3.2 圆的对称性 教学设计.doc

1 第三章 圆 《圆的对称性》教学设计说明 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及 旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同 圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因 此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用. 二、教学任务分析 知识与技能 通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相 等关系定理. 过程与方法 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、 发现新问题，探究和解决问题的能力. 情感态度与价值观 （1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣． （2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作 能力，体验学习的快乐． （3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信 心． 教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的 理解及定理的证明． 三、教学设计分析 本节课设计了七个教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图 形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高、2 课堂小结、布置作业. 数学活动一：认识圆的对称性 提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？ 提问二：圆是对称图形吗？ （1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证 圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴） 验证方法：折叠 （2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？ 同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点? 现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定． 将上面这个圆 旋转任意一个角度，两个圆还重合吗? 通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆 心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性 的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心． 数学活动二：了解圆心角的定义 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 数学活动三、探索圆心角定理 尝试与交流．按下面的步骤做一做： 1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪 下． 2．在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′ (如下图示)， B A O O O' O(O')3 圆心固定．注意：∠AOB 和∠A′O′B′时，要使 OB 相对于 0A 的方向与 O′B′ 相对于 O′A′的方向一致，否则当 OA 与 O′A′重合时，OB 与 O′B′不能重 合． 3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 O′A′重合． 教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说 你的理由． 结论可能有： 1．由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′． 2．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O′B′A′=∠OAB 和 ∠O′A′B ′． 3．由△AOB≌△A′O′B′可得到 AB＝A′B′． 4．由旋转法可知 = 刚才到的 = 理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．我们在 上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径 OA 与 O′A′重合时 ，由于∠AOB=∠A′ O′B′．这样便得到半径 OB 与 O′B′重 合．因为点 A 和点 A′重合，点 B 和点 B′重合，所以 AB 和 A′B′重合，弦 AB 与弦 A′B′重合，即 AB＝A′B′． 在上述操作过程中，你会得出什么结论? 在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、 弧、弦之间相等关系定理． 注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否 则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论． AB ' 'A B AB ' 'A B A B O A' B' O'4 (通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个 条件的图． 如下图示.虽然∠AOB=∠A′O′B′，但 AB≠A′B′ ≠ , 下面我们共同想一想． 在同圆或等圆中 弧相等 相等的圆心角 弦相等 如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下 ，结论 正确吗?你是怎么想的?请你说一说． 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量都分别相等． 注意： （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提， 虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等． （2）此定理中的“弧”一般指劣弧． （3）要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这四个概念和“所对”一词的含 义．否则易错用此关系． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在 同圆中，等弧所对的圆心角相等”等等． 例题： 如图，AB，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的一点，且 ，BE 与 CE 的 大小有什么关系？为什么？ （过程见课本） （补充例题） 例．如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 EF． （1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果 OE=OF，那么 与 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什 么关系？为什么？∠AOB 与∠COD 呢？ AB ' 'A B  AD CE= AB CD A B A' B' O5 分析：（1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中说 明 AE=CF，即说明 AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可． （2）∵OE=OF，∴在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中， 又有 AO=CO 是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF， ∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 = 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= ，CF= ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF （2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， = ，∠AOB=∠COD 理由是： ∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF 又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= ，CF= ∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD ∴ = ，∠AOB=∠COD 课时小结 通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研 究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳) 利用旋转的方法得到了圆的 旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了 圆心角、弧、弦之间相等关系定理 四、教学反思 本节课的教学策略是通过教师引导，让学生观察、思考、交流合作活动，让 学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态课件及引导， 让学生感受圆的旋转不变性，并能运用圆的对称性研究圆中的圆心角、弧、弦间 的关系定理.同时注重培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力.体验数学的 O B A C E D F 1 2 AB 1 2 CD AB CD 1 2 AB 1 2 CD AB CD AB CD6 生活性、趣味性，激发他们的学习兴趣. 总的来说，本节课中应充分将课堂还给学生，把数学的课堂变成了数学探讨 的课堂，学生探究的课堂，让学生体验到数学的美.