高二人教A版必修5系列教案：3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1 .doc

二元一次不等式组与简单的线性规划问题 【知识网络】 1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法； 2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值； 3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。 【典型例题】 例 1：（1）已知点 P（x0，y0）和点 A（1，2）在直线 的异侧，则（ ） A． B． 0 C． D． 答案: D。解析：将（1，2）代入 得小于 0，则 。 （2）满足 的整点的点（x，y）的个数是 （ ） A．5 B．8 C．12 D．13 答案：D。解析：作出图形找整点即可。 （3）不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 表示的平面区域是 （ ） 答案：C。解析：原不等式等价于 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域． （4）设实数 x, y 满足 ，则 的最大值为 ． 答案: 。解析：过点 时， 有最大值 。 （5）已知 ，求 的取值范围 ． 答案： 。解析：过点 时有最小值 5，过点（3，1）时有最大值 10。 0823: =−+ yxl 023 00 >+ yx 2≤+ yx    ≤−+ ≥+−    ≥−+ ≤+− 03 012 03 012 yx yx yx yx 或 2 0 2 4 0 2 3 0 x y x y y − − ≤  + − ≥  − ≤ y x 3 2 3(1, )2 y x 3 2 1 2 2 4 a b a b ≤ − ≤  ≤ + ≤ 4 2t a b= − ]10,5[ 3 1( , )2 2例 2：试求由不等式 y≤2 及|x|≤y≤|x|＋1 所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组： ① 或 ② 上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分． 它所围成的面积 S＝ ×4×2－ ×2×1＝3． 例 3：已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)＝x2＋2x． (Ⅰ)求函数 g(x)的解析式； (Ⅱ)若 h(x)＝g(x)－ f(x)＋1 在[－1，1]上是增函数，求实数 的取值范围。 答案: (Ⅰ)设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为 ， 则 ∵点 在函数 的图象上 ∴ （Ⅱ） ① ② ⅰ） ⅱ） 例 4：要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格 的小钢板的块数如下表所示： 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得 所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？       ≤ +≤ ≥ ≥ 2 1 0 y xy xy x       ≤ +−≤ −≥ ≤ 2 1 0 y xy xy x 2 1 2 1 λ λ ( )y f x= ( )0 0,Q x y ( ),P x y 0 0 0 0 0, ,2 .0,2 x x x x y y y y + = = − + = − = 即 ( )0 0,Q x y ( )y f x= ( )2 2 22 2 , 2y x x y x x g x x x− = − = − + = − +，即 故 ( ) ( ) ( )21 2 1 1h x x xλ λ= − + + − + ( ) [ ]1 4 1 1,1h x xλ = − = + −当 时， 在 上是增函数， 1λ∴ = − 11 .1x λλ λ −≠ − = +当 时，对称轴的方程为 11 1, 1.1 λλ λλ −< − ≤ − < −+当 时, 解得 11 1, 1 0.1 当 时, 解得λλ λλ −> − ≥ − < ≤+ 0.λ ≤综上，答案:：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，则 且 x，y 都是整数． 求目标函数 z＝x＋y 取得最小值时的 x，y 的值． 如图，当 x＝3，y＝9 或 x＝4，y＝8 时，z 取得最小值． ∴需截第一种钢板 3 张，第二种钢板 9 张或第一种钢 板 4 张，第二种钢板 8 张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少． 【课内练习】 1．双曲线 的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与 x=3 围成 一个三角形区域，表示该区域的不等式组是 （ ） A、 B、 C、 D、 答案：A。解析：双曲线 的两条渐近线方程为 ，过（3，0）且平行于 的直线是 和 ，∴围成的区域为 A。 2．给出平面区域如下图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0) 取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（ ） A． B． C．2 D． 答案:B。解析： ， 即 。 3．设集合 是三角形的三边长 ，则 所表示的平面区域 (不含边界的阴影部分)是 ( )         ≥ ≥ ≥+ ≥+ ≥+ 0 0 273 182 152 y x yx yx yx 2 2 4x y− = 0 0 3 0 0 3 x y x y x y x − ≥  + ≥ − − ≥  ≤ ≤ 0 0 3 0 0 3 x y x y x y x − ≥  + ≤ − − ≥  ≤ ≤ 0 0 3 0 0 3 x y x y x y x − ≤  + ≤ + + ≤  ≤ ≤ 0 0 3 0 0 3 x y x y x y x − ≤  + ≥ + + ≤  ≤ ≤ 2 2 4x y− = y x= ± y x= ± 3y x= − 3y x= − + 3 2 2 1 2 3 1 1,2 2ACk a= − ∴− = − 1 2a = {( , ) | , ,1 A x y x y x y= − − } AA (3,1)B (7,9)C 答案:A。解析： ，故选 A 4．某实验室需购某种化工原料 106 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元．在满足需要的条件下，最 少要花费 元． 答案: 500。解析：设需第一种原料 x 袋，第二种原料 y 袋， ，令 ，∴过（1，3）时 元。 5．已知 ， 求 的最大值为 。 答案：21。解析：可行域如图，当 时， ，于是可知可行域内 各点均在直线 的上方，故 ，化简得 并平行移动，当过 C（7，9）时， 。 6．要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小 钢板的块数如下表所示： 类 型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 1 2 1 第二种钢板 1 1 3 每张钢板的面积,第一种为 ,第二种为 ,今需要 A、B、C 三种规格的成品各 12、 15、27 块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？ 答案：解：设需截第一种钢板 张,第二种钢板 张,所用钢板面积为 , 则有 作出可行域(如图) 目标函数为 1 21 11 , 21 1 2 x y x y x y x y x y x y x x y y  + >+ > − −  − < − − ∴ − −    − + > 0  + − +− byx )2 1,2 3( −−。 6．已知 的三边长 满足 ， ，求 的取值范围． 答 案 ： 解 ： 设 ， ， 则 ， 作出平面区域（如右图）， 由图知： ， ， ∴ ， 即 ． 7. 已知x、y满足不等式 ,求z=3x+y的最大值与最小值。 答案:最大值 3X4-1=-11 最小值 3X(-4)-1=-13 8．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送 180 t 支援物资的任务，该公司有 8 辆载重为 6 t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员，每辆卡车每天往 返的次数为 A 型卡车 4 次，B 型卡车 3 次，每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元，B 型车为 504 元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低． 答 案 : 设 每 天 调 出 A 型 车 x 辆 ， B 型 车 y 辆 ， 公 司 所 花 的 成 本 为 z 元 z＝320x＋504y（其中 x，y∈Z） 作出上述不等式组所确定的平面区域如图阴影所示即可行域． 2 2 1 0 3 1,2 2 1 0 2 2 b bb + + > ∴− < < −− − + > ABC∆ , ,a b c 2b c a+ ≤ 2c a b+ ≤ b a ax b = cy a = 1 2 1 2 1 0, 0 x y x y x y x x y < + ≤  < + ≤ < +  > > 2 1( , )3 3A 3 1( , )2 2C 2 3 3 2x< < 2 3 3 2 b a < <    −≥ ≥+− ≤−+ 1 03 03 y yx yx          ∈≥ ∈≥ ≥×+× ≤+ ≤ ≤ Z,0 Z,0 18010364 10 4 8 yy xx yx yx y x x y 0 1 1 2 2 3 3 4 4 1− 1− 2− 2− 3− 3− 4− 4− y xO 1 A B C D 1− 1− 2 1 2y x+ = 1x y= + 2x y+ = 1x y+ = 1y x= +由图易知，当直线 z＝320x＋504y 在可行域内经过的整数点中，点（5，2）使 z＝320x＋ 504y 取得最小值，zmin＝320×5＋504×2＝2608． ∴每天调出 A 型车 5 辆，B 型车 2 辆，公司所花成本最低．