4 应用二元一次方程组——增收节支 教学设计.doc

第五章 二元一次方程组 4. 应用二元一次方程组——增收节支 一、学生知识状况分析 1.学生的知识技能基础 在此以前，学生学习了二元一次方程和二元一次方程组，学习了列二元一次方 程组解应用题的一部分内容，能熟练地进行二元一次方程组的运算，已初步具备了用 方程组刻画实际问题的经验和基础，能正确地分析和理解题意，寻求题中的各种数量 关系，具备了继续学习本节内容的知识和能力。在小学的学习中，学生也学习了通过 列表的方法帮助我们理清数量关系的有关知识，在此基础上学习本节内容，学生已经 具备了学好本节内容的条件。 2.学生的活动经验基础 在相关知识的学习过程中，学生具备了一些生活经验，知道列方程解应用题的一 些规律、特点和方法，具备了一些解决实际问题的经验和能力。在以前的数学学习中， 学生已经经历很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习经验，具备了一定的合作 与交流的能力。 二、教学任务分析 1.地位和作用 “增收节支”是北师大版八年级数学（上）第七章第四节内容。本节主要通过解 决现实问题中有关经济方面的应用问题来学习列二元一次方程组，学会对具体情景中 的数学信息作出合理的解释，能运用列表分析法分析出各数量间的关系，有效地解决 问题。本节教学内容，是在学生学完前一小节《鸡兔同笼》后紧接的又一节列方程组 解应用题的内容。但两者的侧重点不同，《鸡兔同笼》是让学生初步学会通过列二元 一次方程组解决一些比较有趣的数学问题和古代数学问题应用问题，等量关系相对简 单；而本节的《增收节支》的教学内容重点放在如何运用列表分析法去分析较为复杂 的各数量间的关系。 2.教学目标 ①能运用列表分析法分析数量关系,熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题,掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能。 ②经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效的 数学模型，培养学习数学应用能力。 ③通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系,通过对问题的解决， 培养学生的必要的经济意识，增强他们节约成本、有效合理利用资源的意识。 三、教学方法 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备： 教具：教材，课件，电脑（视频播放器） 学具：教材，练习本 四、教学流程 本课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：新课讲 解；第三环节：练习提高、合作学习；第四环节：问题解决，拓展提升；第五环节： 学习反思；第六环节：布置作业 第一环节：创设情境，导入新课 创设问题情景，引导学生思考，导入课题 你想过吗？ 提出问题：同学们你知道你的生活有哪些必要开支吗？ 引发问题：经济生活在我们生活中多么重要！你想运用数学知识使你的生活更加 合理优化，生活的更加幸福惬意吗？那么你能帮帮解决下面的实际经济问题吗？ 教学进程：教师演示幻灯片，学生回答问题 1．开商店 小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套 新款春装，成本共 500 元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按 50﹪的利润定价， 裤子按 40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两 件服装均按 9 折出售，这样专卖店共获利 157 元，小明觉得上衣款式好，销路会好些， 想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他？ 2．购物新年来临爸爸想送Ｍike 一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对Ｍike 说：“我 在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书 包单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元，你能说出随身听和 书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。 你能帮助他吗？ （最优化决策） 最近商家促销有促销活动，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满 100 元返物券 30 元销售（不足 100 元不返券，购物券全场通用），爸爸只给Ｍike 400 元 钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两 家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 内容：学生观看图片和实际问题，引发思考和提升解决问题的兴趣。 目的：通过同学们熟悉的生活中经济问题去激发学生学习本节课的兴趣，导入课 题。开商店、购物、最优化决策等生活实例，再配以精美的图片，进一步提高学生兴 趣，激发他们的求知欲和学习热情。更重要的是，这 2 个实例是学生学完本节的知识 和方法后的巩固提高练习题，从而增强学生的能力，使本节课前后照应，形成一个整 体。 教学要求与效果：这 2 个生活实例是青少年学生感兴趣的实例，带给学生新奇， 带给了学生解决问题的欲望，不少学生跃跃欲试。此外，考虑了前后照应，使整节课 浑然一体。 第二环节：新课讲解 知识回顾：填一填 1. 某工厂去年的总产值是 x 万元, 今年的总产值比去年增加了 20%, 则今年 的总产值是__________万元; 2. 若该厂去年的总支出为 y 万元, 今年的总支出比去年减少了 10%, 则今年的 总支出是__________万元; 3. 若该厂今年的利润为 780 万元,那么由 1, 2 可得方程____________________. (1+20%)x (1-10%)y (1+20%) x- (1-10%) y=780 经验提升：解增降率问题常用的关系式为 a(1±x)=b(其中:a 表示基数；x 表示增降率；b 表示目标数；增时为加，降时为减) 内容：通过回答知识回顾问题，教师启发学生做经验提升；通过回答问题对学生能力 进行及时评价，如果回答错误及时纠正。 目的：“知识回顾”，减少学生学习新课的困难。 教学要求与效果：：经验提升使学生在表示数量关系时更加准确。 例题探索 例 1 ＣＮＩ公司去年的利润（总产值—总支出）为 200 万元。今年总产值比去年增 加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元。去年的总产值、 总支出各是多少万元？ 分析：关键:找出等量关系. 今年的总产值=去年总产值×(1+20%） 今年的总支出=去年的总支出×(1—10%） 相等关系中的数量关系真多，画个表格来表示它们吧！ （题目中可分析今年，去年；总产值，总支出和利润，画个２×３的表格来分析看） 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去 年 x y 200 今 年 (1+20%) x (1-10%) y 780 得到两个等式： 解：设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则 今年的总产值=（1+20%）x 万元， 今年的总支出=（1-10%）y 万元。 由题意得: 解得    =− =− 万元今年的总支出今年的总产量 万元去年的总支出去年的总产量 780 200    =−−+ =− 780%)101(%)201( ,200 yx yx    =−−+ =− )2(.780%)101(%)201( )1(,200 yx yx    = = .1800 ,2000 y x答：去年的总收入为 2000 万元，总支出为 1800 万元。 内容：学生作相等关系、数量关系的分析，教师教学生画表格分析数量关系，并共同 解答。 议一议：还可以设间接未知数吗？（根据学生情况和教学安排选用） 设今年的总产值为 x 万元，总支出为 y 元 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 去 年 200 今 年 x y 780 通过直接设未知数与间接设未知数的类比，让学生感受到列方程时，应选取思维 难度和计算难度较低的未知数设法。 学生设出未知数，教师帮助学生画表格来分析数量关系并引导学生类比直接设未 知数与间接设未知数的优劣。表示数量关系时，若有错误，及时纠正并着重讲解以免 再次出现错误。 例 2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含 0.5 单位蛋白 质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质．若病人每餐需 要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病 人的需要？ 分析：找出等量关系. 每餐甲原料中含蛋白质量=0.5×每餐甲原料的质量， 每餐乙原料中含蛋白质量=0.7×每餐乙原料的质量， 每餐甲原料中含铁质量=1×每餐甲原料的质量， 每餐乙原料中含铁质量=0.4×每餐乙原料的质量， 由于相等关系中的数量关系复杂，所以可以选取用列表格的方法来表示各数量关 系之间的关系，有利于根据相等关系列方程。 （题目中可分析蛋白质含量，铁的含量；甲、乙两种原料和病人配置的营养品， 所以画个 2× 3 的表格来分析；学生通常对要分析那些数量关系不太明确，所以讲    =+ =+ .40 ,35 每餐乙原料中含铁质量每餐甲原料中含铁质量 量每餐乙原料中含蛋白质量每餐甲原料中含蛋白质 %201+ x %101− y解时要说明为什么会这样画表格） 解：设每餐需要甲、乙两种原料各 x, y 克，则有下表： 甲原料 x 克 乙原料 y 克 所配制的营养品 其中含蛋白质量 0.5x 单位 0.7 y 单位 35 单位 其中含铁质量 x 单位 0.4 y 单位 40 单位 由上表可以得到的等式： 化简得： （1）×2 得 10x+14y=700 (5) (5)－(4)得 10y=300 y=30 将 y=30 代入(3)得 x=28 答：每餐需甲原料 28 克，乙原料 30 克。 此题数量关系较为复杂，可提示引导学生思考，然后继续教学生画表格分析数量关系 的方法；也可鼓励学生先画图表分析再纠正；然后由学生解答。 学法小结： 　1．图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚。 2．借助方程组解决实际问题 通过学法小结，加强学生对图表分析数量关系的概念和应用意识。 目的：通过“例题探索一”、“例题探索二”使学生初步学会设计适当的图表，帮助我们 理清题目中的数量关系。再结合学生在以前的学习中已掌握的通过相等关系列方程的 方法，使学生基本掌握运用图表去解决有关应用题的方法，从而提高学生分析问题和 解决问题的能力。 教学要求与效果：：由于老师对图表的设计、制作的方法指导有力，学生在“例题探    =+ =+ )2(.404.0 )1(,357.05.0 yx yx    =+ =+ )4(.400410 )3(,35075 yx yx索二”的分析过程中很快通过列表搞清了数量关系，利用等量关系列出正确的方程组， 培养了学生分析问题的能力。 第三环节：练习提高、合作学习； 1．育才学校去年有学生 3100 名，今年比去年增加 4.4％,其中寄宿学生增加了 6％,走 读学生减少了 2％.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名? 设去年有寄宿学生 x 名,走读学生 y 名,则可列出方程组为 。 分析：找出等量关系. 去年寄宿学生＋去年走读学生＝3100 名 今年寄宿学生＋今年走读学生＝3100 ×（1+4.4%） 题目中可分析去年，今年；寄宿学生，走读学生，学生总数．画个 2 × 3 的表格来分 析 寄宿学生 走读学生 学生总数 去年 x y 3100 今年 （1+6%）x （1-2%）y 3100 ×（1+4.4%） 解： 内容：鼓励学生自己画表格分析、思考，然后请学生讲分析过程，讲解清楚有条理的 给予肯定表扬，不足的给予补充，提高学生学习的信心。 2．编题 有一个方程组： 你能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？ 活动规则： 四个同学一组编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班 交流． 结合师生互评生生互评，使课堂气氛轻松，让学生思路开阔，富有创意。 目的：巩固、提高学生所学的知识和方法，强化图表分析数量关系的应用。通过学生    +×=−++ =+ %).4.41(3100%)21(%)61( ,3100 yx yx    +×=−++ =+ %).4.41(3100%)21(%)61( ,3100 yx yx的编题活动，形成互动，促进合作学习，培养学生逆向思维能力，通过合作学习培养 学生合作、创新的学习方式。通过学生互相评价、修正，使学生思维跳出固定单一的 生活圈，更关注与现实世界的交融，开阔视野。 教学要求与效果：：本例是符合本校学生实际，激发学习兴趣，图表分析收到了良好 的效果；编题时，学生相互交流，互相启发，使整个课堂到此时创新频出，高潮迭起。 第四环节：问题解决； 解决问题一 小明想开一家时尚Ｇ点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套 新款春装，成本共 500 元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按 50﹪的利润定价， 裤子按 40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两 件服装均按 9 折出售，这样专卖店共获利 157 元，小明觉得上衣款式好，销路会好些， 想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？ 分析：找出等量关系. 题目中可分析上衣，裤子；成本．实际售价和利润．画个２ × ３的表格来分析 上衣成本＋裤子成本＝500 元 上衣利润＋裤子利润＝157 元 解：设上衣的成本价为ｘ元，裙子的成本价为ｙ元： 成本（元） 实际售价（元） 利润（元） 上衣 x 裤子 y 解 ： 设 上 衣 的 成 本 价 为 x 元 ， 裙 子 的 成 本 价 为 y 元 ， 则 上 衣 利 润 　　　　　　　　 元，　裤子利润为 0.9(1+40%)y-y 元，依题意得 整理得:    =−+×+−+× =+ 157%)401(9.0%)501(9.0 ,500 yyxx yx x%)501(9.0 +× y%)401(9.0 +× xx −+× %)501(9.0 yy −+× %)401(9.0   =+ =+ .157002635 ,500 yx yx ……① …… ② ②－① ×26,得 9x=2700, ∴x =300. 把其代入①，得 y=500－300=200 答：上衣成本 300 元，裙子成本 200 元。 内容：学生分析解答，教师在解答后给予点评。若时间较紧，可以不解答出来。 解决问题二 新年来临爸爸想送 Mike 一个书包和随身听作为新年礼物．爸爸对 Mike 说：“我在 家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包 单价之和是 452 元，且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元，你能说出随身听和书 包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物”。 你能帮助他吗？ （1）解：设书包单价为 x 元，则随身听单价为 y 元,根据题意可列出方程： 解之得： 答：书包单价 92 元，随身听单价 360 元。 最优化决策： 聪明的 Mike 想了想回答正确后便同爸爸去买礼物，恰好赶上商家促销，人民商 场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满 100 元返购物券 30 元销售（不足 100 元 不返券，购物券全场通用），但他只带了 400 元钱，如果他只在一家购买看中的这两 样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 提示：书包单价 92 元，随身听单价 360 元。 2）在人民商场购买随声听与书包各一样需花费现金 452× =361.6（元） ∵ 361.6