3.7 切线长定理 教学设计.doc

第 1 页 共 10 页 第三章 圆 第七节《切线长定理》 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习了轴对称图形、三角形全 等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理，在本章《圆》前面已经学习 了切线的定义、判定与性质、圆的对称性.因此学生对前面圆的相关知识都有一 定的认识，这对本节课的学习有一定的帮助，学习过程不会很困难，理解也不很 困难，但书写证明过程有一定的难度. 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了利用轴对称 图形的性质证明垂径定理的经验，和尺规作图等动手操作能力 ，经历了对数学 问题进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程. 同时在以前的数学 学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具 备了一定的动手实践、自主探索与合作交流的能力. 二、教学任务分析 本节课是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究， 是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识.体现了图形的认识、图形的变换、 图形的证明的有机结合.在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单 问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识. 切线长定理的探究，通过设计让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出 切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的 过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严 谨性以及结论的确定性. 应用了“实验几何——论证几何”的探究方法，并初步 建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识.让学生的思维能够经历 一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严 格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程.它也是为证明线段，角相 等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据. 为此，本节课的教学目标是： 1. 使学生理解切线长定义. 第 2 页 共 10 页 2. 使学生掌握切线长定理，并能初步运用. 3. 通过本节教学，进一步培养学生的动手操作能力和创新意识. 4. 学生在猜想、探索、验证切线长定理活动中通过相互间的合作与交流， 进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力. 5. 通过分析问题、解决问题的过程，激发学生学数学的兴趣，使学生积极参与、体验 成功. 三、教学设计分析 本节课设计了六个教学环节：一、创设情景，引入新课→二、 合作学习，探 究新知→三、应用新知，体验成功→四、梳理小结，盘点收获→五、延伸思考， 提升层次→六、推荐作业，巩固拓展. 第一环节 创设情景，引入新课 活动内容： 问题:有一天,同学们去王老师家做客,王老师正在洗锅,就问:谁能测出这个 锅盖的半径,就可以得到一根雪糕,同学们都跃跃欲试,但老师家里只有一个曲尺, 到底谁能得到这根雪糕呢? 这里让学生们小组讨论,那么,该如何测量这个锅盖的半径呢?学生们众说纷 纭,可能会利用 90°的圆周角所对的弦是直径来作答,也有可能会利用曲尺的两 边与圆构造正方形来解答, 哪一种方法更好呢? 教师引导学生发现 A、B 分别为⊙O 与 PA、PB 的切点，连结 OB,OA, 则四边形 OBAP 是正方形,所以，圆的半径为 A 点或 B 点的刻度，PA=PB. 如果这根尺子的夹角不是 90°，是否还能得到 PA=PB？ 活动目的：《课标》指出：“对数学的认识，应处处着眼于数学与人的发 展和现实生活之间的密切联系”根据这一理念和九年级学生的年龄特点、心理发 A B O P A B O PC D第 3 页 共 10 页 展规律，联系生活中喜闻乐见的话题，创设有一定挑战性的问题情景，目的在于 激发学生的探索激情和求知欲望，把学生的注意力较快地集中到本课的学习中. 教师通过对话交往，引导学生把对概念的感性认识上升到理性认识，然后在图形 中进行识别，从而认识概念的本质特征，理解概念的外延. 第二环节 合作学习，探究新知 （一）、切线长定义 1、板书定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段的长度 叫做圆的切线长 2、剖析定义： （1）找出中心词，把定义进行缩句.（线段的长叫做切线长） （2）定义中的“线段”具有什么特征？ ① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点. 3、在图形中辨别：（1）已知：如图 1，PC 和 ⊙O 相切于点 A ，点 P 到⊙O 的切线长可以用哪一条线段的长来表示？ （线段 PA） （2）已知：如图 2，PA 和PB 分别与⊙O 相切于点 A、B ，点 P 到⊙O 的切线 长可以用哪一条线段的长来表示？（线段 PA 或线段 PB） （3）如图 2，思考：点 P 到⊙O 的切线长可以用三条或三条以上不同的线段的 长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？为什么？ （4）既然点 P 到⊙O 的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条 线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索问题 1，从而进入定理教学. （二）、切线长定理： 1、探索问题 1：从⊙O 外一点 P 引⊙O的两条切线，切点分别为 A、B，那么 线段 PA 和 PB 之间有何关系？ 探索步骤： （1）根据条件画出图形； （2）度量线段 PA 和 PB 的长度； （3）猜想：线段 PA 和 PB 之间的关系； 图1 P A O B O A P 图2第 4 页 共 10 页 （4）寻找证明猜想的途径； （5）在图 3 中还能得出哪些结论？并把它们归类. （6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？ 请说明理由. 活动目的：定理教学的方式是学生自主探索，相互交流相结合.首先出示探 索步骤的前三个，等学生猜想出结论后，再明确仅凭观察、度量、 利用圆的对 称性，通过折叠，猜想并不能说明结论的正确性，还需证明结论的正确性，同时 激励学生寻找证明猜想的途径.之后，再让学生探索更多的结论，并由（6）得出 定理.定理的剖析以对话形式进行.在整个过程中，教师相应地进行板书. 此环节让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的 直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充 满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性. 然后，通过动态演示强化切线长定理这一核心知识.可以看出设置探究性的问题， 可以树立学生已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思 想，使学生学会把未知转化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题转化 为特殊问题的思考方法.本环节教师通过学生探究、学生讲解、学生总结、归纳 总结得出本节课的核心知识“切线长定理”，又通过动态演示强化核心知识.最 后通过习题、生活中的实例让学生应用核心知识，树立学生的应用意识.这样多 种形式、多种角度强化核心知识，更易学生接受. 3、剖析定理： （1）指出定理的题设和结论； （2）用符号语言表示定理： ∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点，（PA、PB分别与⊙O相切于 点A、B） 图3 O P B A第 5 页 共 10 页 ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. (3)切线和切线长区别. 切线是到圆心距离等于圆的半径的直线，而切线长是线段，指过圆外一点 做圆的切线，该点到切点的距离. 活动目的：此处通过学生思考得出结论，再次加深学生对概念的理解，也 使学生了解切线长与切线的关系， 4.拓展： （1）图3是轴对称图形吗？如图4，连结图3中的两个切点AB交OP于点C，OP 所在的直线交⊙O于点D、E，又能得出什么结论？并把它们分类. （2）如图5，已知⊙O 的两条切线互相平行，A、B 两点为切点，如果连接 两切点AB，则AB是⊙O 的直径吗？ 数学来源于生活，又应用于生活，请同学们 再思考下，它们在我们的日常生活中各有什么应用？ 答：⑴图3是轴对称图形，连接AB，结论① △PAB 是一个等腰三角形，并 且存在等腰三角形的三线合一定理.②AB⊥OP ，出现了圆的垂径定理. ⑵AB是⊙O 的直径.我们的日常生活中,球放在墙角，V 形架中放入一个圆 球等.如图7 可以应用于解决日常生活中测量球体的直径. （4） 如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角 形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？.    ,AD BD AE BE= = 图7 F E D CB A O 图4 O PE DC B A O 图5 EB FA第 6 页 共 10 页 （5）老师有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料，并 且使圆的面积尽可能最大？ 答：只要作出这个三角形的内切圆便是这个三角形中取出的用料. （三）圆的外切四边形的性质. 请同学们先在草稿本中作出有关已知圆O 的四条切线，再互相交流与讨论 你的发现与结论并加以验证. 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等. 第三环节 应用新知，体验成功 活动内容： (一)例题学习 1.例题：已知如图，Rt△ABC 的两条直角边 AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的 内切圆，切点分别为 D,E,F，求⊙O 的半径. 变式一：由于切线长定理的运用是本节的难点，为了化解难点，在例题完成 后，将例题加以变式训练，将 Rt△ABC 变为一般△ABC. 图8 OOO 图9 O D C B A 例题1图 A F B D E O C第 7 页 共 10 页 即：课本 96 页知识技能第 2 题已知：如图 5，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC， CA,AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求 AF,BD,CE 的 长. 变式二：在变式一完成后，将变式一再加以变式训练，将切线 AC 平移到圆 的另一侧，即知识技能第 1 题例 1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 与 PB 分别⊙O 切于 A、B 两点，DE 也是⊙O 的切线，切点为 C，PA=PB=5cm，求△PDE 的周 长. 让学生分析问题后，提出问题： 1、从图中可得出哪些结论？请说明理由. 2、求△PDE 的周长时，应如何利用已知条件？ 提出引导问题的目的让学生对所学的知识加以归纳，形成知识系统，问题 2 是解决本题的关键，可以引导学生寻找思路，请一学生板演完成此题，并让学生 进行题后小结. （二）巩固练习 1.填空：如图 10，PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B， （1）若 PB=12，PO=13，则 AO= （2）若 PO=10，AO=6，则 PB= ； （3）若 PA=4，AO=3，则 PO= ；PD= ； 2.已知,如图 10，PA、PB 分别与⊙O 相切于点 A、B，PO 与⊙O 相交于点 D， 第2题 O F E D CB A D 图10 O P B A O A B D C E P第 8 页 共 10 页 且 PA=4cm,PD=2cm.求半径 OA 的长. 现在让我们回到锅盖的半径问题上，如何解决这个问题呢？ 3.为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌 面上，用一个锐角为 30°的三角板和一个刻度尺，按图中所示的方法得到相关 数据，进而可求得锅盖的半径，若测得 PA=5cm，则锅盖的半径长是多少？ （引导学生连结 OA、OB、OP，利用切线长定理解答） 第四环节 梳理小结，盘点收获 活动内容： 1、你的学习心得、体会是什么？ 2、你有哪些好的经验可推广？ 3、你还存在哪些困难、疑问？ 提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平 分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．让学生自由提问，同时也可利用 这个机会，辅导有困难的学生，从而使每个学生都能达标. 第五环节 延伸思考，提升层次 活动内容： 这节课我们所探 索的有关切线长的知识是在给出圆的两条切线的情况下得 出的，那么要是圆的三条切线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切 线呢？这些问题有待于我们课后去研究 . 第六环节 推荐作业，巩固拓展 活动内容： A 层：1.已知：如图 5，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为 D、E、F， （1）图中共有几对相等线段？ （2）若 AF=4，BD=6，CE=8，则△ABC 的周长是 ； PA B O第 9 页 共 10 页 （3）若 AB=9，BC=15，AC=12，则 AF= ，BD= ，CE= . 第 2 题图 2.如图，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B 两点，C 是 上任意一点，过 C 作⊙O 的切线，交 PA 及 PB 于 D、E 两点，已知∠P=50°， PA=PB=6cm，则∠ DOE= ，△PDE 的周长是 . B 层： 1、如图，过⊙O 外一点作⊙O 的切线 PA、PB，A、B 为切点，C 为 上一 点，设∠APB= . 求证：∠ACB= . 分析：本题主要运用切线的性质和圆周角定理及四边形的内角和进行解答. 2．如图，PA、PB 切⊙O 于 A、B，PO 交 AB 于 E，等式①AE=BE；②AO2=OE·OP； ③∠OAB= ∠APB；④PA=PB 中，成立的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 四、教学设计反思 注重学生在学习过程中的自主体验，自我发展.在作图活动中，尽量为学生 第1题 O F E D CB A AB AB α α 2 190 +° 2 1 A B PCO A B P D O E C B O A PE第 10 页 共 10 页 提供“做中学”，让学生在数学实践中感知，给学生留出了充分的活动时间和想 象空间，鼓励每位学生参与到动手、动口、动脑的活动和实践中来.将操作发现、 自主探索、合作交流，积极思考等学习方式贯穿到数学探究过程的始终，体现了 新课程倡导的自主、合作、探究的学习方式.不放过任何一个发展学生智力的契 机，让学生在“做”的过程中，借助已有的知识、方法和经历，主动探索新知识， 扩大认知结构，发展能力，从而使教学设计真正落实到学生的发展上. 通过分层作业的设置使全体学生巩固基础，对于学有余力的学生可以通过类 比的方法拓展提高加深对课上知识、数学思想、方法的巩固.