4.4 一次函数的应用（第3课时） 教学设计.doc

1 第四章 一次函数 4. 一次函数的应用（第 3 课时） 一、学生起点分析 在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图 象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实 际问题进一步探讨一次函数图象的应用． 二、教学任务分析 本节课是北师大版义务教育教科书八年级（上）第四章《一次函数》第四节 的第 3 课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前 一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结 合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元 一次方程组打下基础． 教学目标 1.进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际 问题； 2.在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象 思维； 3.在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和 数学应用意识． 4.在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而 培养学生学习数学的兴趣． 教学重点 一次函数图象的应用 教学难点 从函数图象中正确读取信息 三、教法学法 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备： 教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺 四、教学过程： 本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三 环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置． 第一环节：情境引入2 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用, 按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克 数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所 示,结合图象回答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前 与 之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多 少? (4)降价后他按每千克 0.4 元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是 26 元,试问他一共带了多少千克土豆? 活动目的：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。 活动效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。 第二环节：问题解决 内容 1：例 1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见 面，上午 7：00 小聪乘电动汽车从“古刹”出 发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为 ，小 慧也于上午 7：00 从“塔林”出发，骑电动自行 车沿景区公路去“飞瀑”，车速为 ． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了 “草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑” 还有多少千米？ 分析： 当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？是否已经过了“草甸” 该用什么量来表示？你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过 t 时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为 、 ， 由题意得： ， 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标 系上，观察图象，得 ⑴两条直线 ， 的交点坐标为（1，36） 这说明当小聪追上小慧时， ，即离“古刹” ，已超过 ， 也就是说，他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时，即 ，此时 ． 所以小慧离“飞瀑”还有 45－42.5=2.5（km） y x 36km / h 26km / h 1S 2S tS 361 = 10262 += tS tS 361 = 10262 += tS 1 2 36kmS S= = 36km 35km 1 45kmS = 2 42.5kmS =3 思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的 关系式分别是什么（小聪的解析式为 ，小慧的解析式为 )？ 活动目的：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问 题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象 的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应 用能力． 说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导 学生进行分析。⑴两个人是否同时起步？ ⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是 否相同？两个人的速度各是多少？⑶这个问题中的两个变量是什么？它们之间 是什么函数关系？⑷如果用 表示路程， 表示时间，那么他们的函数解析式是 一样？他们各自的解析式分别是什么？ 内容 2：深入探究 例 2 我边防局接到情报，近海处有一可疑 船只 正向公海方向行驶．边防局迅速派 出快艇 追赶（如图），下图中 ， 分别 表示两船相对于海岸的距离 （海里）与追 赶时间 （分）之间的关系． 根据图象回答下列问题： （1）哪条线表示 到海岸的距离与时间之间 的关系？ 解：观察图象，得当 时， 距海岸 0 n mile，即 ，故 表示 到海岸的距离与 追赶时间之间的关系； （2） ， 哪个速度快？ 解：从 0 增加到 10 时， 的纵坐标增加了 2，而 的纵坐标增加了 5，即 10 min 内， 行驶了 2 海里， 行驶了 5 n mile，所以 的速度快． （3）15 min 内 能否追上 ？ 解：可以看出，当 时， 上对应点在 上对应点的下方， （4）如果一直追下去，那么 能否追上 ？ 解：如图 ， 相交于点 P．因此，如果一直追 下去，那么 一定能追上 ． tS 361 = 10262 += tS S t A B 1l 2l s t B 0=t B 0=S 1l B A B 2l 1l A B B B A 15=t 1l 2l B A 1l 2l B A 海 岸 公 海 AB4 （5）当 逃到离海岸 海里的公海时， 将无 法对其进行检查．照此速度， 能否在 逃到公 海前将其拦截？ 解：从图中可以看出， 与 交点 P 的纵坐标小 于 ，这说明在 逃入公海前，我边防快艇 能 够追上 ． 活动目的：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，建立良好的知 识联系． 说明：学生在教师的引导下，逐步形成了良好的识图能力． 第三环节：反馈练习 内容：观察甲、乙两图，解答下列问题 1．填空：两图中的（ ）图比较符合传统寓言故事《龟免赛跑》中所描 述的情节． 2．根据 1 中所填答案的图象填写下表： 项目 主人公 （龟或兔） 到达时间 （分） 最快速度（米/ 分） 平均速度 （米/分） 红线 绿线 3．根据 1 中所填答案的图象求： （1）龟免赛跑过程中的函数关系式（要注明各函数的自变量的取值范围）； （2）乌龟经过多长时间追上了免子，追及地距起点有多远的路程？ 4．请你根据另一幅图表，充分发挥你的想象，自编一则新的“龟免赛跑”的寓 言故事，要求如下： （1）用简洁明快的语言概括大意，不能超过 200 字； （2）图表中能确定的数值，在故事叙述中不得少于 3 个，且要分别涉及时间、 路和速度这三个量． 意图：旨在检测学生的识图能力，可根据学生情况和上课情况适当调整。 A 2l B B A 1l 2l 2l A B A 线型5 S（千米） t（时）O 10 22.5 .5 7.5 0.5 31.5 lB lA 说明：练习注意了问题的梯度，由浅入深，一步步引导学生从不同的图象中获取 信息，对同学的回答，教师给予点评，对回答问题暂时有困难的同学，教师应帮 助他们树立信心。 5. 如图， 与 分别表示 步行与 骑车同一路上行驶的路程 与时间 的关 系． （1） 出发时与 相距多少千米？ （2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是多少小时？ （3） 出发后经过多少小时与 相遇？ （4）若 的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进， 那么经过多少时间与 相遇？相遇点离 的出发点多远？ 你能用哪些方法解决这个问题？在图中表示出这个相遇点 ． 6.甲．乙两班参加植树活动．乙班先植树 30 棵，然后甲班才开始与乙班一起植 树．设甲班植树的总量为 （棵），乙班植树的总量为 （棵），两班一起植树 所用的时间（从甲班开始植树时计时）为 （时）， ． 分别与 之间的部分 函数图象如图所示． （1）当 时，分别求 ． 与 之间的函数关系式． （2）如果甲．乙两班均保持前 6 h 的工作效率，通过计算说明，当 时， 甲．乙两班植树的总量之和能否超过 260 棵． （3）如果 6 h 后，甲班保持前 6 h 的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作 效率，这样继续植树 2 小时，活动结束．当 时， 两班之间植树的总量相差 20 棵，求乙班增加人数 后平均每小时植树多少棵． 第四环节：课时小结 内容：本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时， 可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数 关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题。通过列出关系式解决问题时， 一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是一 次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我 们所需要的结果． 意图：引导学生自己小结运用一次函数解决实际问题的主要方法。 Al Bl A B S t B A B A B A B C y甲 y乙 x y甲 y乙 x 0 6x≤ ≤ y甲 y乙 x 8x = 8x = O y甲 y乙 y(棵) x(时)3 6 8 120 306 说明：让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结。 第五环节：作业布置 作业：习题 6.7 六、教学设计反思 （1）设计理念 函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是初中阶段数学学习的一个重要 内容．在本节教学设计中，进一步体现了“问题情境——建立数学模型——应用 与拓展”的模式．让学生从实际问题中抽象出函数及一次函数的概念、图象、性 质，进而利用一次函数及其图象解决有关现实问题． （2）突出重点、突破难点的策略 本节课是在学生已经掌握了一次函数的图象和有关性质的基础上，对有关知识进 行应用和拓展．在教学过程中，教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴 趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互 动、生生互动的探究活动中，提高学生解决实际问题的能力． 附：板书设计 一次函数图象的应用（二） 一、例题讲解 二、想一想 三、反馈练习 四、课时小结 五、课后作业