分钟，10 分钟，5 分钟。那么如何安排这 5 个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间
最少？
分析：
4、排序不等式的一般情形：
一般地，设有两组实数： ， ， ，…， 与 ， ， ，…， ，且它们满足：
≤ ≤ ≤…≤ ， ≤ ≤ ≤…≤ ，
若 ， ， ，…， 是 ， ， ，…， 的任意一个排列，则和数
在 ， ， ，…， 与 ， ， ，…， 同序时最大，反序时最小，即：
，
等号当且仅当 或 时成立。
分析：用逐步调整法
2203322111 =++= bababaS
2052332112 =++= bababaS
2153312213 =++= bababaS
1951332214 =++= bababaS
1852312315 =++= bababaS
1801322316 =++= bababaS
1a 2a 3a na 1b 2b 3b nb
1a 2a 3a na 1b 2b 3b nb
1c 2c 3c nc 1b 2b 3b nb nncacaca +++ 2211
1a 2a 3a na 1b 2b 3b nb
112122112211 bababacacacabababa nnnnnnn +++≥+++≥+++ −
naaa === 21 nbbb === 21三、典型例题：
例 1、已知 为正数，求证： 。
例 2、设 ， ， ，…， 为正数，求证：
。
四、小结：
五、练习：
六、作业：
1、求证： 。
2、在△ABC 中，ha , hb ,hc 为边长 a,b,c 上的高，求证：asinA+bsinB+csinC ha + hb +hc ．
3、若 a>0,b>0，则 ．
4、在△ABC 中，求证： ．（IMO）
5、若 a1，a2，…，an 为两两不等的正整数，求证： ．
6、若 x1，x2，…，xn≥0，x1+x2+…+xn≤ ，则 ．
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 13 课时 几个著名的不等式之三：平均不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、定理 1：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）
cba ,, abccba
accbba ≥++
++ 222222
1a 2a 3a na
n
n
n
n aaaa
a
a
a
a
a
a
a +++≥++++ −
21
1
22
1
3
2
2
2
2
1
dacdbcabdcba +++≥+++ 2222
≥
2222
332266 babababa +⋅+⋅+≥+
abccbacbacbacba 3)()()( 222 ≤−++−++−+
∑∑
==
≥
n
k
n
k
k
kk
a
11
2
1
2
1
2
1)1()1)(1( 21 ≥−−− nxxx
Rba ∈, abba 222 ≥+ ba = 证明：
1．指出定理适用范围：
强调取“=”的条件 。
2、定理 2：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）
证明：∵ ∴
即： 当且仅当 时
注意：1．这个定理适用的范围： ；
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3、定理 3：如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）
证明：∵
∵ ∴上式≥0 从而
指出：这里 ∵ 就不能保证。
推论：如果 ，那么 。（当且仅当 时取“=”）
证明：
4、算术—几何平均不等式：
222 )(2 baabba −=−+
⇒
>−≠
=−=
0)(
0)(
2
2
baba
baba
时，当
时，当 abba 222 ≥+
Rba ∈,
ba =
ba, abba ≥+
2 ba =
abba 2)()( 22 ≥+ abba 2≥+
abba ≥+
2 ba = abba =+
2
+∈ Ra
+∈ Rcba ,, abccba 3333 ≥++ cba ==
abcabbacbaabccba 333)(3 2233333 −−−++=−++
)(3])())[(( 22 cbaabccbabacba ++−++−+++=
]32)[( 222 abcbcacbabacba −+−−++++=
))(( 222 cabcabcbacba −−−++++=
])()())[((2
1 222 accbbacba −+−+−++=
+∈ Rcba ,, abccba 3333 ≥++
+∈ Rcba ,, 0∈ NnnRaaa n 且1,,,, 21 n
aaa n+++ 21
n
naaa 21
n
aaa n+++ 21 n
naaa 21 niRaNn i ≤≤∈∈ + 1,,*
abba ≥+
2
ba + abCBCACD =⋅=2
abCD = abCDba =≥+
2
cba ,, cabcabcba ++>++ 222
abba 222 >+ 2 2 2b c bc+ > caac 222 >+
cabcabcba 222)(2 222 ++>++
cabcabcba ++>++ 222
cba ,, abccbcacabbaab 16))(1( 2 ≥++++++
1a 2a 3a na
n
n
aaa
n
n
aaa
111
21
21
+++
≥+++
例 4、若 ，设
求证：
加权平均；算术平均；几何平均；调和平均
证：∵
∴ 即： （俗称幂平均不等式）
由平均不等式
即：
综上所述：
三、小结：
四、练习：
五、作业：
1、若 求证
证：由幂平均不等式：
+∈ Ryx, 2),(
22 yxyxQ
+=
2),( yxyxA
+= xyyxG =),(
yx
yxH 1+
=
1
2),( ),(),(),(),( yxHyxGyxAyxQ ≥≥≥
244
2)2(
2222222
2 yxyxyxxyyxyx +=+++≤++=+
22
22 yxyx +≥+
),(),( yxAyxQ ≥
),(),( yxGyxA ≥
),(
2
22),( yxGxy
xy
xy
yx
xyyxH ==≤+= ),(),( yxHyxG ≥
),(),(),(),( yxHyxGyxAyxQ ≥≥≥
+∈=+ Rbaba ,,1 2
25)1()1( 22 ≥+++
bbaa
2
)11(
)1()1(
2
22 bbaa
bbaa
+++
≥+++
2
25
2
)23(
2
)3(
2
)1( 2
22
=+≥
++
=
++++
= b
a
a
b
b
ba
a
bar
h
a
O
A
选修 4_5 不等式选讲
课 题： 第 14 课时 利用平均不等式求最大（小）值
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
1、重要的结论：
已知 x，y 都是正数，则：
(1)、如果积 xy 是定值 P，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 ；
(2)、如果和 x+y 是定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 。
二、典型例题：
例 1、当 取什么值时，函数 有最小值？最小值是多少？
例 2、求函数 （ ）的最小值。
例 3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为 6400 元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的
维修费用约为：第一年为 200 元，第二年 400 元，第三年 600 元，…，按等差数列递增。这台电脑
使用多少年报废最合算？
分析：
例 4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上 A 点的水平距离是 ，那么电灯距
离桌面的高度 等于多少时，A 点处最亮？（亮度公式： ，这里 为常数， 是电灯到
照射点的距离， 是照射到某点的光线与水平面所成的角）
分析：
P2
2
4
1 S
x 2
2 94 xxy +=
1
622
+
+−=
x
xxy 0≥x
a
h θsin2r
kI = k r
θ例 5、求函数 的最大值，下列解法是否正确？为什么？
解一：
∴
解二： 当 即 时
答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在 使得 ；解二错在
不是定值（常数）
正确的解法是：
当且仅当 即 时
例 6、若 ，求 的最值。
解：
∵ ∴
从而
即 。
例 7、设 且 ，求 的最大值
)0(,32 2 >+= xxxy
33 222 43212311232 =⋅⋅≥++=+=
xxxxxxxxy
3
min 43=y
xxxxxy 6232232 22 =⋅≥+=
xx 32 2 =
2
123
=x
63
3
min 324212322
1262 ==⋅=y
x xxx 212 2 ==
x62
333 222 362
3
2
932
3
2
3232
3
2
3232 ==⋅⋅≥++=+=
xxxxxxxxy
xx 2
32 2 =
2
63
=x 3
min 362
3=y
14 1 且 n∈N)。
2、已知数列{a }满足 a ＝1，a ＝a cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2 且 n∈N)。
①．求 a 和 a ； ②.猜测 a ，并用数学归纳法证明你的猜测。
3、用数学归纳法证明等式：cos ·cos ·cos ·…·cos ＝ (81 年全国高考)
4、用数学归纳法证明：6 ＋1 (n∈N)能被 7 整除。
n 1 2× 2 3× n n( )+1 1
2 n
1
2
2
a
a x
x a
( )
( )
2
2
1
1
−
−
n 1 n n−1
2 3 n
x
2
x
22
x
23
x
n2
sin
sin
x
xn
n2 2·
2 1n−
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