2.1 3 离散型随机变量与分布列，分布函数及其基本性质，常见的几种离散型分布（选修2-3）.doc

第 五 次课 2 学时 本次教学重点： 离散型随机变量与分布列，分布函数及其基本性质，常见的几种离散型分布 本次教学难点： 随机变量的分布函数 本次教学内容： 第二章 随机变量及其分布函数 第一节 随机变量的直观意义与定义 一、随机变量概念的引入 为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化， 即把随机试验的结果与实数对应起来. 1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示. 如在“n 重贝努里试验中，事件 A 出 现 k 次”这一事件的概率，若记 ξ=n 重贝努里试验中 A 出现的次数，则上述“n 重贝努里试验中， 事件 A 出现 k 次”这一事件可以简记为（ξ=k）,从而有 P(ξ=k)= q=1-p 并且 ξ 的所有可能取值就是事件 A 可能出现的次数 0，1，2，……n 2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之. 例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定 若试验结果出现正面, 令 η=1, 从而{试验结果出现正面}=（η=1）； 若试验结果出现反面, 令 η=0, 从而{试验结果出现反面}=（η=0）。 为了计算 n 次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。 一般地，若 A 为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系 在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量 ξ，η，这两个变量取什么值，在每次试验之 前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，通常称这种 量为随机变量。从上面例子可以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁 得多了。 在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例 子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质，所谓随机变量，不过 knkk n qpC −是随机试验的结果（即样本点）和实数之间的一一对应关系 二、随机变量的定义 定义 设 是一概率空间，对于 是一个取实值得函数；若对于任一 实数 是一随机事件，亦即 ，则称 为随机变量. 为书写方便， 简写为 ，事件 记为 通常用希腊字母 或大写字母 X,Y,Z 等表示随机变量 随机变量与高等数学中函数的比较: (1) 它们都是实值函数, 只不过在函数概念中，f(x)的自变量 x 为实数，而随机变量的概念 中，随机变量 ξ（ω）的自变量为样本点 ω，因为对每个试验结果 ω 都有函数 ξ（ω）与之对应， 所以 ξ（ω）的定义域是样本空间，值域是实数域。但随机变量在试验前只知道它可能取值的 范围,而不能预先肯定它将取哪个值; (2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有 一定的概率. 例 1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数 为随机变量， 的可能取值为 0， 1，2…… 例 2：某一公交车站每隔 5 分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时 间为随机变量 , 的可能取值为 。 例 3：考察某一地区全年的温度的变化情况，则某一地区的温度 为随机变量， 的可能取值 为 。 例 4：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用 一个二维坐标（ ）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。 三．随机变量的分类 从随机变量的取值情况来看，若随机变量的可能取值只要有限个或可列个则该随机变量 为离散型随机变量，不是离散型随机变量统称为非离散型随机变量，若随机变量的取值是连 续的，称为连续型随机变量，它是非离散型随机变量的特殊情形。 从随机变量的个数来分，随机变量可分为一维随机变量和多维随机变量， （一）一维随机变量及分布列 1．定义 ( )PF,,Ω )(, ωξω Ω∈ { }xx +>∴ −=>−=+> −=−=> > +>=>+> + ∞ += −∑  ．射击中命中目标的次数： 300X ( )．， 44.0300~ BX ( ) ，它不是整数由于 44.13244.01300 =×+ 04636.0)56.0()44.0()132( 168132132 300 === CXP所谓无记忆性，是指几何分布对过去的 m 次“失败”信息在后面的计算中被遗忘了 5）.普哇松（Poisson）分布 观察电信局在单位时间内收到的呼唤次数，某公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数 等。可用相应的变量 表示，实践表明 的统计规律近似地为 k=0.1.2… 其中 >0 是某个常数，易验证 1）P（ ）>0 k=0.1.2… 2） = =1 也就是说，若 的分布列为 k=0.1.2…（ >0） 称 服从参数为 的普哇松（Poisson）分布，记为 ～p (k; ) 在很多实践问题中的随机变量都可以用 Poisson 分布来描述。从而使得 Poisson 分布对于 概率论来说，有着重要的作用，而概率论理论的研究又表明 Poisson 分布在理论上也具有特殊 重要的地位。 下面介绍 Poisson 分布与二项分布之间的关系 Th2.1（Poisson 定理）在 n 重贝努里试验中，事件 A 在一次试验中出现的概率为 （与试验 总数 n 有关）。若当 时 （ >0 常数）。则有 k=0.1.2… 这个定理在近似计算方面有较大的作用，在二项分布中，要计算 b(k;n,p)= ， 当 n 和 k 都比较大时。计算量比较大，若此时 np 不太大（即 p 较小）那么由 Poisson 定理就 有 b(k;n,p) 其中 ，而要计算 用的 Poisson 分布表可查。 例 10.已知某中疾病的发病率为 1/1000，某单位共有 5000 人，问该单位患有这种疾病的人数 ξ ξ λ k=ξ ξ { } ! k P k ek −λλξ = = λ ξ λ ξ λ np ∞→n λ→nnp λ knkk n ppC −− )1( λ−λ ek k ! np=λ λ−λ ek k ! { }kP =ξ超过 5 的概率为多大？ 解：设该单位患这种疾病的人数为 .则 ～ 其中 b(k;5000,1/1000)= 这时如果直接计算 计算量较大。由于 n 很大。P 较小。而 np=5 不很大。可以利用 Poisson 定理 查 Poisson 分布表得 于是 例 11．由该商店过去的销售记录知道，某中商品每月销售数可以用参数 的 Poisson 分 布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？ 解：设该商店每月销售某种商品 件，月底的进货为 a 件 则当 时就不会脱销。因而按题意要求为 又 查 Poisson 分布表得 于是这家商店只要在月底进货某种商品 15 件（假定上月没有存货）就可以以 95%的把握 保证这种商品在下个月不会脱销。 二、分布函数及其基本性质 我们研究了离散型随机变量，在那里随机变量只取有限个或可列个值，这当然有很大的 局限性。在许多随机现象中出现的一些变量，如“测量某地的气温”，“某型号显象管的寿命”“某 ξ ξ )1000/1,5000(b { }5>ξP { } { } 5 5 0 ! 51515 − = ∑−≈≤−=> ekPP k k ξξ 5 5 0 ! 5 − = ∑ ekk k { } 384.00616.015 =−≈>ξP ξ { }a=ξ省高考体检时每个考生的身高、体重”等，它们的取值是可以充满某个区间或区域的（也就不 会只取有限个或可列个值），对于这样的随机变量，如何描述它们的统计规律呢？ 我们首先引入分布函数的概念。 （一）、分布函数的概念 1、定义：设 为一随机变量，令 称 是随机变量 的概率分布函数，简称为分布函数或分布。 分布函数实质上就是事件 的概率。 2、分布函数的性质 由概率的性质可知： 1）非负性： 2）单调性： 若 则 3）若 进一步 4）极限性： 证：因为 ，所以 都存在，又由概率的完全可加性有 所以必有 ),(),)(()( ∞−∞∈