5.2 三角形内角和定理（第2课时） 教学设计.doc

1 第七章 平行线的证明 5．三角形内角和定理（第 2 课时） 一、学生知识状况分析 学生技能基础：学生在前面的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线 的性质定理以及它们的严格证明，学习了三角形内角和定理的证明以及相关应用，有相 关知识的基础，并具有一定的逻辑思维能力和严谨推理习惯，为今天的学习奠定了良好 的基础． 活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生非常熟悉的自主探究与合作交流 相结合、实践和理性证明相结合的学习方式，学生具有较熟悉的活动经验． 二、教学任务分析 在前面的学习中，学生对于平行线相关知识以及三角形内角和定理的灵活运用已经 有了深入的了解，为今天的学习奠定了知识基础，并且他们已经具有初步的几何意识， 形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《关注三角形的外角》旨在利用已 经学习过的知识来推导出新的定理以及运用新的定理解决相关问题。为此，本节课的教 学目标是： 1.掌握三角形外角的两条性质； 2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧． 3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。 4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。 5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想 象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣． 三、教学过程分析 本节课的设计分为四个环节：情境引入——探索新知——反馈练习——课堂反思 与小结 第一环节：情境引入2 活动内容： 在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC 的一边 BC 延长得到∠ACD，这个角 叫做什么角呢？下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质． 活动目的： 引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。 注意事项： 教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度 进行思考。 第二环节：探索新知 活动内容： ① 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形 的外角， 结合图形指明外角的特征有三： (1)顶点在三角形的一个顶点上． (2)一条边是三角形的一边． (3)另一条边是三角形某条边的延长线． ② 两个推论及其应用 由学生探讨三角形外角的性质： 问题 1：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，能由∠A、∠ B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A、∠B 有什么关系？ 问题 2：任意一个△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A、∠B 的大小会有什么关系呢？ 3 由学生归纳得出： 推论 1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 例 1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE 是△ABC 的三个外角． 求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360° 分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证． 证明：(略)． 例 2、已知：D 是 AB 上一点,E 是 AC 上一点，BE、CD 相交于 F,∠A=62°，∠ACD=35 °，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC 度数；(2)∠BFD 度数． 解：(略)． 活动目的： 通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等 和不等的不同角度对三角形作更全面的思考． 注意事项： 新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代 庖。 第三环节：课堂练习 活动内容： ① 已知，如图，在三角形 ABC 中，AD 平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：AD∥BC 分析：要证明 AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠B= ∠EAC（等式的性质） ∵AD 平分∠EAC（已知） ∴∠DAE= ∠EAC（角平分线的定义） ∴∠DAE=∠B（等量代换） ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） 想一想，还有没有其他的证明方法呢？ 2 1 2 1 B A C D E4 这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C= ∠EAC（等式的性质） ∵AD 平分∠EAC（已知） ∴∠DAC= ∠EAC（角平分线的定义） ∴∠DAC=∠C（等量代换） ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行） 还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证. 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C= ∠EAC（等式的性质） ∵AD 平分∠EAC（已知） ∴∠DAC= ∠EAC ∴∠DAC=∠C（等量代换） ∵∠B+∠BAC+∠C=180° ∴∠B+∠BAC+∠DAC=180° 即：∠B+∠DAB=180° ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） ② 已知：如图，在三角形 ABC 中，∠1 是它的一个外角，E 为 边 AC 上一点，延长 BC 到 D，连接 DE．求证：∠1>∠2． 证明：∵∠1 是△ABC 的一个外角（已知） ∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角） ∵∠ACB 是△CDE 的一个外角（已知） ∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1>∠2（不等式的性质） 2 1 2 1 2 1 2 1 A B C D E 1 F 25 ③.如图，求证：（1）∠BDC>∠A. （2）∠BDC=∠B+∠C+∠A. 如果点 D 在线段 BC 的另一侧，结论会怎样？ ［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌 握三角形的内角和定理及推论. 证法一：（1）连接 AD，并延长 AD，如图，则∠1 是△ABD 的一个外角，∠2 是△ ACD 的一个外角. ∴∠1>∠3. ∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质） 即：∠BDC>∠BAC. （2）连结 AD，并延长 AD，如图. 则∠1 是△ABD 的一个外角，∠2 是△ACD 的一个外角. ∴∠1=∠3+∠B ∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC6 证法二：（1）延长 BD 交 AC 于 E（或延长 CD 交 AB 于 E），如图. 则∠BDC 是△CDE 的一个外角. ∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∵∠DEC 是△ABE 的一个外角（已作） ∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠BDC>∠A（不等式的性质） （2）延长 BD 交 AC 于 E，则∠BDC 是△DCE 的一个外角. ∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠DEC 是△ABE 的一个外角 ∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换） 活动目的： 让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特 别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习． 注意事项： 学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第 2 小题中， 要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递 性得出∠1>∠2。 第四环节：课堂反思与小结 活动内容： 由学生自行归纳本节课所学知识： 推论 1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 活动目的： 复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力． 注意事项： 学生对于三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解。 课后练习：课本第 244 页的随堂练习第 1 题，习题 6.7 题第 1，2，3 题。 思考题：课本 245 页第 4 题（给学有余力的同学做）7 四、教学反思 教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角， 同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析 图形，变换位置，理清思路。 本节课的教学设计力图具有以下几个特色： （1） 充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人” 这一主题； （2） 从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程； （3） 在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练， 为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情。