3.4 圆周角和圆心角的关系（第1课时）演示文稿.doc

1 第三章 圆 第四节《圆周角和圆心角的关系》（第 1 课时） 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在本章的第二节课中，通过探索，已经学习了同 圆或等圆中弧、弦和圆心角的关系，并对定理进行了严密的证明，通过一系列简 单的练习对这个关系熟悉，具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力. 学生活动经验基础：在之前的学习过程中，学生已经经历了“猜想-验证”、 分类讨论的数学方法，获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经验， 同时在学习过程中也经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力，具 备了一定的合作和交流的能力. 二、教学任务分析 本节共分 2 个课时，这是第 1 课时，主要内容是圆周角的定义以及探究圆周 角定理，并利用定理解决一些简单问题.具体地说，本节课的教学目标为： 知识与技能 1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理. 2．会熟练运用定理解决问题. 过程与方法 1．培养学生观察、分析及理解问题的能力. 2．在学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正 确学习方式. 情感态度与价值观：培养学生的探索精神和解决问题的能力. 教学重点：圆周角定理及其应用. 教学难点：圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透. 三、教学设计分析 本节课设计了七个教学环节：知识回顾——探究新知 1——定义的应用—— 探究新知 2——方法小结——定理的应用——课堂小结（作业布置）.2 第一环节 知识回顾 活动内容： 1.圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角 2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系? 　如图：∠AOB　　弧 AB 的度数 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 活动目的：通过三个简单的练习，复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧 和圆心角的关系.练习 1 是复习圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角；练习 2 和练习 3 是复习定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有 一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 活动的注意事项：题目以复习概念和定理为主，特别是定理当中的前提条件 “同圆或等圆”，需要再特别向学生强调一遍，同时要学生明白何为三组量中其 中一组量相等，那么其余各组量也分别相等. 第二环节 探究新知 1 活动内容： （1）问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时, 我们得到几种情况? 类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一 个交点的角叫做圆周角. 活动目的：本环节的设置，需要学生类比圆心角的定义，采用分类讨论和类 比的思想方法得出圆周角的定义. 活动的注意事项：问题当中的角的顶点位置发生变化可得到几种情况，其实 是点和圆的位置关系知识点的应用，老师在此应注意知识之间的联系，达到触类 旁通的目的. 点A在圆内 点A在圆外点A在圆上 . O B C A . O B C A . O B C A . O B C A O B C 顶点在圆心 . A O B C .A O B C . 圆心角 圆周角3 第三环节 定义的应用 活动内容： （1）练习、如图，指出图中的圆心角和圆周角 解：圆心角有∠AOB、∠AOC、∠BOC 圆周角有∠BAC 、∠ABC、∠ACB 活动目的：在学习了圆周角的定义后，为了下面学习圆周角的定理做铺垫， 有必要先让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较 复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后 续的圆的相关证明题是很必要的. 活动的注意事项：图中圆里有 3 条半径和 3 条弦，当学生讲出正确答案后， 则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法.寻找圆心角关注的是半径，任 意两条半径所夹的角就是一个圆心角，个数由半径的条数决定.寻找圆周角则应 关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角，数圆周角关键 是看弦与圆的交点，看以这个交点为顶点能引出多少条弦，每两条弦所夹的即是 一个圆周角，数完一个交点后，再数另一个交点.这里要注意，因为半径 AO 没 有延长，所以∠OAB 严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一 下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径 AO 延长与圆 相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意. 第四环节 探究新知 2 活动内容： （一）问题提出：当球员在 B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门 AC 分别形成 三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系? 教师提示：类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？ 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关 系. （二）做一做：如图,∠AOB=80°，（1）请你画出几个 所对的圆周角，这 几个圆周角的大小有什么关系？ ●O●O B A CB A CB A CB A CB A CB A CB A CB A CB A CB A CB A CB A C DD EE AB⌒ A B ●O A B ●O A B ●O●O A B ●O A B ●O A B ●O●O A B ●O A B ●O A B ●O●O4 教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？三种：圆心在圆周角一 边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外. （2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系? ∠AOB=2∠ACB （三）议一议:改变圆心角∠A0B 的度数，上述结论还成立吗？成立 （四）猜想出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 符号语言： （五）证明定理： 已知：如图，∠ACB 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角， 求证： 分析：1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系. ∵∠AOB 是△ACO 的外角 ∴∠AOB=∠C+∠A ∵OA=OC ∴∠A=∠C ∴∠AOB=2∠C 2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小 关系会怎样? 老师提示:能否转化为 1 的情况? 过点 C 作直径 CD.由 1 可得: ●O●O A B ●O●O A CC B ●O●O A CC B CC 1 2ACB AOB∠ = ∠ AB⌒ AB⌒ 1 2ACB AOB∠ = ∠ 1 2ACB AOB∠ = ∠即 1 1,2 2ACD AOD BCD BOD∠ = ∠ ∠ = ∠ ( )1 2ACD BCD AOD BOD∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ 1 2ACB AOB∠ = ∠即 DD ●O●O A C B A C B ●O●O A B ●O●O A CC B ●O●O A CC B CC5 3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关 系会怎样? 老师提示:能否也转化为 1 的情况? 过点 C 作直径 CD.由 1 可得: 活动目的：本活动环节，首先有一个情景引出探究的问题，然后通过类比得 出探究圆周角定理的方法，再通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系， 然后进行一般图形的变换，让学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本 环节，得到一般的规律.规律探索后，得出圆周角定理，并对探究过程中的三种 情况逐一加以演绎推理，证明定理. 活动的注意事项：本环节有不少的数学思想方法，教师在教学中要注意逐一 渗透.在（一）中注意渗透类比思想，在（二）中注意渗透“分类讨论”思想， 在（三）中注意渗透“特殊到一般”思想，在（四）（五）中注意渗透“猜想， 试验，证明”的探究问题一般步骤. 第五环节 方法小结 活动内容： 思想方法：分类讨论，“特殊到一般”的转化 活动目的：通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方 法的运用. 活动的注意事项：多让学生用自己的语言表述当中用到的方法，然后教师再 进行深加工. 第六环节 定理的应用 1 1,2 2ACD AOD BCD BOD∠ = ∠ ∠ = ∠ ( )1 2ACD BCD AOD BOD∴∠ − ∠ = ∠ − ∠ 1 2ACB AOB∠ = ∠即 DD A C B A C B ●O●O 化 归 化 归 D D O C A B O C A B O C AB O C AB O C A B O C A B6 活动内容： 问题回顾：当球员在 B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门 AC 分别形成三 个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系? 连接 AO、CO, 由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等. 活动目的：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后 推导出另一条圆周角与弧的定理. 活动的注意事项：这里要注意引导学生学以致用，通过作辅助线添加圆心角， 把问题转化到定理的直接应用上.还要注意引导学生对得出的结论加以总结，从 而得出新的定理. 第七环节 课堂小结 活动内容： (一) 这节课主要学习了两个知识点： 1.圆周角定义. 2.圆周角定理及其定理应用. (二)方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了类比，“特殊到一般”的 思想方法和分类讨论的思想方法. (三)圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同 学们灵活运用. 活动目的：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方 法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是 要学会进行方法的总结. 活动的注意事项：这里体现学生的总结和交流能力，只要学生是自己总结的， 都应该给与鼓励和肯定，最后老师再作总结性的发言. 第八环节：附课后练习答案 随堂练习 1.如图，在⊙O 中，∠BOC=50°，求∠BAC 的大小 1 1 1, , ,2 2 2ABC AOC ADC AOC AEC AOC∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ABC ADC AEC∴∠ = ∠ = ∠ ●O●O B A CB A CB A CB A CB A CB A CB A CB A CB A CB A CB A CB A C DD EE B A C B A C ●O●O7 解：在⊙O 中，∠BOC=50° 2.如图，哪个角与∠BAC 相等，你还能找到那些相等的角？ 解：∠BAC=∠BDC ∠ADB=∠ACB ∠CAD=∠CBD ∠ABD=∠ACD 习题 1.如图，OA、OB、OC 都是⊙O 的直径，∠AOB=2 ∠BOC，∠ACB 与∠BAC 的 大小有什么关系，为什么？ 解：∠BAC= 2 ∠ACB，理由: 又∵∠AOB=2 ∠BOC 即∠BAC= 2∠ACB 2.如图，A、B、C、D 是⊙O 上的四点，且∠BCD=100°，求∠BOD 与∠BAD 的大小 解：∵∠BCD=100° ∴优弧所对的圆心角∠BOD=2∠BCD=200° ∴劣弧所对的圆心角∠BOD=36O°-200°=160° 3.为什么电影院的作为排列呈弧形，说一说这设计的合理性. 答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视 角相等. 0 01 1 50 252 2BAC BOC∴∠ = ∠ = × = C A B D C A B D O A B C 1 2 O A B C 1 2 11 2 AOB∠ = ∠ 12 2 BOC∠ = ∠ 1 11 2 2 22 2AOB BOC BOC∴∠ = ∠ = × ∠ = ∠ = ∠ o1 802BAD BOD∴∠ = ∠ = C O B D A C O B D A8 4.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁， 如图，A、B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A、B 两点的一个圆形 区域内，优弧 AB 上任一点 C 都是有触礁危险的临界点， ∠ACB 就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角” 有怎样的大小关系？ 解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O 外） ，与两个灯塔的 夹角∠α小于“危险角” . 四、教学设计反思 学生往往会直接进行证明，这对于简单问题可行，对于复杂问题就不好做了， 因此要让学生经历猜想的过程，并且需要实际动手，拿出量角器进行实际度量， 验证猜想，最后再进行严密的几何证明.