2.3 1 随机变量的均值与方差（选修2-3）.doc

2.5 随机变量的均值与方差 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量。 怎样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 2.5.1 离散型随机变量的均值 【教学目标】[来源:www.shulihua.net] 1、通过实例，理解有限值的离散型随机变量的均值（数学期望）的概念和意义； 2、会提出、分析、解决带有实际意义或与生活有联系的数学问题；提高用均值的数学语言表 达问题进行交流的能力； 3、要引导学生接触自然，了解社会，参加形式多样的实践活动，使学生接触自然，了解社会， 参加形式多样的实践活动，使学生对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，有追求新知 的欲望，能够独立思考，会从数学的角度发现和指出问题并加以探索和研究。 【教学过程】 一、问题引入： 问题： 甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同条件下，他们 生 产 100 件产品所出的不合格 数分别用 表示， 的概率分布如下： 0 1 2[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net][来源:数理化网] 3 0.7 0.1 0.1 0.1 0 1 2 3 0.5 0.3 0.2 0 思考：如何比较甲、乙 两个工人的技术？ 二、新授 在《数学 3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式 计算样本的平均值，其中 为取值为 时的频率值。 类似地，若离散型随机变量 X 的概率分布如下表所示： … … 则称 为离散型随机变量 X 的均值或数学期望，记为 21 , XX 21 , XX 1X kp 2X kp nn pxpxpx +…++ 2211 ip ix X 1x 2x nx p 1p 2p np nn pxpxpx +…++ 2211 ,)( µ或XE即 ，其中， 是随机变量 X 的可能取值， 是概率， 离散型随机变量 X 的均值也称为 X 的概率分布的均值。 注：（1）上述定义给出了求离散型随机变量均值的方法。我们只研究有限个随机变量的均值 的情况； （2） （3）如何去理解离散型随机变量的数学期望值呢？ 例如：在一次商业活动中，某人获利 300 元的概率为 0.6，亏损 100 元的概率为 0.4， 求此人在这样的一次商业活动中获利的数学期望。 解：由定义可得 （元）。 这表明此人有希望获利 140 元，但要注意，对于这样一次商业活动，此人不是赚 300 元，就 是亏 100 元，但如果他重复从事这类商业活动，那么从平均意义上说，每次可获利的数学期 望为 140 元。 （4）问题解决：对于前面的问题 ，通过计算，可以求得 [来源:www.shulihua.net] 由于 即甲工人生产出废品数的均值小，从这个意义上讲，甲的技术比 乙的技术好。 （5）特殊分布的均值 1、随机变量 X 服从两点分布，那么 2、若 则 3、若 则 三、例题分析： 例 1 高三（1） 班的联欢会上设计了一项游戏，在一个口袋中装有 10 个红球，20 个白球，这 些球除颜色外完全相同。某学生一次从中摸出 5 个球，其中红球的个数为 X， 求 X 的数学期望。 =)(XE nn pxpxpx +…++ 2211 ix ip .1,,,2,1,0 21 =+…++…=≥ ni pppnip ;)()( bXaEbaXE +=+ 1404.0)100(6.0300)( =×−+×=XE ,6.01.031.021.017.00)( 1 =×+×+×+×=XE .7.0032.023.015.00)( 2 =×+×+×+×=XE ),()( 21 XEXE < .)1(01)( pppXE =−×+×= ),,,(~ NMnHX ∑ = − − ⋅=⋅= n r n N rn MN r M N Mn C CCrXE 0 .)( ),,(~ pnBX .)( npXE =例 2 从批量较大的成品中随机取出 10 件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为 0.05， 随机变量 X 表示这 10 件产品中的不合格品数，求随机变量 X 的数学期望 例 3 某人从家乘汽车到单位，途中有三个交通岗亭，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独 立的，且概率都为 0.4，则此人上班途中遇红灯次数的期望值为多少？ ).(XE例 4 将 3 个小球任意地放入 4 个玻璃杯中，杯子中球的最多个数记为 X，求 X 的分布列和数 学期望。 [来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]例 5 A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是 B 队队员是 按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜 负概率如下： 对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 对 对 对 现按表中对阵 方式出场，每场胜队得 1 分，负队得 0 分。设 A 队、B 队最后所得总分分 别为 X 和 Y。 （1）求 X、Y 的概率分布列； （2）求 、 的值。 ,,, 321 AAA .,, 321 BBB 1A 1B 3 2 3 1 2A 2B 5 2 5 3 3A 3B 5 2 5 3 )(XE )(YE四、练习：教材 P67：练习 五、作业：数学之友 P71：9~14 www.shulihua.net w。w-w*k&s%5￥u www.shulihua.net w。w-w*k&s%5￥u