3.4 圆周角和圆心角的关系（第2课时） 教学设计.doc

1 第三章 圆 第四节《圆心角和圆周角的关系》（第 2 课时） 一． 学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在本节的第一课时，通过探索，已经学习了圆心 角和圆周角的关系，并对定理进行了严密的证明，通过一系列简单的练习对这个 关系熟悉，具备了灵活应用本关系解决问题 的基本能力. 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了化归和分类 讨论的数学方法，获得了得到数学结论的过程中，可以采用的数学方法解决的经 验，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力， 具备了一定的合作和交流的能力. 二． 教学任务分析 本节共分 2 个课时，这是第 2 课时，主要研究圆周角定理的 2 个推论，并利 用这些解决一些简单问题.具体地说，本节课的教学目标为： 知识与技能： 1．掌握圆周角定理的 2 个推论的内容. 2．会熟练运用推论解决问题. 过程与方法 1．培养学生观察、分析及理解问题的能力. 2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正 确学习方式. 情感态度与价值观：培养学生的探索精神和解决问题的能力. 教学重点：圆周角定理的几个推论的应用. 教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论” 三． 教学设计分析 本节课设计了七个教学环节：课前复习——新课学习（一）——推论的应用 （一）——新课学习（二）——推论的应用（二）——方法小结——作业布置.2 第一环节 课前复习 活动内容： 1.求图中角 X 的度数： x= x= 2.求图中角 X 的度数： ∠ABF=20°，∠FDE=30° x= x= 活动目的：通过两个简单的练习，复习第一课时学习的圆周角和圆心角的关 系.练习 1 是复习定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半； 练习 2 是复习定理：同弧或等弧所对的圆周角相等. 活动的注意事项：两个题目相对比较简单，关键在于引导学生学会看图，从 图中看出圆心角和圆周角的一些关系.第 2 题的第 2 个图难度稍大，学生不易一 眼看出个中关系，需要借助辅助线，连接 CF，把 x 分解为 2 个角，使得问题简 单解决，本题需要重点讲解，体现读图和应用的灵活性. 第二环节 新课学习（一） 活动内容：3 （1）观察图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？ 首先，让学生明确，“它所对的圆周角”指的是哪个角？（∠BAC） 然后，让学生猜想，这个角的特点，并拿量角器实际测量，看看猜测是否准确. （∠BAC 是一个直角） 最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角关系定理进行 证明. 解：直径 BC 所对的圆周角∠BAC=90° 证明： ∵BC 为直径 ∴∠BOC=180° ∴ （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） （2）观察图，圆周角∠BAC=90°，弦 BC 是直径吗？为什么？ 首先，让学生猜想结果； 然后，再让学生尝试进行证明. 解：弦 BC 是直径. 连接 OC、OB ∵∠BAC=90° ∴∠BOC=2∠BAC=180° （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∴B、O、C 三点在同一直线上 ∴BC 是⊙O 的一条直径 （3）从上面的两个议一议，得出推论： 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的 弦是直径. 几何表达为： 直径所对的圆周角是直角； ∵BC 为直径 ∴∠BAC=90° 90°的圆周角所对的弦是直径. ∵∠BAC=90° ∴BC 为直径 BOCBAC ∠=∠ 2 14 活动目的：本环节的设置，需要学生经历猜想——实验验证——严密证明， 这三个基本的环节，从而推导出从圆心角和圆周角关系定理推导出的两个推论. 活动的注意事项：在（2）证明弦 BC 是直径的问题中，学生往往容易进入 误区，直接连接 BC，认为 BC 过点 O，则直接说 BC 是直径，这样的说理是错误 的，应该是连接 OB 和 OC，再证明三点共线.在此需要特别指出注意：此处不能 直接连接 BC，思路是先保证过点 O，再证三点共线.对于三点共线，学生也可能 忘记，需要老师从旁提醒. 第三环节 推论的应用（一） 活动内容： （1）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形， 你能判断哪个是半圆形？为什么？ （2）如图，⊙O 的直径 AB=10cm，C 为⊙O 上的一点，∠B=30°，求 AC 的长. 解∵AB 为直径 ∴∠BCA=90° 在 Rt△ABC 中， ∠ABC=30°，AB=10 ∴ 活动目的：在学习了推论“直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的 弦是直径.”立刻安排两个简单练习让学生进行实际应用，目的的增加学生对这 两个推论的熟练程度，并学习灵活应用这两个推论解决问题.第 1 题是实际问题， 具有现实生活的实际意义，用利于提高学生应用数学解决实际问题的能力. 活动的注意事项：第 2 题练习中，涉及“在直角三角形中 30°所 对的直角边等于斜边的一半”这个定理的使用，估计学生不容易想到应用 这个定理，从而无法解决这个问题，让学生思考后，发现无法联系到本定 理，则需要老师从旁适时提醒. 52 1 == ABAC5 第四环节 新课学习（二） 活动内容： （一）如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，请问∠BAD 与∠ BCD 之间有什么关系？为什么？ 首先：引导学生进行猜想； 然后：让学生进行证明. 解：∠BAD 与∠BCD 互补 ∵AC 为直径 ∴∠ABC=90°,∠ABC=90° ∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD 与∠BCD 互补 （二）如图，C 点的位置发生了变化，∠BAD 与∠BCD 之间有的关系还成立吗？ 为什么？ 首先：让学生猜想结论； 然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜想结果； 最后：让学生利用所学知识进行严密证明. 解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立 连接 OB，OD ∵ , （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半） ∵∠1+∠2=360° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∴∠BAD 与∠BCD 互补 （三）圆内接四边形概念与性质探索 如图，两个四边形 ABCD 有什么共同的特点？ 得出定义：四边形 ABCD 的的四个顶点都在⊙ O 上，这样的四边形叫做圆内接四边形； 这个圆叫做四边形的外接圆. 22 1 ∠=∠BAD 12 1 ∠=∠BCD 1 26 通过议一议环节，我们我们发现∠BAD 与∠BCD 之间有什么关系？ 推论：圆内接四边形的对角互补. 几何语言： ∵四边形 ABCD 为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补） 活动目的：本活动环节，目的是通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的 关系，然后进行一般图形的变换，让学生再次经历猜想，实验，证明这三个探索 问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，再引入相关概念，得出相关推 论. 活动的注意事项：在（二）的探索中，学生会陷入∠BAD 和∠BCD 所对圆 心角混淆的误区，以及不会对这两个圆心角的角度进行表达.其次，在两个图形 中四边形 ABCD 的共同特征探索方面，学生可能会简单问题复杂化，想到其他 比较复习的特征，该给予肯定，但要引导学生不要把问题向复杂方向思考. 第五环节 推论的应用（二） 活动内容： 如图，∠DCE 是圆内接四边形 ABCD 的一个外角，∠A 与∠DCE 的大小有 什么关系？ 让学生自主经历猜想，实验验证，严密证明三个环节 解：∠A=∠CDE ∵四边形 ABCD 是圆内接四边形 ∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠BCD+∠DCE=180° ∴∠A=∠DCE 活动目的：通过一个练习，让学生自主经历解决问题的三个基本环节，从而 巩固本节课学习方法的应用. 活动的注意事项：个别学习能力低下的学生会不懂得思考问题的方式和方法， 让学生做的时候，适当关注这部分学生，作出及时引导. 第六环节 方法小结 活动内容： 7 议一议：在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并 与同伴进行交流. 让学生自主总结交流，最后老师再作方法归纳总结. 方法 1：解决问题应该经历“猜想——实验验证——严密证明”三个基本 环节. 方法 2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊 性，得出一般图形，总结一般规律. 活动目的：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方 法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是 要学会进行方法的总结. 活动的注意事项：这里体现学生的总结和交流能力，只要学生是自己总结的， 都应该给与鼓励和肯定，最后老师再作总结性的发言. 第七环节 作业布置 随堂练习 3.在圆内接四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 的度数之比为 4:5，求∠C 的 度数. 解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形 ∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补） ∵∠A:∠C=4:5 ∴ 即∠C 的度数为 100°. 习题 3.5 1.如图，在⊙O 中，∠BOD=80°，求∠A 和∠C 的度数. 解：∵∠BOD=80° ∴ （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∵四边形 ABCD 是圆内接四边形 ∴∠DAB+∠BCD=180° ∴∠BCD=180°-40°=140° °=°×=∠ 1001809 5C °=∠=∠ 402 1 BODDAB8 （圆内接四边形的对角互补） 2.如图，AB 是⊙O 的直径，∠C=15°，求∠BAD 的度数. （方法一）解：连接 BC ∵AB 为直径 ∴∠BCA=90°（直径所对的圆周角为直角） ∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15° ∴∠BCD=90°-15°=75° ∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等） （方法二）解：连接 OD ∵∠ACD=15° ∴∠AOD=2∠ACD=30° （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∵OA=OD ∴∠OAD=∠ODA 又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180° ∴∠BAD=75° 3.如图，分别延长圆内接四边形 ABCD 的两组对边相交于点 E，F，若∠E=40°，∠ F=60°,求∠A 的度数. 解：∵四边形 ABCD 是圆内接四边形∴∠ADC+∠CBA=180° （圆内接四边形的对角互补） ∵∠EDC+∠ADC=180°， ∠EBF+∠ABE=180° ∴∠EDC+ ∠EBF=180° ∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A ∴∠F+∠A+∠E+∠A=180° ∴∠A=40° 四． 教学设计反思 学生往往会直接进行证明，这对于简单问题可行，对于复杂问题就不好做了， 因此要让学生经历猜想的过程，并且需要实际动手，拿出量角器进行实际度量， 验证猜想，最后再进行严密的几何证明.