教学目标：
通过复习，使学生在具体情景中：
1．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性；
2．了解概率的某些基本性质和简单的概率模型；
3．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；
4．能运用实验、计算器（机）模拟估计简单随机事件发生的概率；
5．培养学生的理性思维能力和辩证思维能力，增强学生的辩证唯物主义世界
观．
教学重点：
求解一些简单古典概型、几何概型．
教学难点：
古典概型、几何概型的对比．
教学方法：
谈话、启发式．三、建构数学
随机事件注意点：
1．要搞清楚什么是随机事件的条件和结果．
2．事件的结果是相应于“一定条件”而言的．因此，要弄清某一随机事件，必
须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果．
3．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验
的情况下，它的发生呈现出一定的规律性．
概率注意点：
（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；
（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件 A 的概率；
（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
（5）必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0．因此 ．
四、数学运用
（一）随机现象
例 1 指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事
件？
( ) 10 ≤≤ AP（1）若 都是实数，则 ；
（2）没有空气，动物也能生存下去；
（3）在标准大气压下，水在温度 时沸腾；
（4）直线 过定点 ；
（5）某一天内电话收到的呼叫次数为 0；
（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1 个
球则为白球．
（二）古典概型与几何概型的对比．
古典概型的概率公式：
几何概型的概率公式
相同：两者基本事件的发生都是等可能的；
不同：古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个．
例 2 掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率．
分析：先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间 Ω 和掷得偶数点事件 A，再
确定样本空间元素的个数 n，和事件 A 的元素个数 m．最后利用公式即可．
解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是
Ω＝{1， 2，3， 4，5，6}
∴n＝6
而掷得偶数点事件 A＝{2， 4，6}
∴m＝3
∴P(A) ＝
点评 枚举法是计算古典概型中事件的重要方法，同时也要能熟练地运用图
表法和树形图对某些等可能事件进行列举，教材例 3 的图表法采用坐标系的形式，
a b c， ， ( ) ( )cabbca =
c°90
( )1+= xky ( )0,1−
n
nAP A＝基本事件的总数
数所包含的基本事件的个事件 A)( =
积等）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成
积等）的区域长度（面积或体构成事件 AAP =)(
2
1
6
3 =横、纵轴分别表示第一、二次抛掷后向上的点数，此表能清楚直观地表现出各种
情况，树形图对于元素不多而又易于分类的计数问题很有效，例 4 中画出了三
“树”，其实只要画出一个树即可推知其余两个树的情况．
例 3 如图所示，在边长为 1 的正方形 OABC 内任取一点 P(x，y)．
（1）求点 P 到原点距离小于 1 的概率；
（2）求以 x，y，1 为边长能构成锐角三角形的概率．
解析（1）所有的点 P 构成正方形区域 D，若点 P 到原点距离小于 1，
则Error!
所以符合条件的点 P 构成的区域是圆
x2＋y2＝1 在第一象限所围的平面部分．
∴点 P 到原点距离小于 1 的概率为：
1
4·π·12
12＝π
4
＝π
4
．
（2）构成三角形的点 P 在△ABC 内，若构成锐角三角形，则最大边 1 所对的
角 α 必是锐角，
cosα＝x2＋y2－12
2xy
＞0，x2＋y2＞1，
即点 P 在以原点为圆心，1 为半径的圆外，
∴点 P 在边 AB，BC 及圆弧 AC 围成的区域内，
∴其概率为：
12－π
4·12
12
＝π
4
．
答：点 P 到原点距离小于 1 的概率为π
4
；以 x，y，1 为边长能构成锐角三角形
的概率为 1－π
4
．（三）互斥事件
1．互斥事件概率的理解．
（1）互斥事件概率的加法公式，是在事件 A 和事件 B 互斥的前提下进行
的．事件 A，B 互为对立事件的条件是：A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，
且有 P(A)＋P(B)＝1．
（2）对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件，只有当两
个互斥事件中有一个发生时，它才能成为对立事件．
（3）从集合的角度来看，若将总体看成全集 U，将事件 A 看成由 A 所含的结
果组成的集合，则 A 是 U 的子集，这时 A 的对立事件可看成是 A 的补集；判断两
个事件是否为对立事件，首先要判断它们是否互斥；其次要确定它们中必定要有
一个发生．
2．从正面解决问题较困难时，可转换思维视角从其反面考虑，即从事件的对
立事件考虑，往往可以降低解题的难度，简化运算．此技巧为“正难则反”策略，此
策略在互斥事件的概率中应用相当广泛和频繁，应引起我们足够的重视．
例 4 一只蚂蚁在边长分别为 3，4，5 的三角形 ABC 区域内任意爬行，则其
恰在离三个顶点的距离都大于 1 的地方的概率是 ．
答： ．
（四）练习．
1．从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的事
件是 ( )
A．至少有 1 个白球和全是白球 B．至少有 1 个白球和至少有 1 个红球
C．恰有 1 个白球和恰有 2 个白球 D．至少有 1 个红球和全是白球
2．如果事件 A，B 互斥，那么 ( )
A．A＋B 是必然事件 B． 是必然事件
C． 与 一定互斥 D． 与 一定不互斥
1 12
π−
BA +
A B A B
A
B
C
4
53．下列命题中，真命题的个数是 ( )
①将一枚硬币抛两次，设事件 A 为“两次出现正面”，事件 B 为“只有一次
出现反面”，则事件 A 与 B 是对立事件；
②若事件 A 与 B 为对立事件，则事件 A 与 B 为互斥事件；
③若事件 A 与 B 为互斥事件，则事件 A 与 B 为对立事件；
④若事件 A 与 B 为对立事件，则事件 A+B 为必然事件．
A．1 B． 2 C．3 D．4
4．甲，乙两人下棋，甲获胜的概率为 40％，甲不输的概率为 90％，则甲，
乙两人下成和棋的概率为 ( )
A．60％ B．30％ C．10％ D．50％
5．某射击运动员在一次射击训练中，命中 10 环，9 环，8 环，7 环的概率分
别为 0．21，0．23，0．25，0．28．则这名运动员在一次射击中:命中 10 环或 9
环的概率是__________，少于 7 环的概率是____________．
6．在区间上任取一个数，求 x6 的概率______．
7．有 5 张 1 角，3 张 2 角和 2 张 5 角的邮票，任取 2 张，求其中两张是同价
格的概率___________．
9．我国已经正式加入 WTO， 包括汽车在内的进口商品将最多在 5 年内把关税全
部降低到世贸组织所要求的水平，其中有 21％的进口商品恰好 5 年关税达到要求，
18％的进口商品恰好 4 年关税达到要求，其余的进口商品将在 3 年或 3 年内达到
要求，求进口汽车在不超过 4 年的时间内关税达到要求的概率．
10．袋中有 2 个伍分硬币，2 个贰分硬币，2 个壹分硬币，从中任取 3 个，求
总数超过 7 分的概率．
11．某公共汽车站每隔 10 分钟就有一趟车经过，小王随机赶到车站，则小王
等车时间不超过 4 分钟的概率是________．
五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：指导学生阅读有关资料，了解人类认识随机现象的过程．结合概率的教学，
进行偶然性和必然性对立统一观点的教育．
让学生感受数学与现实世界的重要联系，崇尚数学的理性精神，逐步形成辨
证的思维品质；养成准确、清晰、有条理地表述问题的习惯，提高学生的数学表
达和交流的能力；进一步拓宽学生的视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值
和文化价值．
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