高中数学教案必修三：2.3.2 方差与标准差（2）.doc

教学目标： 1．掌握并应用计算数据的方差、标准差的方法； 2．了解数据的方差、标准差的简单性质； 3．使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想． 教学方法： 引导发现、合作探究． 教学过程： 一、创设情景，揭示课题 要从甲乙两名跳远运动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他 们的平均成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定程度．为 此对两人进行了 15 次比赛，得到如下数据：（单位：cm）： 甲 755 752 757 744 743 729 721 731 778 768 761 773 764 736 741 乙 729 767 744 750 745 753 745 752 769 743 760 755 748 752 747 如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？ 提出问题 ①若给定一组数据 ，方差为 s2，则 的方差为 ②若给定一组数据 ，方差为 s2，则 的方差 为 二、学生活动 1 2, , , nx x x 1 2, , nax ax ax 1 2, , , nx x x 1 2, , nax b ax b ax b+ + +设一组样本数据 ，其平均数为 ＝ ，则 样本方差：s2＝ 〔（x 1— ）２+（x2— ）2+…+（xn— ）2〕 另一组样本数据 ，其平均数为 ＝a ,则 s 样本方差＝ 〔（ax1—a ）２+（ax2—a ）2+…+（axn— a ）2〕 ＝a2 〔（x1— ）２+（x2— ）2+…+（xn— ）2〕 ＝ ． 同样：另一组样本数据 ，其平均数为 ＝a +b, 样本方差＝ 〔（ax1+b—a -b）２+（ax2+b—a -b）2+…+（axn+b—a -b）2〕 ＝a2 〔（x1— ）２+（x2— ）2+…+（xn— ）2〕 ＝ ． 特别地，当 时，则有 的方差为 s2，这说明将一组数 据的每一个数据都减去或加上相同的一个常数，其方差是不变的，即不影响这组 数据的波动性． 三、建构数学 ①若给定一组数据 ，方差为 s2，则 的方差为 ②若给定一组数据 ，方差为 s2，则 的方差 为 ； 四、数学运用 1．例题讲解． 例 1　若 的方差为 3，则 的方差为 ． 例2 将某班学生 40 人随机平均分成两组，两组学生一次考试成绩如下表： n21 x,,x,x  1 2 nx x x n + + + x n 1 x x x naxaxax ,, 21  1 2 nax ax ax n + + + x n 1 x x x n 1 x x x 22 sa baxbaxbax n +++ ,, 21  1 2 nax b ax b ax b n + + + + + + x n 1 x x x n 1 x x x 22 sa 1=a bxbxbx n +++ ,,, 21  nxxx ,,, 21  naxaxax ,, 21  22 sa nxxx ,,, 21  baxbaxbax n +++ ,, 21  22 sa 821 ,,, kkk  )3(2,),3(2),3(2 821 −−− kkk  ________平均成绩 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 试求全班学生的平均成绩和标准差． 解：记第一 组 20 人成绩为 ，第二组 20 人成绩为 ， 则 ，全班的平均成绩 ． ＝36， ＝16， 故全班学生成绩的标准差为 ． 例 3　已知两家工厂，一年四季上缴利税情况如下（单位：万元）： 季 度 一 二 三 四 甲 厂 70 50 80 40 乙 厂 55 65 55 65 试分析两厂上缴利税的情况． 解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为 甲＝ （70+50+80+40）＝60， 乙＝ （55+65+55+65）＝60； 甲、乙两厂上缴利税的方差为 s 甲 2＝ ［（70－60）2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2］＝250， s 乙 2＝ ［（55－60）2+（65－60）2+（55－60）2+（65－60）2］＝25． 经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导 致它们生产出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定， 而甲厂不稳定． )20,,2,1( =ixi )20,,2,1( =iyi 80,90 == yx 85)20802090(40 1 =×+×=z 22 20 2 2 2 120 12 1 )( xxxxs −++=  22 20 2 2 2 120 12 2 )( yyyys −++=  22 20 2 2 2 1 2 20 2 2 2 140 1 )( zyyyxxxs −+++++=  222 2 22 140 1 )20202020( zysxs −+++= 5185)80901636( 222 2 1 =−+++= x 4 1 x 4 1 4 1 4 12．巩固深化，反馈矫 正． （1）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次，三人测试成绩 如下表： 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ） A． B． C． D． 2．已知样本 的平均数是 ，标准差是 ，则 3．一组数据的方差为 S2，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的 4 倍， 所得到的一组数据的方差是 4．某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别 在 5 块试验田上做实验，每块试验田均为 0．5 公顷，产量情况如下： 产量(kg) 品种 1 2 3 4 5， 1 21．5 20．4 22．0 21．2 19．9 2 21．3 18．9 18．9 21．4 19．8 3 17．8 23．3 21．4 19．1 20．9 问：哪一品种的西红柿既高产又稳定? 五、归纳整理，整体认识 1 2 3s s s， ， 3 1 2s s s> > 2 1 3s s s> > 1 2 3s s s> > 2 3 1s s s> > 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 9,10,11, ,x y 10 2 xy =1．用样本的方差、标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据． 2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度．在实际应用中，我们 常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策．