（2013•郴州）如图，△ABC 中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P 为 AC 边上一动点，设 PC=x，
作 PE∥AB 交 BC 于 E，PF∥BC 交 AB 于 F．
（1）证明：△PCE 是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH 分别是△PEC、△AFP、△ABC 的高，用含 x 和 k 的代数式表示 EM、
FN，并探究 EM、FN、BH 之间的数量关系；
（3）当 k=4 时，求四边形 PEBF 的面积 S 与 x 的函数关系式．x 为何值时，S 有最大值？
并求出 S 的最大值．
考点：等腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形．3718684
分析：（1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出
∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质求出 CM= CP，然后求出 EM，同理求出 FN、
BH 的长，再根据结果整理可得 EM+FN=BH；
（3）分别求出 EM、FN、BH，然后根据 S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据
S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到 S 与 x 的关系式，然后利用二次函数的最值问
题解答．
解答：（1）证明：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵PE∥AB，
∴∠CPE=∠A，
∴∠CPE=∠C，
∴△PCE 是等腰三角形；
（2）解：∵△PCE 是等腰三角形，EM⊥CP，
∴CM= CP= ，tanC=tanA=k，
∴EM=CM•tanC= •k= ，
同理：FN=AN•tanA= •k=4k﹣ ，
由于 BH=AH•tanA= ×8•k=4k，
而 EM+FN= +4k﹣ =4k，
∴EM+FN=BH；（3）解：当 k=4 时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，
所以，S△PCE= x•2x=x2，S△APF= （8﹣x）•（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=
×8×16=64，
S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，
=64﹣x2﹣（8﹣x）2，
=﹣2x2+16x，
配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，
所以，当 x=4 时，S 有最大值 32．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最
值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点．
（2013•郴州）如图，在直角梯形 AOCB 中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，
OC=3，以 O 为原点，OC、OA 所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为 A，且经过点
C．点 P 在线段 AO 上由 A 向点 O 运动，点 O 在线段 OC 上由 C 向点 O 运动，QD⊥OC 交
BC 于点 D，OD 所在直线与抛物线在第一象限交于点 E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 E′是 E 关于 y 轴的对称点，点 Q 运动到何处时，四边形 OEAE′是菱形？
（3）点 P、Q 分别以每秒 2 个单位和 3 个单位的速度同时出发，运动的时间为 t 秒，当 t 为
何值时，PB∥OD？
考点：二次函数综合题．3718684
分析：（1）根据顶点式将 A，C 代入解析式求出 a 的值，进而得出二次函数解析式；
（2）利用菱形的性质得出 AO 与 EE′互相垂直平分，利用 E 点纵坐标得出 x 的值，进
而得出 BC，EO 直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出 Q 点坐标，即可得出
答案；
（3）首先得出△APB∽△QDO，进而得出 = ，求出 m 的值，进而得出答案．
解答：解：（1）∵A（0，2）为抛物线的顶点，
∴设 y=ax2+2，
∵点 C（3，0），在抛物线上，
∴9a+2=0，
解得：a=﹣ ，
∴抛物线为；y=﹣ x2+2；
（2）如果四边形 OEAE′是菱形，则 AO 与 EE′互相垂直平分，∴EE′经过 AO 的中点，
∴点 E 纵坐标为 1，代入抛物线解析式得：
1=﹣ x2+2，
解得：x=± ，
∵点 E 在第一象限，
∴点 E 为（ ，1），
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，把 B（1，2），C（3，0），代入得：
，
解得： ，
∴BC 的解析式为：y=﹣x+3，
将 E 点代入 y=ax，可得出 EO 的解析式为：y= x，
由 ，
得： ，
∴Q 点坐标为：（ ，0），
∴当 Q 点坐标为（ ，0）时，四边形 OEAE′是菱形；
（3）法一：设 t 为 m 秒时，PB∥DO，又 QD∥y 轴，则有∠APB=∠AOE=∠ODQ，
又∵∠BAP=∠DQO，则有△APB∽△QDO，
∴ = ，
由题意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，
又∵点 D 在直线 y=﹣x+3 上，∴DQ=3m，
因此： = ，解得：m= ，
经检验：m= 是原分式方程的解，
∴当 t= 秒时，PB∥OD．
法二：作 BH⊥OC 于 H，则 BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC﹣OH=2，
∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，易知 DQ=CQ，
设 t 为 m 秒时 PB∥OE，则△ABP∽△QOD，
∴ = ，易知 AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3﹣3m，
∴ = ，
解得 m= ，经检验 m= 是方程的解，
∴当 t 为 秒时，PB∥OD．
点评：此题主要考查了菱形的判定与性质以及顶点式求二次函数解析式以及相似三角形的
判定与性质等知识，根据数形结合得出△APB∽△QDO 是解题关键．
（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过 A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是 x=﹣1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点 Q 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 OA 上运动，同时动点 M 从 M
从 O 点出发以每秒 3 个单位长度的速度在线段 OB 上运动，过点 Q 作 x 轴的垂线交线段 AB
于点 N，交抛物线于点 P，设运动的时间为 t 秒．
①当 t 为何值时，四边形 OMPQ 为矩形；
②△AON 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由．
考点：二次函数综合题
分析：（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）①当四边形 OMPQ 为矩形时，满足条件 OM=PQ，据此列一元二次方程求解；
②△AON 为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．
解答：解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，∵点 A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴ ，
解得：a=﹣1，k=4，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．
（2）①∵四边形 OMPQ 为矩形，
∴OM=PQ，即 3t=﹣（t+1）2+4，
整理得：t2+5t﹣3=0，
解得 t= ，由于 t= ＜0，故舍去，
∴当 t= 秒时，四边形 OMPQ 为矩形；
②Rt△AOB 中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．
若△AON 为等腰三角形，有三种情况：
（I）若 ON=AN，如答图 1 所示：
过点 N 作 ND⊥OA 于点 D，则 D 为 OA 中点，OD= OA= ，
∴t= ；
（II）若 ON=OA，如答图 2 所示：
过点 N 作 ND⊥OA 于点 D，设 AD=x，则 ND=AD•tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，
在 Rt△NOD 中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，
即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得 x1= ，x2=0（舍去），
∴x= ，OD=1﹣x= ，
∴t= ；
（III）若 OA=AN，如答图 3 所示：
过点 N 作 ND⊥OA 于点 D，设 AD=x，则 ND=AD•tanA=3x，
在 Rt△AND 中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，
即（x）2+（3x）2=12，解得 x1= ，x2=﹣ （舍去），∴OD=1﹣x=1﹣ ，
∴t=1﹣ ．
综上所述，当 t 为 秒、 秒，（1﹣ ）秒时，△AON 为等腰三角形．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直
角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难
度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行
分类讨论计算．
（2013，娄底）如图，在 中， ， ，高 ，矩形 的
一边 在 边上， 、 分别在 、 上， 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）设 ，当 为何值时，矩形 的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形 的面积最大时，该矩形 以每秒 1 个单位的速度 沿射线 匀速
向上运动（当矩形的边 到达 点时停止运动），设运动时间为 秒，矩形 与
重叠部分的面积为 ，求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围.
（2013•湘西州）如图，已知抛物线 y=﹣ x2+bx+4 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交
于点 C，若已知 A 点的坐标为 A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点 C 的坐标，连接 AC、BC 并求线段 BC 所在直线的解析式；
（3）试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使△ACQ 为等腰三角形？若不存在，求出符合条
件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
ABC△ °=∠ 45B 5=BC 4=AD EFPQ
QP BC E F AB AC AD EF H
BC
EF
AD
AH =
xEF = x EFPQ
EFPQ EFPQ DA
PQ A t EFPQ
ABC△ S S t t考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式 x= 求出对称
轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令 x=0，可求出点 C 坐标；令 y=0，可求出点 B 坐标．再
利用待定系数法求出直线 BD 的解析式；
（3）根据 ，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；
（4）本问为存在型问题．若△ACQ 为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类
讨论，逐一计算，避免漏解．
解答：解：（1）∵抛物线 y=﹣ x2+bx+4 的图象经过点 A（﹣2，0），
∴﹣ ×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，
解得：b= ，
∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x+4，
又∵y=﹣ x2+ x+4=﹣ （x﹣3）2+ ，
∴对称轴方程为：x=3．
（2）在 y=﹣ x2+ x+4 中，令 x=0，得 y=4，∴C（0，4）；
令 y=0，即﹣ x2+ x+4=0，整理得 x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8 或 x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0）．
设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，
把 B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：
，解得 k= ，b=4，
∴直线 BC 的解析式为：y= x+4．
（3）可判定△AOC∽△COB 成立．
理由如下：在△AOC 与△COB 中，
∵OA=2，OC=4，OB=8，
∴ ，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB．
（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，
可设点 Q（3，t），则可求得：
AC= = = ，
AQ= = ，
CQ= = ．
i）当 AQ=CQ 时，
有 = ，
25+t2=t2﹣8t+16+9，
解得 t=0，
∴Q1（3，0）；
ii）当 AC=AQ 时，
有 = ，
t2=﹣5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ 不能构成等腰三角形；
iii）当 AC=CQ 时，
有 = ，
整理得：t2﹣8t+5=0，
解得：t=4± ，
∴点 Q 坐标为：Q2（3，4+ ），Q3（3，4﹣ ）．
综上所述，存在点 Q，使△ACQ 为等腰三角形，点 Q 的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+
），Q3（3，4﹣ ）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定、勾
股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于第（4）问，符合条件的等腰三角形
△ACQ 可能有多种情形，需要分类讨论．
（2013•益阳）抛物线 y=2（x﹣3）2+1 的顶点坐标是（ ）
A
．
（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D
．
（﹣3，﹣1）
考点：二 次函数的 性质．
分析：根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解答：解：抛物线 y=2（x﹣3）2+1 的顶点坐标是（3，1）．
故选 A．
点评：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．
（2013•益阳）阅读材料：如图 1，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为 A（x1，
y1），B（x2，y2），AB 中点 P 的坐标为（xp，yp）．由 xp﹣x1=x2﹣xp，得 xp= ，同理
，所以 AB 的中点坐标为 ．由勾股定理得 AB2=
，所以 A、B 两点间的距离公式为
．
注：上述公式对 A、B 在平面直角坐标系中其它位置也成立．
解答下列问题：
如图 2，直线 l：y=2x+2 与抛物线 y=2x2 交于 A、B 两点，P 为 AB 的中点，过 P 作 x 轴的
垂线交抛物线于点 C．
（1）求 A、B 两点的坐标及 C 点的坐标；
（2）连结 AB、AC，求证△ABC 为直角三角形；
（3）将直线 l 平移到 C 点时得到直线 l′，求两直线 l 与 l′的距离．考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据 y=2x+2 与抛物线 y=2x2 交于 A、B 两点，直接联立求出交点坐标，进而得
出 C 点坐标即可；
（2）利用两点间距离公式得出 AB 的长，进而得出 PC=PA=PB，求出
∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°即可得出答案；
（3）点 C 作 CG⊥AB 于 G，过点 A 作 AH⊥PC 于 H，利用 A，C 点坐标得出 H 点坐
标，进而得出 CG=AH，求出即可．
解答：
（1）解：由 ，
解得： ， ．
则 A，B 两点的坐标分别为：A（ ，3﹣ ），B（ ，3+ ），
∵P 是 A，B 的中点，由中点坐标公式得 P 点坐标为（，3），
又∵PC⊥x 轴交抛物线于 C 点，将 x=代入 y=2x2 中得 y=，
∴C 点坐标为（，）．
（2）证明：由两点间距离公式得：
AB= =5，PC=|3﹣|=，
∴PC=PA=PB，
∴∠PAC=∠PCA，∠PBC=∠PCB，
∴∠PAC+∠PCB=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC 为直角三角形．
（3）解：过点 C 作 CG⊥AB 于 G，过点 A 作 AH⊥PC 于 H，
则 H 点的坐标为（，3﹣ ），∴S△PAC=AP•CG=PC•AH，
∴CG=AH=| ﹣|= ．
又直线 l 与 l′之间的距离等于点 C 到 l 的距离 CG，
∴直线 l 与 l′之间的距离为 ．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及两点之间距离公式和两函数交点坐标求法
等知识，根据数形结合得出 H 点坐标是解题关键．
（2013，永州）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 A、B
两点.
（1）写出 A、B 两点的坐标（坐标用 表示）
（2）若二次函数图象的顶点 P 在以 AB 为直径的圆上，求二次函数的解析式
（3）设以 AB 为直径的⊙M 与 轴交于 C、D 两点，求 CD 的长.
（2013•株洲）二次函数 y=2x2+mx+8 的图象如图所示，则 m 的值是（ ）
( )2 24 ( 0)y x m m m= − − > x
m
y
A B
C
D
O
P
M
( )24第 题图 A
．
﹣8 B．8 C．±8 D
．
6
考点：抛物线与 x 轴的交点．3718684
分析：根据抛物线与 x 轴只有一个交点，△=0，列式求出 m 的值，再根据对称轴在 y 轴的左
边求出 m 的取值范围，从而得解．
解答：解：由图可知，抛物线与 x 轴只有一个交点，
所以，△=m2﹣4×2×8=0，
解得 m=±8，
∵对称轴为直线 x=﹣ ＜0，
∴m＞0，
∴m 的值为 8．
故选 B．
点评：本题考查了二次函数图象与 x 轴的交点问题，本题易错点在于要根据对称轴确定出 m
是正数．
（2013•株洲）已知抛物线 C1 的顶点为 P（1，0），且过点（0， ）．将抛物线 C1 向下平移 h
个单位（h＞0）得到抛物线 C2．一条平行于 x 轴的直线与两条抛物线交于 A、B、C、D 四
点（如图），且点 A、C 关于 y 轴对称，直线 AB 与 x 轴的距离是 m2（m＞0）．[来
（1）求抛物线 C1 的解析式的一般形式；
（2）当 m=2 时，求 h 的值；
（3）若抛物线 C1 的对称轴与直线 AB 交于点 E，与抛物线 C2 交于点 F．求证：
tan∠EDF﹣tan∠ECP= ．考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）设抛物线 C1 的顶点式形式 y=a（x﹣1）2，（a≠0），然后把点（0， ）代入求出 a
的值，再化为一般形式即可；
（2）先根据 m 的值求出直线 AB 与 x 轴的距离，从而得到点 B、C 的纵坐标，然后
利用抛物线解析式求出点 C 的横坐标，再根据关于 y 轴对称的点的横坐标互为相反数，
纵坐标相同求出点 A 的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线 C2 的解析式，再把点 A
的坐标代入求出 h 的值即可；
（3）先把直线 AB 与 x 轴的距离是 m2 代入抛物线 C1 的解析式求出 C 的坐标，从而
求出 CE，再表示出点 A 的坐标，根据抛物线的对称性表示出 ED，根据平移的性质
设出抛物线 C2 的解析式，把点 A 的坐标代入求出 h 的值，然后表示出 EF，最后根据
锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．
解答：（1）解：设抛物线 C1 的顶点式形式 y=a（x﹣1）2，（a≠0），
∵抛物线过点（0， ），
∴a（0﹣1）2= ，
解得 a= ，
∴抛物线 C1 的解析式为 y= （x﹣1）2，
一般形式为 y= x2﹣ x+ ；
（2）解：当 m=2 时，m2=4，
∵BC∥x 轴，
∴点 B、C 的纵坐标为 4，∴ （x﹣1）2=4，
解得 x1=5，x2=﹣3，
∴点 B（﹣3，4），C（5，4），
∵点 A、C 关于 y 轴对称，
∴点 A 的坐标为（﹣5，4），
设抛物线 C2 的解析式为 y= （x﹣1）2﹣h，
则 （﹣5﹣1）2﹣h=4，
解得 h=5；
（3）证明：∵直线 AB 与 x 轴的距离是 m2，
∴点 B、C 的纵坐标为 m2，
∴ （x﹣1）2=m2，
解得 x1=1+2m，x2=1﹣2m，
∴点 C 的坐标为（1+2m，m2），
又∵抛物线 C1 的对称轴为直线 x=1，
∴CE=1+2m﹣1=2m，
∵点 A、C 关于 y 轴对称，
∴点 A 的坐标为（﹣1﹣2m，m2），
∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，
设抛物线 C2 的解析式为 y= （x﹣1）2﹣h，
则 （﹣1﹣2m﹣1）2﹣h=m2，
解得 h=2m+1，
∴EF=h+m2=m2+2m+1，
∴tan∠EDF﹣tan∠ECP= ﹣ = ﹣ = ﹣ = ，
∴tan∠EDF﹣tan∠ECP= ．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象
与结合变换，关于 y 轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的
定义，（3）用 m 表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．
（2013•巴中）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是
（ ） A
．
ac＞0
B．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小
C．b﹣2a=0
D
．
x=3 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根
考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．245761
分析：由函数图象可得抛物线开口向上，得到 a 大于 0，又抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半
轴，得到 c 小于 0，进而得到 a 与 c 异号，根据两数相乘积为负得到 ac 小于 0，选项 A
错误；
由抛物线开口向上，对称轴为直线 x=1，得到对称轴右边 y 随 x 的增大而增大，选项
B 错误；
由抛物线的对称轴为 x=1，利用对称轴公式得到 2a+b=0，选项 C 错误；
由抛物线与 x 轴的交点为（﹣1，0）及对称轴为 x=1，利用对称性得到抛物线与 x 轴
另一个交点为（3，0），进而得到方程 ax2+bx+c=0 的有一个根为 3，选项 D 正确．
解答：解：由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可得：抛物线开口向上，即 a＞0，
抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴，即 c＜0，
∴ac＜0，选项 A 错误；
由函数图象可得：当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，选项 B 错误；
∵对称轴为直线 x=1，∴﹣ =1，即 2a+b=0，选项 C 错误；
由图象可得抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣1，0），又对称轴为直线 x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（3，0），
则 x=3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根，选项 D 正确．
故选 D．
点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与 x 轴的交点，难度适中．二次
函数 y=ax2+bx+c=0（a≠0），a 的符合由抛物线的开口方向决定，c 的符合由抛物线与 y
轴交点的位置确定，b 的符号由 a 及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决
定，当抛物线开口向上时，对称轴左边 y 随 x 的增大而减小，对称轴右边 y 随 x 的增
大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边 y 随 x 的增大而增大，对称轴右边 y 随
x 的增大而减小．此外抛物线解析式中 y=0 得到一元二次方程的解即为抛物线与 x 轴
交点的横坐标． （2013•巴中）如图，在平面直 角坐标系中，坐标原点为 O，A 点坐标为（4，0），B 点坐
标为（﹣1，0），以 AB 的中点 P 为圆心，AB 为直径作⊙P 的正半轴交于点 C．
（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；
（2）设 M 为（1）中抛物线的顶点，求直线 MC 对应的函数解析式；
（3）试说明直线 MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论．
考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最
值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定．245761
专题：计算题．
分析：（1）求出半径，根据勾股定理求出 C 的坐标，设经过 A、B、C 三点抛物线解析式是
y=a（x﹣4）（x+1），把 C（0，2）代入求出 a 即可；
（2）求出 M 的坐标，设直线 MC 对应函数表达式是 y=kx+b，把 C（0，2），M（ ，
）代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出 PC、DC、PD 的平方，根据勾股定理的逆定
理得出∠PCD=90°，即可求出答案．
解答：解：（1）∵A（4，0），B（﹣1，0），
∴AB=5，半径是 PC=PB=PA= ，
∴OP= ﹣1= ，
在△CPO 中，由勾股定理得：OC= =2，
∴C（0，2），
设经过 A、B、C 三点抛物线解析式是 y=a（x﹣4）（x+1），
把 C（0，2）代入得：2=a（0﹣4）（0+1），
∴a=﹣ ，
∴y=﹣ （x﹣4）（x+1）=﹣ x2+ x+2，
答：经过 A、B、C 三点抛物线解析式是 y=﹣ x2+ x+2．（2）y=﹣ x2+ x+2=﹣ + ，
M（ ， ），
设直线 MC 对应函数表达式是 y=kx+b，
把 C（0，2），M（ ， ）代入得： ，
解得：k= ，b=2，
∴y= x+2，
y= x+2．
答：直线 MC 对应函数表达式是 y= x+2．
（3）MC 与⊙P 的位置关系是相切．
证明：设直线 MC 交 x 轴于 D，
当 y=0 时，0= x+2，
∴x=﹣ ，OD= ，
∴D（﹣ ，0），
在△COD 中，由勾股定理得：CD2=22+ = = ，
PC2= = = ，
PD2= = ，
∴CD2+PC2=PD2，
∴∠PCD=90°，
∴PC⊥DC，
∵PC 为半径，
∴MC 与⊙P 的位置关系是相切．本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理
的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，
能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
（2013，成都）平面直角坐标系 中，直线 （ 为常数）与抛物线
交于 ， 两点，且 点在 轴左侧， 点的坐标为 ，连接 .有以下说法：
○1 ；○2 当 时， 的值随 的增大而增大；○3 当
时， ；○4 面积的最小值为 .其中正确的是_______.
（写出所有正确说法的序号）③④
（2013，成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线 （ 为常数）的顶
点为 ，等腰直角三角形 的定点 的坐标为 ， 的坐标为 ，直角顶点
在第四象限.
（1）如图，若该抛物线过 ， 两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点 在直线 上滑动，且与 交于另一点 .
i）若点 在直线 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以
三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点 的坐标；
ii ） 取
的中点 ，连接 .试探究 是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若
不存在，请说明理由.
xOy y kx= k 21 23y x= −
A B A y P (0, 4)− ,PA PB
2PO PA PB= ⋅ 0k > ( )( )PA AO PB BO+ − k
3
3k = − 2BP BO BA= ⋅ PAB∆ 4 6
21
2y x bx c= − + + ,b c
P ABC A (0, 1)− C (4,3) B
A B
P AC AC Q
M AC M P Q、 、
M
BC
N ,NP BQ PQ
NP BQ+（1）
（2）M 的坐标是（1- ，- -2）、（1+ ， -2）、（4，-1）、（2，-3）、（-2，-7）
（3） 的最大值是
（2013•达州）二次函数 的图象如图所示，反比例函数 与一次函数
在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
答案：B
解析：由二次函数图象，知 a＜0，c＞0， ＞0，所以，b＞0，
所以，反比例函数图象在一、三象限，排除 C、D，直线 y＝cx＋a 中，因为 a＜0，所以，
选 B。
（2013•达州）如图，在直角体系中，直线 AB 交 x 轴于点 A（5，0），交 y 轴于点 B，AO 是⊙
M 的直径，其半圆交 AB 于点 C，且 AC=3。取 BO 的中点 D，连接 CD、MD 和 OC。
（1）求证：CD 是⊙M 的切线；
（2）二次函数的图象经过点 D、M、A，其对称轴上有一动点 P，连接 PD、PM，求△PDM
的周长最小时点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△PDM 的周长最小时，抛物线上是否存在点 Q，使
？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
122
1 2 −+−= xxy
5 5 5 5
PQ
NP BQ+ 5
10
2y ax bx c= + + by x
=
y cx a= +
2
b
a
−
1
6QAM PDMS S=
解析：（1）证明：连结 CM.
∵OA 为⊙M 直径,
∴∠OCA=90°.
∴∠OCB=90°.
∵D 为 OB 中点,
∴DC=DO.
∴∠DCO=∠DOC.………………………(1 分）
∵MO=MC,
∴∠MCO=∠MOC.………………………(2 分）
∴∠DCM=∠DCO+∠MCO=∠DOC+∠MOC=∠DOM=90°.………………………(3 分）
又∵点 C 在⊙M 上，
∴DC 是⊙M 的切线.………………………(4 分）
（2）解：在 Rt△ACO 中,有 OC= .
又∵A 点坐标（5，0）, AC=3,
∴OC= =4.
∴tan∠OAC= .
∴ .解得 OB= .
又∵D 为 OB 中点，∴OD= .
D 点坐标为（0， ).………………………(5 分）
连接 AD，设直线 AD 的解析式为 y=kx+b,则有
j 解得
∴直线 AD 为 y=- x+ .
∵二次函数的图象过 M（ ,0)、A(5,0)，
∴抛物线对称轴 x= .………………………(6 分）
∵点 M、A 关于直线 x= 对称，设直线 AD 与直线 x= 交于点 P,
∴PD+PM 为最小.
又∵DM 为定长，
∴满足条件的点 P 为直线 AD 与直线 x= 的交点.………………………(7 分）
22 ACOA −
22 35 −
OA
OB
AC
OC =
53
4 OB=
3
20
3
10
3
10
=+
=
.05
,3
10
bk
b
−=
=
.3
2
,3
10
k
b
3
2
3
10
2
5
4
15
4
15
4
15
4
15当 x= 时,y=- + = .
故 P 点的坐标为（ ， ）.………………………(8 分）
（3）解：存在.
∵S△PDM=S△DAM-S△PAM
= AM·yD- AM·yP
= AM(yD-yp).
S△QAM= AM· ,由（2）知 D（0， ),P( ， ）,
∴ ×（ - ）=yQ 解得 yQ=± ………………………(9 分）
∵二次函数的图像过 M(0， )、A(5，0），
∴设二次函数解析式为 y=a(x- )（x-5).
又∵该图象过点 D（0， )，
a×(- ）×(-5)= ，a= .
∴y= (x- )(x-5).………………………(10 分）
又∵C 点在抛物线上，且 yQ=± ，
∴ (x- )(x-5)=± .
解之，得 x1= ，x2= ，x3= .
∴点 Q 的坐标为（ ， )，或（ ， )，或（ ，- ）.…………(12 分）
（2013•德州）下列函数中，当 x>0 时， 随 的增大而增大的是
A． B． C． D．
（2013•德州）函数 与 的图象如图所示，有以下结论：
① ；② ；③ ；
④当 时， ；
y x
1y x= − + 2 1y x= − 1y x
= 2 1y x= − +
2y x bx c= + + y x=
2 4 0b c− > 1 0b c+ + = 3 6 0b c+ + =
1 3x< < 2 ( 1) 0x b x c+ − + <
4
15
3
2 ×
4
15
3
10
6
5
4
15
6
5
2
1
2
1
2
1
2
1
Qy 3
10
4
15
6
5
6
1
3
10
6
5
12
5
2
5
2
5
3
10
2
5
3
10
15
4
15
4
2
5
12
5
15
4
2
5
12
5
4
2515+
4
2515−
4
15
4
2515+
12
5
4
2515−
12
5
4
15
12
5
x1
y
1
3
3
O其中正确的个数是：（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
（2013•德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点 ， OA=1，
tan∠BAO=3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90°，得到△DOC．抛物线
经过点 A、B、C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 t．
①设抛物线对称轴 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当△CEF 与△COD 相似时
点 P 的坐标．
②是否存在一点 P，使△PCD 的面积最 大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，
请说明理由．
2y ax bx c= + +
l
第 11 题图
第 24 题备用图
x
y
C O
D
A
B
第 24 题图
x
y
C O
D
A
B
E（2013•广安）已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1．下列结论：
①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O
其中正确的是（ ）
A
．
①③ B．只有② C．②④ D
．
③④
考点：二次函数图象与系数的关系．3718684
分析：由抛物线开口向下，得到 a 小于 0，再由对称轴在 y 轴右侧，得到 a 与 b 异号，可得
出 b 大于 0，又抛物线与 y 轴交于正半轴，得到 c 大于 0，可得出 abc 小于 0，选项①
错误；由抛物线与 x 轴有 2 个交点，得到根的判别式 b2﹣4ac 大于 0，选项②错误；
由 x=﹣2 时对应的函数值小于 0，将 x=﹣2 代入抛物线解析式可得出 4a﹣2b+c 小于 0，
最后由对称轴为直线 x=1，利用对称轴公式得到 b=﹣2a，得到选项④正确，即可得
到正确结论的序号．
解答：解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵﹣ ＞0，∴b＜0，
∵抛物线与 y 轴交于正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，①错误；
∵对称轴为直线 x=1，∴﹣ =1，即 2a+b=0，②正确，
∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误；
∵对称轴为直线 x=1，
∴x=2 与 x=0 时的函数值相等，而 x=0 时对应的函数值为正数，
∴4a+2b+c＞0，④正确；
则其中正确的有②④．
故选 C．
点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），a 的符号由抛
物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及 a 的符号决定；c 的符号由抛物线与 y
轴交点的位置决定；抛物线与 x 轴的交点个数，决定了 b2﹣4ac 的符号，此外还要注
意 x=1，﹣1，2 及﹣2 对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．
（2013•广安）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、C 三点，
已知点 A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点，（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，
垂足为 F，交直线 AB 于点 E，作 PD⊥AB 于点 D．①动点 P 在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时 P 点的坐标；
②连接 PA，以 AP 为边作图示一侧的正方形 APMN，随着点 P 的运动，正方形的大小、位
置也随之改变．当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的 P 点的坐标．（结
果保留根号）
考点：二次函数综合题．3718684
专题：代数几何综合题．
分析：（1）把点 A、B、C 的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解
答即可；
（2）①根据点 A、B 的坐标求出 OA=OB，从而得到△AOB 是等腰直角三角形，根
据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED 是等腰直角三角形，根据
等腰直角三角形的性质，PD 越大，△PDE 的周长最大，再判断出当与直线 AB 平行
的直线与抛物线只有一个交点时，PD 最大，再求出直线 AB 的解析式为 y=x+3，设
与 AB 平行的直线解析式为 y=x+m，与抛物线解析式联立消掉 y，得到关于 x 的一元
二次方程，利用根的判别式△=0 列式求出 m 的值，再求出 x、y 的值，从而得到点 P
的坐标；
②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点 M 在对称轴上时，过点 P 作 PQ⊥对称轴
于 Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF 和△MPQ
全等，根据全等三角形对应边相等可得 PF=PQ，设点 P 的横坐标为 n，表示出 PQ 的
长，即 PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点 N 在对称轴上时，同理求
出△APF 和△ANQ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 PF=AQ，根据点 A 的坐标
求出点 P 的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点 P 的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），
∴ ，
解得 ，
所以，抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3；
（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，
∵PF⊥x 轴，
∴∠AEF=90°﹣45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE 是等腰直角三角形，
∴PD 越大，△PDE 的周长越大，
易得直线 AB 的解析式为 y=x+3，
设与 AB 平行的直线解析式为 y=x+m，
联立 ，
消掉 y 得，x2+3x+m﹣3=0，
当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，
即 m= 时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长，
此时 x=﹣ ，y=﹣ + = ，
∴点 P（﹣ ， ）时，△PDE 的周长最大；
②抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 的对称轴为直线 x=﹣ =﹣1，
（i）如图 1，点 M 在对称轴上时，过点 P 作 PQ⊥对称轴于 Q，
在正方形 APMN 中，AP=PM，∠APM=90°，
∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，
∴∠APF=∠QPM，
∵在△APF 和△MPQ 中，
，
∴△APF≌△MPQ（AAS），
∴PF=PQ，
设点 P 的横坐标为 n（n＜0），则 PQ=﹣1﹣n，
即 PF=﹣1﹣n，
∴点 P 的坐标为（n，﹣1﹣n），∵点 P 在抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 上，
∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，
整理得，n2+n﹣4=0，
解得 n1= （舍去），n2= ，
﹣1﹣n=﹣1﹣ = ，
所以，点 P 的坐标为（ ， ）；
（ii）如图 2，点 N 在对称轴上时，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 Q，
∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，
∴∠FPA=∠QAN，
又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，
∴△APF≌△NAQ，
∴PF=AQ，
设点 P 坐标为 P（x，﹣x2﹣2x+3），
则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，
解得 x= ﹣1（不合题意，舍去）或 x=﹣ ﹣1，
此时点 P 坐标为（﹣ ﹣1，2）．
综上所述，当顶点 M 恰好落在抛物线对称轴上时，点 P 坐标为（ ，
），当顶点 N 恰好落在抛物线对称轴上时，点 P 的坐标为（﹣ ﹣1，
2）．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角
形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，
（2）确定出△PDE 是等腰直角三角形，从而判断出点 P 为平行于 AB 的直线与抛物
线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3）根据全等三角形的性质用点 P 的横坐
标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键．
（2013 凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数 y=﹣x2+2x+3 的图象
向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形
状不变）．解：在抛物线 y=﹣x2+2x+3 图象上任取两点 A（0，3）、B（1，4），由题意知：点 A 向左平
移 1 个单位得到 A′（﹣1，3），再向下平移 2 个单位得到 A″（﹣1，1）；点 B 向左平移 1 个
单位得到 B′（0，4），再向下平移 2 个单位得到 B″（0，2）．
设平移后的抛物线的解析式为 y=﹣x2+bx+c．则点 A″（﹣1，1），B″（0，2）在抛物线
上．可得： ，解得： ．所以平移后的抛物线的解析式为：y=﹣x2+2．
根据以上信息解答下列问题：将直线 y=2x﹣3 向右平移 3 个单位，再向上平移 1 个单位，
求平移后的直线的解析式．
考点：二次函数图象与几何变换；一次函数图象与几何变换．
专题：阅读型．
分析：根据上面例题可在直线 y=2x﹣3 上任取两点 A（0，﹣3），由题意算出 A 向右平移 3
个单位，再向上平移 1 个单位得到 A′点坐标，再设平移后的解析式为 y=2x+b，再把 A′点坐
标代入解析式即可．
解答：解：在直线 y=2x﹣3 上任取两点 A（0，﹣3），由题意知 A 向右平移 3 个单位，再向
上平移 1 个单位得到 A′（3，﹣2），
设平移后的解析式为 y=2x+b，
则 A′（3，﹣2）在 y=2x+b 的解析式上，
﹣2=2×3+b，
解得：b=﹣8，
所以平移后的直线的解析式为 y=2x﹣8．
点评：此题主要考查了一次函数图象的几何变换，关键是掌握一次函数图象平移后 k 值不变
（2013 凉山州）如图，抛物线 y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交 x 轴于 A、B 两点，A 点坐标为（3，
0），与 y 轴交于点 C（0，4），以 OC、OA 为边作矩形 OADC 交抛物线于点 G．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴 l 在边 OA（不包括 O、A 两点）上平行移动，分别交 x 轴于点 E，交
CD 于点 F，交 AC 于点 M，交抛物线于点 P，若点 M 的横坐标为 m，请用含 m 的代数式表
示 PM 的长；
（3）在（2）的条件下，连结 PC，则在 CD 上方的抛物线部分是否存在这样的点 P，使得
以 P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似？若存在，求出此时 m 的值，并直接判断△PCM
的形状；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）将 A（3，0），C（0，4）代入 y=ax2﹣2ax+c，运用待定系数法即可求出抛物线
的解析式；（2）先根据 A、C 的坐标，用待定系数法求出直线 AC 的解析式，进而根据抛物线和直线 AC
的解析式分别表示出点 P、点 M 的坐标，即可得到 PM 的长；
（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和 E 对应，则若以 P、C、F 为顶点的三角形和△AEM
相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含 m 的代
数式表示出 AE、EM、CF、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出 m
的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．
解答：解：（1）∵抛物线 y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点 A（3，0），点 C（0，4），
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 y=﹣ x2+ x+4；
（2）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
∵A（3，0），点 C（0，4），
∴ ，解得 ，
∴直线 AC 的解析式为 y=﹣ x+4．
∵点 M 的横坐标为 m，点 M 在 AC 上，
∴M 点的坐标为（m，﹣ m+4），
∵点 P 的横坐标为 m，点 P 在抛物线 y=﹣ x2+ x+4 上，
∴点 P 的坐标为（m，﹣ m2+ m+4），
∴PM=PE﹣ME=（﹣ m2+ m+4）﹣（﹣ m+4）=﹣ m2+4m，
即 PM=﹣ m2+4m（0＜m＜3）；
（3）在（2）的条件下，连结 PC，在 CD 上方的抛物线部分存在这样的点 P，使得以 P、
C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得 AE=3﹣m，EM=﹣ m+4，
CF=m，PF=﹣ m2+ m+4﹣4=﹣ m2+ m．
若以 P、C、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则 PF：
AE=FC：EM，
即（﹣ m2+ m）：（3﹣m）=m：（﹣ m+4），
∵m≠0 且 m≠3，
∴m= ．
∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°，
∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，
∴△PCM 为直角三角形；
②若△CFP∽△AEM，则 CF：AE=PF：EM，
即 m：（3﹣m）=（﹣ m2+ m）：（﹣ m+4），
∵m≠0 且 m≠3，
∴m=1．
∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，
∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．
∴CP=CM，
∴△PCM 为等腰三角形．
综上所述，存在这样的点 P 使△PFC 与△AEM 相似．此时 m 的值为 或 1，△PCM 为直角
三角形或等腰三角形．
点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析
式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适
中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
（2013•泸州）如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，
已知抛物线 经过三点 A、B、O(O 为原点).
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点 C，使 的周长最小。若存在，求出点 C 的
坐标。若不存在，请说明理由；
（3）如果点 P 是该抛物线上 轴上方的一个动点，那么 是否有最大面积。若有，求
出此时 P 点的坐标及 的最大面积；若没有，请说明理由。（注意：本题中的结果均保
留根号）。
2−（ ，0） 1 3−（， ）
2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠
BOC∆
x PAB∆
PAB∆
y
x
OA
B（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 在 x 轴上，点 C、D 在 y 轴上，且
OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过 A、B、C 三点，直线 AD 与抛物线交
于另一点 M。
⑴求这条抛物线的解析式；
⑵P 为抛物线上一动点，E 为直线 AD 上一动点，是否存在点 P， 使以点 A、P、E 为顶点的
三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。
⑶请直接写出将该抛物线沿射线 AD 方向平移 个单位后得到的抛物线的解析式。
（2013•绵阳）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a+b＞0；②b＞a＞
c ； ③ 若 -1 ＜ m ＜ n ＜ 1 ， 则 m+n ＜ ； ④ 3|a|+|c| ＜ 2|b| 。 其 中 正 确 的 结 论 是
（写出你认为正确的所有结论序号）。
（2013•绵阳）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点 C 的坐标为（0，-2），交 x 轴于 A、
B 两点，其中 A（-1，0），直线 l：x=m（m＞1）与 x 轴交于 D。
（1）求二次函数的解析式和 B 的坐标；
（2）在直线 l 上找点 P（P 在第一象限），使得以 P、D、B 为顶点的三角形与以 B、C、O 为
顶点的三角形相似，求点 P 的坐标（用含 m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点 Q，使△BPQ 是以 P 为直
角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由。
2
b
a
−
B
C
M
x
y
AO
D
O
x
y
1-1
18 题图A B
C
DO
x
y
l（2013•内江）若抛物线 y=x2﹣2x+c 与 y 轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A
．
抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是 x=1
C．当 x=1 时，y 的最大值为﹣4 D
．
抛物线与 x 轴的交点为（﹣1，0），（3，
0）
考点：二次函数的性质．
分析：A 根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向．
B 利用 x=﹣ 可以求出抛物线的对称轴．
C 利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值．
D 当 y=0 时求出抛物线与 x 轴的交点坐标．
解答：解：∵抛物线过点（0，﹣3），
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
A、抛物线的二次项系数为 1＞0，抛物线的开口向上，正确．
B、根据抛物线的对称轴 x=﹣ =﹣ =1，正确．
C、由 A 知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当 x=1 时，y 的最小值为﹣4，而
不是最大值．故本选项错误．
D、当 y=0 时，有 x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，抛物线与 x 轴的交点坐标为
（﹣1，0），（3，0）．正确．
故选 C．
点评：本题考查的是二次函数的性质，根据 a 的正负确定抛物线的开口方向，利用顶点坐标
公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当 y=0 时求出
抛物线与 x 轴的交点坐标．
（2013•内江）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与 x 轴交于 A（x1，0）、B（x2，0）
（x1＜x2）两点，与 y 轴交于点 C，x1，x2 是方程 x2+4x﹣5=0 的两根．
（1）若抛物线的顶点为 D，求 S△ABC：S△ACD 的值；
（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）首先解一元二次方程，求出点 A、点 B 的坐标，得到含有字母 a 的抛物线的交
点式；然后分别用含字母 a 的代数式表示出△ABC 与△ACD 的面积，最后得出结论；（2）在 Rt△ACD 中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数 a，得出抛
物线的解析式．
解答：解：（1）解方程 x2+4x﹣5=0，得 x=﹣5 或 x=1，
由于 x1＜x2，则有 x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．
抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），
∴对称轴为直线 x=2，顶点 D 的坐标为（﹣2，﹣9a），
令 x=0，得 y=﹣5a，
∴C 点的坐标为（0，﹣5a）．
依题意画出图形，如右图所示，则 OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，
过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E，则 DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．
S△ACD=S 梯形 ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC
=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC
=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a
=15a，
而 S△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，
∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1；
（2）如解答图所示，
在 Rt△DCE 中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，
在 Rt△AOC 中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，
设对称轴 x=2 与 x 轴交于点 F，则 AF=3，
在 Rt△ADF 中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．
∵∠ADC=90°，∴△ACD 为直角三角形，
由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，
∵a＞0，
∴a= ，
∴抛物线的解析式为：y= （x+5）（x﹣1）= x2+ x﹣ ．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真，
避免出错．注意第（1）问中求△ACD 面积的方法．
（2013•遂宁）如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0），交 y 轴于点 B
（0，）．直线 y=kx 过点 A 与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点是 D．
（1）求抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y=kx 的解析式；
（2）设点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与点 A、D 重合），过点 P 作 y 轴的平
行线，交直线 AD 于点 M，作 DE⊥y 轴于点 E．探究：是否存在这样的点 P，使四边形 PMEC
是平行四边形？若存在请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作 PN⊥AD 于点 N，设△PMN 的周长为 l，点 P 的横坐标为 x，求
l 与 x 的函数关系式，并求出 l 的最大值．
考
点：
二次函数综合题．
分
析：
（1）将 A，B 两点分别代入 y= x2+bx+c 进而求出解析式即可；
（2）首先假设出 P，M 点的坐标，进而得出 PM 的长，将两函数联立得出 D 点坐标，
进而得出 CE 的长，利用平行四边形的性质得出 PM=CE，得出等式方程求出即可；
（3）利用勾股定理得出 DC 的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，
求出 l 与 x 的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．
解
答：
解：（1）∵y= x2+bx+c 经过点 A（2，0）和 B（0，）
∴由此得 ，
解得 ．
∴抛物线的解析式是 y= x2﹣x+，
∵直线 y=kx﹣经过点 A（2，0）∴2k﹣=0，
解得：k=，
∴直线的解析式是 y=x﹣，
（2）设 P 的坐标是（x， x2﹣x+），则 M 的坐标是（x， x﹣）
∴PM=（ x2﹣x+）﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，
解方程 得： ， ，
∵点 D 在第三象限，则点 D 的坐标是（﹣8，﹣7），由 y=x﹣得点 C 的坐标是（0，﹣），
∴CE=﹣﹣（﹣7）=6，
由于 PM∥y 轴，要使四边形 PMEC 是平行四边形，必有 PM=CE，即﹣x2﹣x+=6
解这个方程得：x1=﹣2，x2=﹣4，
符合﹣8＜x＜2，
当 x=﹣2 时，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3，
当 x=﹣4 时，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=，
因此，直线 AD 上方的抛物线上存在这样的点 P，使四边形 PMEC 是平行四边形，点 P
的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）；
（3）在 Rt△CDE 中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=
∴△CDE 的周长是 24，
∵PM∥y 轴，
∵∠PMN=∠DCE，
∵∠PNM=∠DEC，
∴△PMN∽△CDE，
∴ = ，即 = ，
化简整理得：l 与 x 的函数关系式是：l=﹣x2﹣ x+ ，
l=﹣x2﹣ x+ =﹣（x+3）2+15，
∵﹣＜0，
∴l 有最大值，
当 x=﹣3 时，l 的最大值是 15．
（2013•雅安）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 与反比例函
数 y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） A
．
B． C． D
．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：根据二次函数图象开口向上得到 a＞0，再根据对称轴确定出 b，根据与 y 轴的交
点确定出 c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得
解．
解答：解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线 x=﹣ ＞0，
∴b＜0，
∵与 y 轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b 的图象经过第一三象限，且与 y 轴的负半轴相交，
反比例函数 y=图象在第一三象限，
只有 B 选项图象符合．
故选 B．
点评：本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二
次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与 y 轴的交点坐标等确定出 a、b、c 的
情况是解题的关键．
点
评：
此题主要考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交点求
法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出 PM=CE 进而得出等式是解题关键．
（2013•雅安）将抛物线 y=（x﹣1）2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛
物线的解析式为（ ） A
．
y=（x﹣2）2 B．y=（x﹣2）2+6 C．y=x2+6 D
．
y=x2
考点：二次函数图象与几何变换．
分析：根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
解答：解：将抛物线 y=（x﹣1）2+3 向左平移 1 个单位所得直线解析式为：y=（x﹣1+1）
2+3，即 y=x2+3；
再向下平移 3 个单位为：y=x2+3﹣3，即 y=x2．
故选 D．
点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关
键．
（2013•雅安）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三
点，其顶点为 D，对称轴是直线 l，l 与 x 轴交于点 H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；
（3）如图（2），若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A、D 不重合），过 E 点作平行于 y
轴的直线交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m，△ADF 的面积为 S．
①求 S 与 m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点 E 的坐标； 若不存在，请说明理
由．
考点：二次函数综合题．
专题：综合题．
分析：（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）根据 BC 是定值，得到当 PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求
得相应线段的长即可；
（3）设点 E 的横坐标为 m，表示出 E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表
示出 EF 的长，从而表示出 S 于 m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可．
解答：
解：（1）由题意可知：解得：
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC
∵BC 是定值，
∴当 PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，
∵点 A、点 B 关于对称轴 I 对称，
∴连接 AC 交 l 于点 P，即点 P 为所求的点
∵AP=BP
∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC
∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴AC=3 ，BC= ；
（3）①∵抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 顶点 D 的坐标为（﹣1，4）
∵A（﹣3，0）
∴直线 AD 的解析式为 y=2x+6
∵点 E 的横坐标为 m，
∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）
∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）
=﹣m2﹣4m﹣3
∴S=S△DEF+S△AEF
=EF•GH+EF•AC
=EF•AH
=（﹣m2﹣4m﹣3）×2
=﹣m2﹣4m﹣3；
②S=﹣m2﹣4m﹣3
=﹣（m+2）2+1；
∴当 m=﹣2 时，S 最大，最大值为 1
此时点 E 的坐标为（﹣2，2）．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表
示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．
（2013 宜宾）对于实数 a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab﹣2，有下列命题：
①1⊗3=2；
②方程 x⊗1=0 的根为：x1=﹣2，x2=1；
③不等式组 的解集为：﹣1＜x＜4；
④点（ ， ）在函数 y=x⊗（﹣1）的图象上．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③C．①②③ D．③④
考点：二次函数图象上点的坐标特征；有理数的混合运算；解一元二次方程-因式分解法；
解一元一次不等式组；命题与定理．
专题：新定义．
分析：根据新定义得到 1⊗3=12+1×3﹣2=2，则可对①进行判断；根据新定义由 x⊗1=0 得
到 x2+x﹣2=0，然后解方程可对②进行判断；根据新定义得 ，解得﹣1＜x＜
4，可对③进行判断；
根据新定义得 y=x⊗（﹣1）=x2﹣x﹣2，然后把 x= 代入计算得到对应的函数值，则可对④
进行判断．
解答：解：1⊗3=12+1×3﹣2=2，所以①正确；
∵x⊗1=0，
∴x2+x﹣2=0，
∴x1=﹣2，x2=1，所以②正确；
∵（﹣2）⊗x﹣4=4﹣2x﹣2﹣4=﹣2x﹣2，1⊗x﹣3=1+x﹣2﹣3=x﹣4，
∴ ，解得﹣1＜x＜4，所以③正确；
∵y=x⊗（﹣1）=x2﹣x﹣2，
∴当 x= 时，y= ﹣ ﹣2=﹣ ，所以④错误．
故选 C．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的
解析式．也考查了阅读理解能力、解一元二次方程以及解一元一次不等式组．
（2013 宜宾）如图，抛物线 y1=x2﹣1 交 x 轴的正半轴于点 A，交 y 轴于点 B，将此抛物线
向右平移 4 个单位得抛物线 y2，两条抛物线相交于点 C．
（1）请直接写出抛物线 y2 的解析式；
（2）若点 P 是 x 轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的 P 点坐标；
（3）在第四象限内抛物线 y2 上，是否存在点 Q，使得△QOC 中 OC 边上的高 h 有最大值？
若存在，请求出点 Q 的坐标及 h 的最大值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可；
（2）根据抛物线解析式求出点 A、B 的坐标，然后求出∠OBA=45°，再联立两抛物线解析
式求出交点 C 的坐标，再根据∠CPA=∠OBA 分点 P 在点 A 的左边和右边两种情况求解；
（3）先求出直线 OC 的解析式为 y= x，设与 OC 平行的直线 y= x+b，与抛物线 y2 联立消
掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，再根据与 OC 的距离最大时方程有且只有一个根，然后利
用根的判别式△=0 列式求出 b 的值，从而得到直线的解析式，再求出与 x 轴的交点 E 的坐
标，得到 OE 的长度，再过点 C 作 CD⊥x 轴于 D，然后根据∠COD 的正弦值求解即可得到 h
的值．
解答：解：（1）抛物线 y1=x2﹣1 向右平移 4 个单位的顶点坐标为（4，﹣1），
所以，抛物线 y2 的解析式为 y2=（x﹣4）2﹣1；
（2）x=0 时，y=﹣1，
y=0 时，x2﹣1=0，解得 x1=1，x2=﹣1，
所以，点 A（1，0），B（0，﹣1），
∴∠OBA=45°，
联立 ，
解得 ，
∴点 C 的坐标为（2，3），
∵∠CPA=∠OBA，
∴点 P 在点 A 的左边时，坐标为（﹣1，0），
在点 A 的右边时，坐标为（5，0），
所以，点 P 的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（3）存在．
∵点 C（2，3），
∴直线 OC 的解析式为 y= x，
设与 OC 平行的直线 y= x+b，联立 ，
消掉 y 得，2x2﹣19x+30﹣2b=0，
当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC 中 OC 边上的高 h 有最大值，
此时 x1=x2= ×（﹣ ）= ，
此时 y=（ ﹣4）2﹣1=﹣ ，
∴存在第四象限的点 Q（ ，﹣ ），使得△QOC 中 OC 边上的高 h 有最大值，
此时△=192﹣4×2×（30﹣2b）=0，
解得 b=﹣ ，
∴过点 Q 与 OC 平行的直线解析式为 y= x﹣ ，
令 y=0，则 x﹣ =0，解得 x= ，
设直线与 x 轴的交点为 E，则 E（ ，0），
过点 C 作 CD⊥x 轴于 D，根据勾股定理，OC= = ，
则 sin∠COD= = ，
解得 h 最大= × = ．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式，联立两函
数解析式求交点坐标，等腰三角形的判定与性质，（3）判断出与 OC 平行的直线与抛物线只
有一个交点时 OC 边上的高 h 最大是解题的关键，也是本题的难点．
（2013•资阳）如图 2，抛物线 过点（1，0）和点（0，-2），且顶点在
第三象限，设 P= ，则 P 的取值范围是 A
A．-4＜P＜0 B．-4＜P＜-2
C．-2＜P＜0 D．-1＜P＜0
2 + ( 0)y ax bx c a= + ≠
a b c− +
图 2（2013•资阳）在关于 x、y 的二元一次方程组 中.
（1）若 a =3，求方程组的解；（4 分）
（2）若 ，当 a 为何值时， 有最值；（4 分）
.（1） ， ····························································································································4 分
（2） 易求 ，········································································································5 分
则 ，·····························································································································6 分
∴ ， ·······································································································7 分
∴当 时， 有最小值. 8 分
（2013•资阳）在一个边长为 a（单位：cm）的正方形 ABCD 中，点 E、M 分别是线段 AC、
CD 上的动点，连结 DE 并延长交正方形的边于点 F，过点 M 作 MN⊥DF 于 H，交 AD 于 N.
（1）如图 8-1，当点 M 与点 C 重合，求证：DF=MN；（4 分）
（2）如图 8-2，假设点 M 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿 CD 向点 D 运动，点 E 同时
从点 A 出发，以 cm/s 速度沿 AC 向点 C 运动，运动时间为 t（t＞0）：
① 判断命题“当点 F 是边 AB 中点时，则点 M 是边 CD 的三等分点”的真假，并说明理由.
（4 分）
② 连结 FM、FN，△MNF 能否为等腰三角形？若能，请写出 a、t 之间的关系；若不能，
请说明理由. （3 分）
（ 2013• 资 阳 ） 如图 9 ，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A 、C 、D 作抛物线
，与 x 轴的另一交点为 E，连结 CE，点 A、B、D 的坐标分别为（-2，0）、
（3，0）、（0，4）.
（1）求抛物线的解析式；（3 分）
（2）已知抛物线的对称轴 l 交 x 轴于点 F，交线段 CD 于点 K，点 M、N 分别是直线 l
和 x 轴上的动点，连结 MN，当线段 MN 恰好被 BC 垂直平分时，求点 N 的坐标；（4 分）
（3）在满足（2）的条件下，过点 M 作一条直线，使之将四边 形 AECD 的面积分为 3∶
2
2 1
x y a
x y
+ =
− =
(3 )S a x y= + S
1
1
x
y
=
=
3 1x y a+ = +
2S a a= +
2 21 1( )2 4S a a a= + = + −
1
2a = − S
2
2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠
图 9图 8-1 图 8-24 的两部分，求出该直线的解析式. （5 分）
（1） 易证△ADF≌△MDN，则 DF=MN；··················································································4 分
（2）① 解法一：
该命题为真命题. ·························································································································5 分
过点 E 作 EG⊥AD 于点 G，
依题意得，AE= ，易求 AG=EG=t， ····················································································6 分
CM=t，DG=DM=
易证△DGE≌△MDN，∴ ···············································································7 分
由△ADF∽△DMN，得 ，
又∵点 F 是线段 AB 中点，AB=AD，
∴ ，∴DM=2DN，即点 M 是 CD 的三等分点.·····················································8 分
解法二：该命题为真命题. ·········································································································5 分
易证△AEF∽△CED， ，
易证△ADF∽△DMN， ，
又∵AD=CD，∴ ，········································································································6 分
依题意得：AE= ，CM= t，EC= ，DM=
∴ ， ··························································································7 分
又∵点 F 是线段 AB 中点，AB=AD，
∴ ，∴DM=2DN，即点 M 是 CD 的三等分点.·····················································8 分
② 假设 FN=M N，由 DM=AN 知△AFN≌△DNM，∴AF=DN= t，
又由△DAF∽△MDN，得 ，∴ ，∴ ，
∴ = t， t=0；
∴FN=MN 不成立；·······················································································································9 分
假设 FN=MF，由 MN⊥DF 知，H N=HM，∴DN=DM=MC，此时点 F 与点 B 重合，
∴ 当 t = 时, FN=MF；·····················································································································10 分
假设 FN=MN，显然点 F 在 BC 边上，易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM= ，
（2013•自贡）如图，已知抛物线 y=ax2+bx﹣2（a≠0）与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C
点，直线 BD 交抛物线于点 D，并且 D（2，3），tan∠DBA= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点 M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点 B、M、C、A，求四边形 BMCA
面积的最大值；
（3）在（2）中四边形 BMCA 面积最大的条件下，过点 M 作直线平行于 y 轴，在这条直线
上是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆？若存在，求出圆心 Q 的
坐标；若不存在，请说明理由．
2 t
a t−
DN EG t CM= = =
DN AF
DM AD
=
1
2
AF DN
AB DM
= =
AE AF
EC CD
=
DN AF
DM AD
=
DN AE
DM EC
=
2 t 2 2a t− a t−
2
2 2
t DN
a ta t
= −− DN t CM= =
1
2
AF DN
AB DM
= =
DN AF
DM AD
= t AF
a t a
=−
atAF a t
= −
at
a t−
1
2 a
a t−考点：二次函数综合题．3718684
分析：（1）如答图 1 所示，利用已知条件求出点 B 的坐标，然后用待定系数法求出抛物线
的解析式；
（2）如答图 1 所示，首先求出四边形 BMCA 面积的表达式，然后利用二次函数的性
质求出其最大值；
（3）本题利用切线的性质、相似三角形与勾股定理求解．如答图 2 所示，首先求出
直线 AC 与直线 x=2 的交点 F 的坐标，从而确定了 Rt△AGF 的各个边长；然后证明
Rt△AGF∽Rt△QEF，利用相似线段比例关系列出方程，求出点 Q 的坐标．
解答：解：（1）如答图 1 所示，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，则 DE=3，OE=2．
∵tan∠DBA= = ，
∴BE=6，
∴OB=BE﹣OE=4，
∴B（﹣4，0）．
∵点 B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线 y=ax2+bx﹣2（a≠0）上，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为：y= x2+ x﹣2．
（2）抛物线的解析式为：y= x2+ x﹣2，
令 x=0，得 y=﹣2，∴C（0，﹣2），
令 y=0，得 x=﹣4 或 1，∴A（1，0）．
设点 M 坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），
如答图 1 所示，过点 M 作 MF⊥x 轴于点 F，则 MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m．
S 四边形 BMCA=S△BMF+S 梯形 MFOC+S△AOC= BF•MF+ （MF+OC）•OF+ OA•OC
= （4+m）×（﹣n）+ （﹣n+2）×（﹣m）+ ×1×2
=﹣2n﹣m+1
∵点 M（m，n）在抛物线 y= x2+ x﹣2 上，
∴n= m2+ m﹣2，代入上式得：
S 四边形 BMCA=﹣m2﹣4m+5=﹣（m+2）2+9，
∴当 m=﹣2 时，四边形 BMCA 面积有最大值，最大值为 9．
（3）假设存在这样的⊙Q．
如答图 2 所示，设直线 x=﹣2 与 x 轴交于点 G，与直线 AC 交于点 F．
设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：
，
解得：k=2，b=﹣2，
∴直线 AC 解析式为：y=2x﹣2，
令 x=﹣2，得 y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6．
在 Rt△AGF 中，由勾股定理得：AF= = =3 ．
设 Q（﹣2，n），则在 Rt△AGF 中，由勾股定理得：OQ= = ．
设⊙Q 与直线 AC 相切于点 E，则 QE=OQ= ．
在 Rt△AGF 与 Rt△QEF 中，
∵∠AGF=∠QEF=90°，∠AFG=∠QFE，
∴Rt△AGF∽Rt△QEF，
∴ ，即 ，
化简得：n2﹣3n﹣4=0，解得 n=4 或 n=﹣1．
∴存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，点 Q 的坐标为（﹣2，
4）或（﹣2，﹣1）．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待
定系数法、相似三角形、勾股定理、圆的切线性质、解直角三角形、图形面积计算等
重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二
次函数的最值解决；第（3）问为存在型问题，首先假设存在，然后利用已知条件，
求出符合条件的点 Q 坐标．
（2013 鞍山）如图所示的抛物线是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc
＞0；②b+2a=0；③抛物线与 x 轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．
其中正确的结论有（ ）
A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个
考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由开口方向、与 y 轴交于负半轴以及对称轴的位置，即可确定 a，b，c 的正负；由对
称轴 x=﹣ =1，可得 b+2a=0；由抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1，
可得抛物线与 x 轴的另一个交点为（4，0）；当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＜0；a﹣b+c＜0，b+2a=0，
即可得 3a+c＜0．
解答：解：∵开口向上，
∴a＞0，
∵与 y 轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴 x=﹣ ＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0；
故①正确；
∵对称轴 x=﹣ =1，
∴b+2a=0；
故②正确；
∵抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（4，0）；
故③正确；
∵当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
故④错误；
∵a﹣b+c＜0，b+2a=0，
∴3a+c＜0；
故⑤正确．
故选 B．
点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的
应用．
（2013 鞍山）某商场购进一批单价为 4 元的日用品．若按每件 5 元的价格销售，每月能卖
出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价
格 x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
考点：二次函数的应用．
分析：（1）利用待定系数法求得 y 与 x 之间的一次函数关系式；
（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函数关
系式，然后求出其最大值．
解答：解：（1）由题意，可设 y=kx+b，
把（5，30000），（6，20000）代入得： ，
解得： ，所以 y 与 x 之间的关系式为：y=﹣10000x+80000；
（2）设利润为 W，则 W=（x﹣4）（﹣10000x+80000）
=﹣10000（x﹣4）（x﹣8）
=﹣10000（x2﹣12x+32）
=﹣10000[（x﹣6）2﹣4]
=﹣10000（x﹣6）2+40000
所以当 x=6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元．
答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元．
点评：本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力．要先根据
题意列出函数关系式，再代数求值．解题关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学
应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利
润的知识．
（2013 鞍山）如图，已知一次函数 y=0.5x+2 的图象与 x 轴交于点 A，与二次函数 y=ax2+bx+c
的图象交于 y 轴上的一点 B，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且
OC=2．
（1）求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式；
（2）设一次函数 y=0.5x+2 的图象与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的另一交点为 D，已知 P
为 x 轴上的一个动点，且△PBD 为直角三角形，求点 P 的坐标．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）根据 y=0.5x+2 交 x 轴于点 A，与 y 轴交于点 B，即可得出 A，B 两点坐标，二
次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2．得出可设二次函数
y=ax2+bx+c=a（x﹣2）2，进而求出即可；
（2）根据当 B 为直角顶点，当 D 为直角顶点，以及当 P 为直角顶点时，分别利用三角形相
似对应边成比例求出即可．
解答：解：（1）∵y=0.5x+2 交 x 轴于点 A，
∴0=0.5x+2，
∴x=﹣4，
与 y 轴交于点 B，
∵x=0，
∴y=2
∴B 点坐标为：（0，2），
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2
∴可设二次函数 y=a（x﹣2）2，
把 B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2；（2）（Ⅰ）当 B 为直角顶点时，过 B 作 BP1⊥AD 交 x 轴于 P1 点由 Rt△AOB∽Rt△BOP1∴ =
，
∴ = ，
得：OP1=1，
∴P1（1，0），
（Ⅱ）作 P2D⊥BD，连接 BP2，
将 y=0.5x+2 与 y=0.5x2﹣2x+2 联立求出两函数交点坐标：D 点坐标为：（5，4.5），
则 AD= ，
当 D 为直角顶点时
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2，
∴△ABO∽△AP2D，
∴ = ，
= ，
解得：AP2=11.25，
则 OP2=11.25﹣4=7.25，
故 P2 点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）当 P 为直角顶点时，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，设 P3（a，0）
则由 Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得： ，
∴ ，
∵方程无解，
∴点 P3 不存在，
∴点 P 的坐标为：P1（1，0）和 P2（7.25，0）．点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等
知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．
（2013•大连）如图，抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ 与ｙ轴相交于点Ａ，与过点Ａ平行
于ｘ轴的直线相交于点Ｂ
（点Ｂ在第一象限）。抛物线的顶点Ｃ在直线ＯＢ上，对称轴与ｘ轴相交于点Ｄ。平
移抛物线，使其经过点Ａ、Ｄ，则平移后的抛物线的解析式为
。
（2013•大连）如图，抛物线 y＝- x2+ x-4 与 x 轴相交于点Ａ、Ｂ，与 y 轴相交于
点Ｃ，抛物线的对称轴与 x 轴相交
于点Ｍ。Ｐ是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）。分别
过点Ａ、Ｂ 作直线ＣＰ的垂线，垂足分别为 Ｄ、Ｅ，连接ＭＤ、ＭＥ。（1） 求点Ａ、Ｂ的坐标（直接写出结果），并证明△ＭＤＥ是等 腰三角形；
（2） △ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标，若不能，说明
理由；
（3）若将“Ｐ是抛物线在 x 轴上方的一个动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线
上）”改为“Ｐ是抛物线在 x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，△ＭＤＥ能否为等腰直
角三角形？若能，求此时点Ｐ的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由。
（2013•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 A（ ，0）
和点 B（1， ），与 x 轴的另一个交点为 C，
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 D 在对称轴的右侧，x 轴上方的抛物线上，且 ，求点 D 的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接 BD，交抛物线对称轴于点 E，连接 AE
①判断四边形 OAEB 的形状，并说明理由；
②点 F 是 OB 的中点，点 M 是直线 BD 上的一个动点，且点 M 与点 B 不重合，当
，请直接写出线段 BM 的长
28 2
5y x bx c= + + 3
2
2 2
BDA DAC∠ = ∠
1
3BMF MFO∠ = ∠（2013•铁岭）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为 40 元．经过市场调查，
一周的销售量 y 件与销售单价 x（x≥50）元/件的关系如下表：
销售单价 x（元/件） … 55 60 70 75 …
一周的销售量 y（件）… 450 400 300 250 …
（1）直接写出 y 与 x 的函数关系式： y=﹣10x+1000
（2）设一周的销售利润为 S 元，请求出 S 与 x 的函数关系式，并确定当销售单价在什么范
围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家
购进该商品的贷款不超过 10000 元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？
考点：二次函数的应用．3718684
分析：（1）设 y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出 k、b 的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着
销售单价的增大而增大的销售单价的范围；
（3）根据购进该商品的贷款不超过 10000 元，求出进货量，然后求最大销售额即
可．
解答：解：（1）设 y=kx+b，
由题意得， ，
解得： ，
则函数关系式为：y=﹣10x+1000；
（2）由题意得，S=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣10x+1000）
=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为 x=70，
∴当 40≤x≤70 时，销售利润随着销售单价的增大而增大；
（3）当购进该商品的贷款为 10000 元时，y= =250（件），
此时 x=75，
由（2）得当 x≥70 时，S 随 x 的增大而减小，
∴当 x=70 时，销售利润最大，
此时 S=9000，
即该商家最大捐款数额是 9000 元．
点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数
最值问题，从而来解决实际问题．
（2013•鄂州）小轩从如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面
五条信息：
①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤ ．
你认为其中正确信息的个数有（ ）
A
．
2 个 B．3 个 C．4 个 D
．
5 个
考点：二次函数图象与系数的关系．3718684
分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，
然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
解答：解：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．
∵对称轴 x=﹣ =﹣ ，∴b= a＜0，
∴ab＞0．故①正确；
②如图，当 x=1 时，y＜0，即 a+b+c＜0．
故②正确；
③如图，当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＞0，
∴2a﹣2b+2c＞0，即 3b﹣2b+2c＞0，
∴b+2c＞0．
故③正确；
④如图，当 x=﹣1 时，y＞0，即 a﹣b+c＞0．
抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c＞0．
∵b＜0，
∴c﹣b＞0，∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞0，即 a﹣2b+4c＞0．
故④正确；
⑤如图，对称轴 x=﹣ =﹣ ，则 ．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共 5 个．
故选 D．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开
口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定．
（2013•鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段
时间内，销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩
具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x＞40），请你分别用 x 的代数式来表示销售
量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元） x
销售量 y（件） 1000﹣10x
销售玩具获得利润 w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000
（2）在（1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为多少
元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元，且商场要完成不
少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．3718684
分析：（1）由销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具得 y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，
利润=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；
（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出 x 的值即可；
（3）首先求出 x 的取值范围，然后把 w=﹣10x2+1300x﹣30000 转化成 y=﹣10（x﹣65）
2+12250，结合 x 的取值范围，求出最大利润．
解答：解：（1）
销售单价（元） x
销售量 y（件） 1000﹣10x
销售玩具获得利润 w（元）﹣10x2+1300x﹣30000
（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000
解之得：x1=50，x2=80
答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润，
（3）根据题意得
解之得：44≤x≤46
w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250
∵a=﹣10＜0，对称轴 x=65
∴当 44≤x≤46 时，y 随 x 增大而增大．
∴当 x=46 时，W 最大值=8640（元）
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元．
点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．
（2013•鄂州）在平面直角坐标系中，已知 M1（3，2），N1（5，﹣1），线段 M1N1 平移至
线段 MN 处（注：M1 与 M，N1 与 N 分别为对应点）．
（1）若 M（﹣2，5），请直接写出 N 点坐标．
（2）在（1）问的条件下，点 N 在抛物线 上，求该抛物线对应的函数解
析式．
（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为 B，与 y 轴交于点 A，点 E 为线段 AB 中点，点 C
（0，m）是 y 轴负半轴上一动点，线段 EC 与线段 BO 相交于 F，且 OC：OF=2： ，求 m
的值．
（4）在（3）问条件下，动点 P 从 B 点出发，沿 x 轴正方向匀速运动，点 P 运动到什么位
置时（即 BP 长为多少），将△ABP 沿边 PE 折叠，△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为此
时的△ABP 面积的 ，求此时 BP 的长度．
考点：二次函数综合题．3718684
专题：综合题．
分析：（1）首先根据点 M 的移动方向和单位得到点 N 的平移方向和单位，然后按照平移方
向和单位进行移动即可；
（2）将点 N 的坐标代入函数的解析式即可求得 k 值；
（3）配方后确定点 B、A、E 的坐标，根据 CO：OF=2： 用 m 表示出线段 CO、FO
和 BF 的长，利用 S△BEC=S△EBF+S△BFC= 得到有关 m 的方程求得 m 的值即可；
（4）分当∠BPE＜∠APE 时、当∠BPE=∠APE 时、当∠BPE＜∠APE 时三种情况分类讨
论即可．
解答：解：（1）由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，
由点 M 到点 M′可知，点的横坐标减 5，纵坐标加 3，
故点 N′的坐标为（5﹣5，﹣1+3），即（0，2）．
N（0，2）；（2）∵N（0，2）在抛物线 y= x2+ x+k 上
∴k=2
∴抛物线的解析式为 y= x2+ x+2
（3）∵y= x2+ x+2= （x+2 ）2
∴B（﹣2 ，0）、A（0，2）、E（﹣ ，1）
∵CO：OF=2：
∴CO=﹣m，FO=﹣ m，BF=2 + m
∵S△BEC=S△EBF+S△BFC=
∴ （2 + m）（﹣m+1）=
整理得：m2+m=0
∴m=﹣1 或 0
∵m＜0
∴m=﹣1
（4）在 Rt△ABO 中，tan∠ABO= = =
∴∠ABO=30°，AB=2AO=4
①当∠BPE＞∠APE 时，连接 A1B 则对折后如图 2，A1 为对折后 A 的所落点，△EHP
是重叠部分．
∵E 为 AB 中点，∴S△AEP=S△BEP= S△ABP
∵S△EHP= S△ABP
∴ =S△EHP=S△BHP= S△ABP
∴A1H=HP，EH=HB=1
∴四边形 A1BPE 为平行四边形
∴BP=A1E=AE=2
即 BP=2
②当∠BPE=∠APE 时，重叠部分面积为△ABP 面积的一半，不符合题意；③当∠BPE＜∠APE 时．
则对折后如图 3，A1 为对折后 A 的所落点．△EHP 是重叠部分
∵E 为 AB 中点，
∴S△AEP=S△BEP= S△ABP
∵S△EHP= S△ABP∴S△EBH=S△EHP= = S△ABP
∴BH=HP，EH=HA1=1
又∵BE=EA=2
∴EH AP，
∴AP=2
在△APB 中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2．
∴∠APB=90°，
∴BP= ，
综合①②③知：BP=2 或 ；
点评：此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定，图形折叠问题及图形面积等重要
知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．
（2013•恩施州）把抛物线 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的
抛物线的解析式为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
考点：二次函数图象与几何变换
分析：确定出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减
求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出抛物线解析式即可．
解答：解：抛物线 y= x2﹣1 的顶点坐标为（0，﹣1），
∵向右平移一个单位，再向下平移 2 个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴得到的抛物线的解析式为 y= （x﹣1）2﹣3．
故选 B．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，
利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．
（2013•恩施州）如图所示，直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．把△AOB
沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，抛物线过点 B、C 和 D（3，0）．
（1）求直线 BD 和抛物线的解析式．
（2）若 BD 与抛物线的对称轴交于点 M，点 N 在坐标轴上，以点 N、B、D 为顶点的三角
形与△MCD 相似，求所有满足条件的点 N 的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点 P，使 S△PBD=6？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理
由．考点：二次函数综合题．
分析：（1）由待定系数法求出直线 BD 和抛物线的解析式；
（2）首先确定△MCD 为等腰直角三角形，因为△BND 与△MCD 相似，所以△BND 也
是等腰直角三角形．如答图 1 所示，符合条件的点 N 有 3 个；
（3）如答图 2、答图 3 所示，解题关键是求出△PBD 面积的表达式，然后根据 S△PBD=6
的已知条件，列出一元二次方程求解．
解答：解：（1）∵直线 l：y=3x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，
∴A（﹣1，0），B（0，3）；
∵把△AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，∴C（1，0）．
设直线 BD 的解析式为：y=kx+b，
∵点 B（0，3），D（3，0）在直线 BD 上，
∴ ，
解得 k=﹣1，b=3，
∴直线 BD 的解析式为：y=﹣x+3．
设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），
∵点 B（0，3）在抛物线上，
∴3=a×（﹣1）×（﹣3），
解得：a=1，
∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．
（2）抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线 x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．
直线 BD：y=﹣x+3 与抛物线的对称轴交于点 M，令 x=2，得 y=1，
∴M（2，1）．
设对称轴与 x 轴交点为点 F，则 CF=FD=MN=1，
∴△MCD 为等腰直角三角形．
∵以点 N、B、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，
∴△BND 为等腰直角三角形．
如答图 1 所示：
（I）若 BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点 O，
∴N1（0，0）；（II）若 BD 为直角边，B 为直角顶点，则点 N 在 x 轴负半轴上，
∵OB=OD=ON2=3，
∴N2（﹣3，0）；
（III）若 BD 为直角边，D 为直角顶点，则点 N 在 y 轴负半轴上，
∵OB=OD=ON3=3，
∴N3（0，﹣3）．
∴满足条件的点 N 坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．
（3）假设存在点 P，使 S△PBD=6，设点 P 坐标为（m，n）．
（I）当点 P 位于直线 BD 上方时，如答图 2 所示：
过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE=n，DE=m﹣3．
S△PBD=S 梯形 PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE= （3+n）•m﹣ ×3×3﹣ （m﹣3）•n=6，
化简得：m+n=7 ①，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n=m2﹣4m+3，
代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，
解得：m1=4，m2=﹣1，
∴n1=3，n2=8，
∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；
（II）当点 P 位于直线 BD 下方时，如答图 3 所示：
过点 P 作 PE⊥y 轴于点 E，则 PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．
S△PBD=S 梯形 PEOD+S△BOD﹣S△PBE= （3+m）•（﹣n）+ ×3×3﹣ （3﹣n）•m=6，
化简得：m+n=﹣1 ②，
∵P（m，n）在抛物线上，
∴n=m2﹣4m+3，
代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．
故此时点 P 不存在．
综上所述，在抛物线上存在点 P，使 S△PBD=6，点 P 的坐标为（4，3）或（﹣1，
8）．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的
判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论
的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．
（2013•黄冈）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是梯形，其中 A（6，0），B（3，
），C（1， ），动点 P 从点 O 以每秒 2 个单位的速度向点 A 运动，动点 Q 也同时从点
B 沿 B → C → O 的线路以每秒 1 个单位的速度向点 O 运动，当点 P 到达 A 点时，点 Q
也随之停止，设点 P、 Q 运动的时间为 t（秒）.
（1） 求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；
（2）当点 Q 在 CO 边上运动时，求△OPQ 的面积与时间 t 的函数关系式；
（3）以 O、P、Q 为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出 t 的值，若不能，请
说明理由；
（4）经过 A、 B、C 三点的抛物线的对称轴、直线 OB 和 PQ 能够交于一点吗？若能，请求
出此时 t 的值（或范围），若不能，请说明理由.
3 3（2013• 黄石）若关于 的函数 与 轴仅有一个公共点，则实数 的值
为 .
答案： 或
解析：函数与 x 轴只有一个交点，有两个可能：（1）当 k＝0 时，是一次函数，符合；（2）
当 k≠0 时，△＝4＋4k＝0，解得 k＝－1，所以，k＝0 或 k＝－1。
（2013•黄石）如图 1 所示，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，抛物
线 经过 、 两点，点 是抛物线与 轴的另一个交点，当
时， 取最大值 .
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点 是直线 上一点，且 ABP ： BPC ，求点 的坐标；
（3）若直线 与（1）中所求的抛物线交于 、 两点，问:
①是否存在 的值，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说
明理由；
②猜想当 时， 的取值范围（不写过程，直接写结论）.
（参考公式：在平面直角坐标系中，若 ， ，则 ， 两点
间的距离为 ）
解析：
解：（1）由题意得 解得
∴抛物线的解析式为 ∴ ，
∴直线 的解析式为 ···········································（2 分）
（2）分两种情况：
①点 在线段 上时，过 作 轴，垂足为
x 2 2 1y kx x= + − x k
0k = 1k = −
y kx m= + x y A C
2y x bx c= − + + A C B x 1
2x = −
y 25
4
P AC S S 1:3= P
1
2y x a= + M N
a 090MON∠ = a
090MON∠ > a
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y M N
2 2
2 1 2 1( ) ( )MN x x y y= − + −
2
1
2 ( 1) 2
4 ( 1) 25
4 ( 1) 4
b
c b
− = × − × − − =× −
{ 1
6
b
c
= −
=
2 6y x x= − − + ( 3,0)A − (2,0)B
AC 2 6y x= +
P AC P PH x⊥ H
A
C
O
B
x
y
图 1∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
②点 在线段 的延长线上时，过 作 轴，垂足为
∵ ∴
∵ ∥ ∴
∴ ， ∴
∴
综上所述， 或 ······································（4 分）
（3）①方法 1：假设存在 的值，使直线 与（1）中所
求的抛物线 交于 、 两点（ 在
的左侧），使得
由 得
∴ ，
又 ，
∴
∵
∴
1
3
ABP
BPC
S AP
S PC
= =△
△
1
4
AP
AC
=
PH CO 1
4
PH AH AP
CO AO AC
= = =
3
2PH = 3
4AH = 9
4HO =
9 3( , )4 2P −
P CA P PG x⊥ G
1
3
ABP
BPC
S AP
S PC
= =△
△
1
2
AP
AC
=
PG CO 1
2
PG AG AP
CO AO AC
= = =
3PG = 3
2AG = 9
2GO =
9( , 3)2P − −
1
9 3( , )4 2P − 2
9( , 3)2P − −
a 1
2y x a= +
2 6y x x= − − + 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y M
N 090MON∠ =
2
1
2
6
y x a
y x x
= +
= − − +
22 3 2 12 0x x a+ + − =
1 2
3
2x x+ = − 1 2 6x x a⋅ = −
1 1
1
2y x a= + 2 2
1
2y x a= +
1 2 1 2
1 1( )( )2 2y y x a x a⋅ = + +
2
1 2 1 2
1 1 ( )4 2x x x x a a= ⋅ + + +
26 3
4 4
a a a
−= − +
090MON∠ =
2 2 2OM ON MN+ =
A
C
O
B
x
y
M
N
P Q∴
∴
∴ 即
∴ 或
∴存在 或 使得 ·····························（3 分）
方法 2：假设存在 的值，使直线 与（1）中所求的抛物
线 交于 、 两点（ 在 轴上
侧），使得 ，如图，过 作 于 ，过 作
于
可证明
∴ 即
∴ 即
以下过程同上
②当 时， ········································（1 分）
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 1 2 1( ) ( )x y x y x x y y+ + + = − + −
1 2 1 2 0x x y y⋅ + ⋅ =
26 36 04 4
aa a a
−− + − + = 22 15 0a a+ − =
3a = − 5
2a =
3a = − 5
2a = 090MON∠ =
a 1
2y x a= +
2 6y x x= − − + 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y M x
090MON∠ = M MP x⊥ P N
NQ x⊥ Q
MPO△ ∽ OQN△
MP PO
OQ QN
= 1 1
2 2
y x
x y
−=
1 2 1 2x x y y− = 1 2 1 2 0x x y y⋅ + ⋅ =
53 2a− < < 090MON∠ >
A
C
O
B
x
y
M
N
P Q
M′
N′
-3
5
2（2013•荆门）若抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且过点 A（m，n），B（m+6，
n），则 n= 9 ．
考点：抛物线与 x 轴的交点．3718684
分析：首先，由“抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点”推知 x=﹣ 时，y=0．且 b2﹣4c=0，
即 b2=4c；
其次，根据抛物线对称轴的定义知点 A、B 关于对称轴对称，则 A（﹣ ﹣3，n），B
（﹣ +3，n）；
最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知 n=（﹣ ﹣3）2+b（﹣ ﹣3）+c=
b2+c+9，所以把 b2=4c 代入即可求得 n 的值．
解答：解：∵抛物线 y=x2+bx+cx 轴只有一个交点，
∴当 x=﹣ 时，y=0．且 b2﹣4c=0，即 b2=4c．
又∵点 A（m，n），B（m+6，n），
∴点 A、B 关于直线 x=﹣ 对称，
∴A（﹣ ﹣3，n），B（﹣ +3，n）
将 A 点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣ ﹣3）2+b（﹣ ﹣3）+c= b2+c+9
∵b2=4c，
∴n= ×4c+c+9=9．
故答案是：9．
点评：本题考查了抛物线与 x 轴的交点．二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的交
点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系．
△=b2﹣4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数．
△=b2﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；
△=b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；
△=b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．
（2013•荆门）已知关于 x 的二次函数 y=x2﹣2mx+m2+m 的图象与关于 x 的函数 y=kx+1 的
图象交于两点 A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）
（1）当 k=1，m=0，1 时，求 AB 的长；
（2）当 k=1，m 为任何值时，猜想 AB 的长是否不变？并证明你的猜想．
（3）当 m=0，无论 k 为何值时，猜想△AOB 的形状．证明你的猜想．
24 题图（平面内两点间的距离公式 ）．
考点：二次函数综合题．3718684
分析：（1）先将 k=1，m=0 分别代入，得出二次函数的解析式为 y=x2，直线的解析式为 y=x+1，
联立 ，得 x2﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=1，
x1•x2=﹣1，过点 A、B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，两线交于点 C，证明△ABC 是等
腰直角三角形，根据勾股定理得出 AB= AC，根据两点间距离公式及完全平方公式
求出 AB= ；同理，当 k=1，m=1 时，AB= ；
（2）当 k=1，m 为任何值时，联立 ，得 x2﹣（2m+1）
x+m2+m﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=2m+1，
x1•x2=m2+m﹣1，同（1）可求出 AB= ；
（3）当 m=0，k 为任意常数时，分三种情况讨论：①当 k=0 时，由 ，得 A
（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB 为直角三角形；②当 k=1 时，联立 ，得
x2﹣x﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=1，x1•x2=﹣1，同（1）求
出 AB= ，则 AB2=10，运用两点间的距离公式及完全平方公式求出 OA2+OB2=10，
由勾股定理的逆定理判定△AOB 为直角三角形；③当 k 为任意实数时，联立 ，
得 x2﹣kx﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2=k，x1•x2=﹣1，根据
两点间距离公式及完全平方公式求出 AB2=k4+5k2+4，OA2+OB2═k4+5k2+4，由勾股定
理的逆定理判定△AOB 为直角三角形．
解答：解：（1）当 k=1，m=0 时，如图．
由 得 x2﹣x﹣1=0，
∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，
过点 A、B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，两线交于点 C．
∵直线 AB 的解析式为 y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB= AC= |x2﹣x1|= = ；
同理，当 k=1，m=1 时，AB= ；
（2）猜想：当 k=1，m 为任何值时，AB 的长不变，即 AB= ．理由如下：由 ，得 x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，
∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，
∴AB= AC= |x2﹣x1|= = ；
（3）当 m=0，k 为任意常数时，△AOB 为直角三角形，理由如下：
①当 k=0 时，则函数的图象为直线 y=1，
由 ，得 A（﹣1，1），B（1，1），
显然△AOB 为直角三角形；
②当 k=1 时，则一次函数为直线 y=x+1，
由 ，得 x2﹣x﹣1=0，
∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，
∴AB= AC= |x2﹣x1|= = ，
∴AB2=10，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2
=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）
=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2
=2（1+2）+2×1+2
=10，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB 是直角三角形；
③当 k 为任意实数，△AOB 仍为直角三角形．
由 ，得 x2﹣kx﹣1=0，
∴x1+x2=k，x1•x2=﹣1，
∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2
=（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2
=（1+k2）（x1﹣x2）2
=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1•x2]
=（1+k2）（4+k2）
=k4+5k2+4，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）
=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2
=（1+k2）（k2+2）+2k•k+2
=k4+5k2+4，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB 为直角三角形．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一元二次方程根与系数的关
系，平面内两点间的距离公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定难度．本
题对式子的变形能力要求较高，体现了由特殊到一般的思想．
（2013•荆州）若根式 有意义，则双曲线 y= 与抛物线 y=x2+2x+2－2k 的交点
在第 2 象限.
（2013•荆州） 已知：如图①，直线 y=－ x+ 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，两
动点 D、E 分别从 A、B 两点同时出发向 O 点运动（运动到 O 点停止）；对称轴过点 A 且顶点
为 M 的抛物线 y=a(x－k)2+h(a＜0） 始终经过点 E，过 E 作 EG∥OA 交抛物线于点 G，交 AB
于点 F，连结 DE、DF、AG、BG.设 D、E 的运动速度分别是 1 个单位 长度/秒和 个单位长
度/秒，运动时间为 t 秒.
（1）用含 t 代数式分别表示 BF、EF、AF 的长；
（2）当 t 为何值时，四边形 ADEF 是菱形？判断此时△AFG 与△AGB 是否相似，并说明理由；
（3）当△ADF 是直角三角形，且抛物线的顶点 M 恰 好在 BG 上时，求抛物线的解析式.
1
2 2k−
2 1k
x
−
3 3
3
x
y
O
B
A图① 图②
第 25 题图
（2013•潜江）2013 年 5 月 26 日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就
了首个五连冠霸业. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）．若
不 考 虑 外 力 因 素 ， 羽 毛 球 行 进 高 度 ( 米 ) 与 水 平 距 离 ( 米 ) 之 间 满 足 关 系
，则羽毛球飞出的水平距离为 米．
（2013•潜江如图，已知抛物线 经过 A（-8，0），B（2，0）两点，直线
交 轴于点 C，交抛物线于点 D.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点 P 在抛物线上，点 E 在直线 上，若以 A，O，E，P 为顶点的四边形是平
行四边形，求点 P 的坐标；
（3）若 B，D，C 三点到同一条直线的距离分别是 ， ， ，问是否存在直线 l，
使 ？若存在，请直接写出 的值；若不存在，请说明理由.
（2013•十堰）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，
1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当 x
＞﹣1 时，y＞0，其中正确结论的个数是（ ）
y x
9
10
9
8
9
2 2 ++−= xxy
42 −+= bxaxy 4−=x
x
4−=x
1d 2d 3d
2
3
21
ddd == 3d A
．
5 个 B．4 个 C．3 个 D
．
2 个
考点：二次函数图象与系数的关系．3718684
分析：由抛物线的对称轴在 y 轴右侧，可以判定 a、b 异号，由此确定①正确；
由抛物线与 x 轴有两个交点得到 b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出 c=1，由此
判定②正确；
由抛物线过点（﹣1，0），得出 a﹣b+c=0，即 a=b﹣1，由 a＜0 得出 b＜1；由 a＜0，
及 ab＜0，得出 b＞0，由此判定④正确；
由 a﹣b+c=0，及 b＞0 得出 a+b+c=2b＞0；由 b＜1，c=1，a＜0，得出 a+b+c＜a+1+1＜
2，由此判定③正确；
由图象可知，当自变量 x 的取值范围在一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根之间时，
函数值 y＞0，由此判定⑤错误．
解答：解：∵二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），
∴c=1，a﹣b+c=0．
①∵抛物线的对称轴在 y 轴右侧，∴x=﹣ ＞0，
∴a 与 b 异号，∴ab＜0，正确；
②∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，
∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确；
④∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵ab＜0，∴b＞0．
∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1，
∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，
∴0＜b＜1，正确；
③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b，
∴a+b+c=2b＞0．
∵b＜1，c=1，a＜0，
∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，
∴0＜a+b+c＜2，正确；
⑤抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x，0），则
x0＞0，
由图可知，当 x0＞x＞﹣1 时，y＞0，错误；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选 B．
点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数
y=ax2+bx+c（a≠0），a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及 a 的
符号决定；c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定；抛物线与 x 轴的交点个数，决
定了 b2﹣4ac 的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．
（2013•十堰）已知抛物线 y=x2﹣2x+c 与 x 轴交于 A．B 两点，与 y 轴交于 C 点，抛物线的
顶点为 D 点，点 A 的坐标为（﹣1，0）．
（1）求 D 点的坐标；
（2）如图 1，连接 AC，BD 并延长交于点 E，求∠E 的度数；（3）如图 2，已知点 P（﹣4，0），点 Q 在 x 轴下方的抛物线上，直线 PQ 交线段 AC 于点
M，当∠PMA=∠E 时，求点 Q 的坐标．
考点：二次函数综合题．3718684
分析：（1）将点 A 的坐标代入到抛物线的解析式求得 c 值，然后配方后即可确定顶点 D 的
坐标；
（2）连接 CD、CB，过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F，首先求得点 C 的坐标，然后证得
△DCB∽△AOC 得到∠CBD=∠OCA，根据∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，得到
∠E=∠OCB=45°；
（3）设直线 PQ 交 y 轴于 N 点，交 BD 于 H 点，作 DG⊥x 轴于 G 点，增大
△DGB∽△PON 后利用相似三角形的性质求得 ON 的长，从而求得点 N 的坐标，进而
求得直线 PQ 的解析式，
设 Q（m，n），根据点 Q 在 y=x2﹣2x﹣3 上，得到﹣ m﹣2=m2﹣2m﹣3，求得 m、n
的值后即可求得点 Q 的坐标．
解答：解：（1）把 x=﹣1，y=0 代入 y=x2﹣2x+c 得：1+2+c=0
∴c=﹣3
∴y=x2﹣2x﹣3=y=（x﹣1）2﹣4
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）如图 1，连接 CD、CB，过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F，
由 x2﹣2x﹣3=0 得 x=﹣1 或 x=3
∴B（3，0）
当 x=0 时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3
∴C（0，﹣3）
∴OB=OC=3
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
BC=3
又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，
∴∠FCD=45°，CD= ，
∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°．∴∠BCD=∠COA
又∵
∴△DCB∽△AOC，
∴∠CBD=∠OCA
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB
∴∠E=∠OCB=45°，
（3）如图 2，设直线 PQ 交 y 轴于 N 点，交 BD 于 H 点，作 DG⊥x 轴于 G 点
∵∠PMA=45°，
∴∠EMH=45°，
∴∠MHE=90°，
∴∠PHB=90°，
∴∠DBG+∠OPN=90°
又∴∠ONP+∠OPN=90°，
∴∠DBG=∠ONP
又∵∠DGB=∠PON=90°，
∴△DGB=∠PON=90°，
∴△DGB∽△PON
∴
即： =
∴ON=2，
∴N（0，﹣2）
设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b
则
解得：
∴y=﹣ x﹣2
设 Q（m，n）且 n＜0，
∴n=﹣ m﹣2
又∵Q（m，n）在 y=x2﹣2x﹣3 上，
∴n=m2﹣2m﹣3
∴﹣ m﹣2=m2﹣2m﹣3
解得：m=2 或 m=﹣∴n=﹣3 或 n=﹣
∴点 Q 的坐标为（2，﹣3）或（﹣ ，﹣ ）．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，难度较大，题目中渗透了许多的知识点，特别是二
次函数与相似三角形的结合，更是一个难点，同时也是中考中的常考题型之一．
（2013•武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物
分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：
温度 /℃ …… －4 －2 0 2 4 4.5 ……
植物每天高度增长量
/mm
…… 41 49 49 41
25
19.75 ……
由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 是温度 的函数，且这种函数是反比例函
数、一次函数和二次函数中的一种．
（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的
理由；
（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？
（3）如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那
么实验室的温度 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．
解析：
（1）选择二次函数，设 ，得 ，解得
∴ 关于 的函数关系式是 ．
不选另外两个函数的理由：
注意到点（0，49）不可能在任何反比例函数图象上，所以 不是 的反比例函数；点（－
4，41），（－2，49），（2，41）不在同一直线上，所以 不是 的一次函数．
x
y
y x
x
cbxaxy ++= 2
=++
=+−
=
4124
4924
49
cba
cba
c
=
−=
−=
49
2
1
c
b
a
y x 4922 +−−= xxy
y x
y x（2）由（1），得 ，∴ ，
∵ ，∴当 时， 有最大值为 50．
即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大．
（3） ．
（2013•武汉）如图，点 P 是直线 ： 上的点，过点 P 的另一条直线 交抛物线
于 A、B 两点．
（1）若直线 的解析式为 ，求 A、B 两点的坐标；
（2）①若点 P 的坐标为（－2， ），当 PA＝AB 时，请直接写出点 A 的坐标；[来源%:中~教
网#@^]
②试证明：对于直线 上任意给定的一点 P，在抛物线上都能找到点 A，使得 PA＝AB
成立．
（3）设直线 交 轴于点 C，若△AOB 的外心在边 AB 上，且∠BPC＝∠OCP，求点 P 的坐
标．
解析：
（1）依题意，得 解得 ，
∴A（ ， ），B（1，1）．
（2）①A1（－1，1），A2（－3，9）．
②过点 P、B 分别作过点 A 且平行于 轴的直线的垂线，垂足分别为 G、H.
设 P（ ， ），A（ ， ），∵PA＝PB，∴△PAG≌△BAH，
∴AG＝AH，PG＝BH，∴B（ ， ），
将点 B 坐标代入抛物线 ，得 ，
∵△＝
∴无论 为何值时，关于 的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的
点 P，抛物线上总能找到两个满足条件的点 A．
4922 +−−= xxy ( ) 501 2 ++−= xy
01 0bc <
（图9-4）
（图9-4）
x
y
O
A B
C
E
F
G
H
P
D
x
（图9-5）
y
O
A B
C
E PQ
D
（图9-3）
y
O
A B
C
E
F
G
H
P
D
x
y
y=x
(图 10-3)
C3
C2
C1
A
B
O
P
（图 10-1）
x（2013•莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩
形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形 ABCD 的边长 AB=4 米，∠ABC=60°．设 AE=x 米
（0＜x＜4），矩形 EFGH 的面积为 S 米 2．
（1）求 S 与 x 的函数关系式；
（2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草．已知红色花草的价格
为 20 元/米 2，黄色花草的价格为 40 元/米 2．当 x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，
并求出最低总费用（结果保留根号）？
考点：二次函数的应用；菱形的性质；矩形的性质．
专题：应用题．
分析：（1）连接 AC、BD，根据轴对称的性质，可得 EH∥BD，EF∥AC，△BEF 为等边三角
形，从而求出 EF，在 Rt△AEM 中求出 EM，继而得出 EH，这样即可得出 S 与 x 的函
数关系式．
（2）根据（1）的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为 W，则可得出 W 关于 x
的二次函数关系式，利用配方法求最值即可．
解答：解：（1）连接 AC、BD，
∵花坛为轴对称图形，
∴EH∥BD，EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC、△BEF 是等边三角形，
∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x，在 Rt△AEM 中，∠AEM=∠ABD=30°，
则 EM=AEcos∠AEM= x，
∴EH=2EM= x，
故可得 S=（4﹣x）× x=﹣ x2+4 x．
（2）易求得菱形 ABCD 的面积为 8 cm2，
由（1）得，矩形 ABCD 的面积为 x2，则可得四个三角形的面积为（8 + x2﹣4
x），
设总费用为 W，
则 W=20（﹣ x2+4 x）+40（8 + x2﹣4 x）
=20 x2﹣80 x+320
=20 （x﹣2）2+240 ，
∵0＜x＜4，
∴当 x=2 时，W 取得最小，W 最小=240 元．
即当 x 为 2 时，购买花草所需的总费用最低，最低费用为 240 元．
点评：本题考查了二次函数的应用，首先需要根据花坛为轴对称图形，得出 EH∥BD，
EF∥AC，重点在于分别得出 EF、EH 关于 x 的表达式，另外要掌握配方法求二次函数
最值的应用．
（2013•莆田）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下，与 x 轴交于点 A（﹣3，0）和点 B
（1，0）．与 y 轴交于点 C，顶点为 D．
（1）求顶点 D 的坐标．（用含 a 的代数式表示）；
（2）若△ACD 的面积为 3．
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点 P，且∠PAB=∠DAC，求平
移后抛物线的解析式．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）已知抛物线与 x 轴的两交点的横坐标分别是﹣3 和 1，设抛物线解析式的交点式
y=a（x+3）（x﹣1），再配方为顶点式，可确定顶点坐标；
（2）①设 AC 与抛物线对称轴的交点为 E，先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式，求出点 E 的坐标，即可得到 DE 的长，然后由 S△ACD= ×DE×OA 列出方程，解方
程求出 a 的值，即可确定抛物线的解析式；
②先运用勾股定理的逆定理判断出在△ACD 中∠ACD=90°，利用三角函数求出
tan∠DAC= ．设 y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4 向右平移后的抛物线解析式为 y=﹣
（x+m）2+4，两条抛物线交于点 P，直线 AP 与 y 轴交于点 F．根据正切函数的定义
求出 OF=1．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）如图 2①，F 点的坐标为（0，1），（Ⅱ）
如图 2②，F 点的坐标为（0，﹣1）．针对这两种情况，都可以先求出点 P 的坐标，
再得出 m 的值，进而求出平移后抛物线的解析式．
解答：解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣3，0）和点 B（1，0），
∴抛物线解析式为 y=a（x+3）（x﹣1）=ax2+2ax﹣3a，
∵y=a（x+3）（x﹣1）=a（x2+2x﹣3）=a（x+1）2﹣4a，
∴顶点 D 的坐标为（﹣1，﹣4a）；
（2）如图 1，①设 AC 与抛物线对称轴的交点为 E．
∵抛物线 y=ax2+2ax﹣3a 与 y 轴交于点 C，
∴C 点坐标为（0，﹣3a）．
设直线 AC 的解析式为：y=kx+t，
则： ，
解得： ，
∴直线 AC 的解析式为：y=﹣ax﹣3a，
∴点 E 的坐标为：（﹣1，﹣2a），
∴DE=﹣4a﹣（﹣2a）=﹣2a，
∴S△ACD=S△CDE+S△ADE= ×DE×OA= ×（﹣2a）×3=﹣3a，
∴﹣3a=3，解得 a=﹣1，
∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3；
②∵y=﹣x2﹣2x+3，
∴顶点 D 的坐标为（﹣1，4），C（0，3），
∵A（﹣3，0），
∴AD2=（﹣1+3）2+（4﹣0）2=20，CD2=（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2=2，AC2=（0+3）2+
（3﹣0）2=18，
∴AD2=CD2+AC2，
∴∠ACD=90°，
∴tan∠DAC= = = ，
∵∠PAB=∠DAC，∴tan∠PAB=tan∠DAC= ．
如图 2，设 y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4 向右平移后的抛物线解析式为 y=﹣（x+m）
2+4，两条抛物线交于点 P，直线 AP 与 y 轴交于点 F．
∵tan∠PAB= = = ，
∴OF=1，则 F 点的坐标为（0，1）或（0，﹣1）．
分两种情况：
（Ⅰ）如图 2①，当 F 点的坐标为（0，1）时，易求直线 AF 的解析式为 y= x+1，
由 ，解得 ， （舍去），
∴P 点坐标为（ ， ），
将 P 点坐标（ ， ）代入 y=﹣（x+m）2+4，
得 =﹣（ +m）2+4，
解得 m1=﹣ ，m2=1（舍去），
∴平移后抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣ ）2+4；
（Ⅱ）如图 2②，当 F 点的坐标为（0，﹣1）时，易求直线 AF 的解析式为 y=﹣ x﹣1，
由 ，解得 ， （舍去），
∴P 点坐标为（ ，﹣ ），
将 P 点坐标（ ，﹣ ）代入 y=﹣（x+m）2+4，
得﹣ =﹣（ +m）2+4，
解得 m1=﹣ ，m2=1（舍去），
∴平移后抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣ ）2+4；
综上可知，平移后抛物线的解析式为 y=﹣（x﹣ ）2+4 或 y=﹣（x﹣ ）2+4．点评：此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，勾
股定理的逆定理，三角函数的定义，三角形的面积、两函数交点坐标的求法，函数平
移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结合思想
与分类讨论思想的应用．
（2013•三明）如图，△ABC 的顶点坐标分别为 A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC
沿直线 BC 翻折，点 A 的对应点为 D，抛物线 y=ax2﹣10ax+c 经过点 C，顶点 M 在直线 BC
上．
（1）证明四边形 ABCD 是菱形，并求点 D 的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点 P，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点 P
的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题 4
分析：（1）根据两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质可得 AB=BD=CD=AC，根据
菱形的判定和性质可得点 D 的坐标；
（2）根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设 M 的坐标为（5，n），直线 BC 的解析
式为 y=kx+b，根据待定系数法可求 M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数
表达式；
（3）分点 P 在 CD 的上面和点 P 在 CD 的下面两种情况，根据等底等高的三角形面
积相等可求点 P 的坐标．
解答：（1）证明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），
∴AB=6+4=10，AC= =10，
∴AB=AC，
由翻折可得，AB=BD，AC=CD，
∴AB=BD=CD=AC，
∴四边形 ABCD 是菱形，
∴CD∥AB，
∵C（0，8），
∴点 D 的坐标是（10，8）；
（2）∵y=ax2﹣10ax+c，
∴对称轴为直线 x=﹣ =5．
设 M 的坐标为（5，n），直线 BC 的解析式为 y=kx+b，
∴ ，
解得 ．
∴y=﹣2x+8．
∵点 M 在直线 y=﹣2x+8 上，∴n=﹣2×5+8=﹣2．
又∵抛物线 y=ax2﹣10ax+c 经过点 C 和 M，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的函数表达式为 y= x2﹣4x+8；
（3）存在．
△PBD 与△PCD 的面积相等，点 P 的坐标为 P1（ ， ），P2（﹣5，38）．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的
性质，菱形的判定和性质，对称轴公式，待定系数法的运用，等底等高的三角形面积
相等，分类思想的运用．
（2013•漳州）如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．动点 P 从点 A 出发，沿 AB
方向以 1cm/s 的速度向点 B 运动，动点 Q 从点 B 同时出发，沿 BA 方向以 1cm/s 的速度向点
A 运动．当点 P 到达点 B 时，P，Q 两点同时停止运动，以 AP 为一边向上作正方形 APDE，
过点 Q 作 QF∥BC，交 AC 于点 F．设点 P 的运动时间为 ts，正方形和梯形重合部分的面积为
Scm2．
（1）当 t= s 时，点 P 与点 Q 重合；
（2）当 t= s 时，点 D 在 QF 上；
（3）当点 P 在 Q，B 两点之间（不包括 Q，B 两点）时，求 S 与 t 之间的函数关系式．
（2013•漳州）已知抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B
的左侧），与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点．
（1）A 的坐标是 ，B 的坐标是 ；
（2）过点 D 作 DH 丄 y 轴于点 H，若 DH=HC，求 a 的值和直线 CD 的解析式；
2 2 3 ( 0)y ax ax a a= − − 1( , )A n y 2( 1, )B n y+ 3( 2, )C n y+
2 2 2 2 2 2 2 2(( 1) ) (( ( 1) ( 1)) ( )) (( 2) ( 1)) ((( ( 2) ( 2)) (( ( 1) ( 1)))n n n a n n an n n n a n n a n+ − + − + + + − − + = + − + + − + + + − − + + +
2 2 2 2 2 2 2 2(( 1) ) (( ( 1) ( 1)) ( )) (( 2) ( 1)) ((( ( 2) ( 2)) (( ( 1) ( 1)))n n n a n n an n n n a n n a n+ − + − + + + − − + = + − + + − + + + − − + + +
2 2 2 2 2 2(( ( 1) ( 1)) ( )) ((( ( 2) ( 2)) (( ( 1) ( 1)))n a n n an n a n n a n− + + + − − + = − + + + − − + + +
2 2( 2 1 ) ( 2 3 )n a n a− − + = − − +
1 12n a= −
－1
y
xO
（第 28 题）
1
2
3
4
－2
－4
－3
3
－1
－2－3－4 41 2
（2013•南宁）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A
．
图象关于直线 x=1 对称 B．函数 ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4
C．﹣1 和 3 是方程 ax2+bx+c（a≠0）的两个
根
D
．
当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大
考点：二次函数的性质．3718684
分析：根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况，结合二次函数的性质，即可对所得结论进行判
断．
解答：解：A、观察图象，可知抛物线的对称轴为直线 x=1，则图象关于直线 x=1 对称，正
确，故本选项不符合题意；
B、观察图象，可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），又抛物线开口向上，所以函数
ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，正确，故本选项不符合题意；
C、由图象可知抛物线与 x 轴的一个交点为（﹣1，0），而对称轴为直线 x=1，所以抛
物线与 x 轴的另外一个交点为（3，0），则﹣1 和 3 是方程 ax2+bx+c（a≠0）的两个根，
正确，故本选项不符合题意；
D、由抛物线的对称轴为 x=1，所以当 xx＜1 时，y 随 x 的增大而减小，错误，故本
选项符合题意．
故选 D．
点评：此题考查了二次函数的性质和图象，解题的关键是利用数形结合思想解题．
（2013•南宁）如图，抛物线 y=ax2+c（a≠0）经过 C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直
线 y=kx 交于 A、B 两点，直线 l 过点 E（0，﹣2）且平行于 x 轴，过 A、B 两点分别作直线
l 的垂线，垂足分别为点 M、N．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求证：AO=AM；
（3）探究：①当 k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，求出此时 的值；
②试说明无论 k 取何值， 的值都等于同一个常数．
考点：二次函数综合题．3718684
专题：代数几何综合题．
分析：（1）把点 C、D 的坐标代入抛物线解析式求出 a、c，即可得解；
（2）根据抛物线解析式设出点 A 的坐标，然后求出 AO、AM 的长，即可得证；
（3）①k=0 时，求出 AM、BN 的长，然后代入 + 计算即可得解；
②设点 A（x1， x12﹣1），B（x2， x22﹣1），然后表示出 + ，再联立抛物线与
直线解析式，消掉未知数 y 得到关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出
x1+x2，x1•2，并求出 x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．
解答：（1）解：∵抛物线 y=ax2+c（a≠0）经过 C（2，0），D（0，﹣1），
∴ ，
解得 ，
所以，抛物线的解析式为 y= x2﹣1；
（2）证明：设点 A 的坐标为（m， m2﹣1），
则 AO= = m2+1，
∵直线 l 过点 E（0，﹣2）且平行于 x 轴，
∴点 M 的纵坐标为﹣2，
∴AM= m2﹣1﹣（﹣2）= m2+1，∴AO=AM；
（3）解：①k=0 时，直线 y=kx 与 x 轴重合，点 A、B 在 x 轴上，
∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，
∴ + = + =1；
②k 取任何值时，设点 A（x1， x12﹣1），B（x2， x22﹣1），
则 + = + = = ，
联立 ，
消掉 y 得，x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，
x12•x22=16，
∴ + = = =1，
∴无论 k 取何值， + 的值都等于同一个常数 1．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及
点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点 A、B 的坐标，
然后用含有 k 的式子表示出 + 是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要
认真仔细．
（2013•钦州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y= x2+2x 与 x 轴相交
于 O、B，顶点为 A，连接 OA．
（1）求点 A 的坐标和∠AOB 的度数；
（2）若将抛物线 y= x2+2x 向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线 m，其
顶点为点 C．连接 OC 和 AC，把△AOC 沿 OA 翻折得到四边形 ACOC′．试判断其形状，并
说明理由；
（3）在（2）的情况下，判断点 C′是否在抛物线 y= x2+2x 上，请说明理由；
（4）若点 P 为 x 轴上的一个动点，试探究在抛物线 m 上是否存在点 Q，使以点 O、P、C、
Q 为顶点的四边形是平行四边形，且 OC 为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点 Q
的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．3718684
专题：探究型．
分析：（1）由 y= x2+2x 得，y= （x﹣2）2﹣2，故可得出抛物线的顶点 A 的坐标，令
x2+2x=0 得出点 B 的坐标过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，由∠ADO=90°可知点 D 的坐
标，故可得出 OD=AD，由此即可得出结论；
（2）由题意可知抛物线 m 的二次项系数为 ，由此可得抛物线 m 的解析式过点 C 作
CE⊥x 轴，垂足为 E；过点 A 作 AF⊥CE，垂足为 F，与 y 轴交与点 H，根据勾股定理
可求出 OC 的长，同理可得 AC 的长，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，
OC=AC=OC′=AC′，由此即可得出结论；
（3）过点 C′作 C′G⊥x 轴，垂足为 G，由于 OC 和 OC′关于 OA 对称，
∠AOB=∠AOH=45°，故可得出∠COH=∠C′OG，再根据 CE∥OH 可知∠OCE=∠C′OG，
根据全等三角形的判定定理可知△CEO≌△C′GO，故可得出点 C′的坐标把 x=﹣4 代入
抛物线 y= x2+2x 进行检验即可得出结论；
（4）由于点 P 为 x 轴上的一个动点，点 Q 在抛物线 m 上，故设 Q（a， （a﹣2）
2﹣4），由于 OC 为该四边形的一条边，故 OP 为对角线，由于点 P 在 x 轴上，根据中
点坐标的定义即可得出 a 的值，故可得出结论．
解答：解：（1）∵由 y= x2+2x 得，y= （x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的顶点 A 的坐标为（﹣2，﹣2），
令 x2+2x=0，解得 x1=0，x2=﹣4，
∴点 B 的坐标为（﹣4，0），
过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，
∴∠ADO=90°，
∴点 A 的坐标为（﹣2，﹣2），点 D 的坐标为（﹣2，0），
∴OD=AD=2，
∴∠AOB=45°；
（2）四边形 ACOC′为菱形．由题意可知抛物线 m 的二次项系数为 ，且过顶点 C 的坐标是（2，﹣4），
∴抛物线的解析式为：y= （x﹣2）2﹣4，即 y= x2﹣2x﹣2，
过点 C 作 CE⊥x 轴，垂足为 E；过点 A 作 AF⊥CE，垂足为 F，与 y 轴交与点 H，
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2，
∴OC= = =2 ，
同理，AC=2 ，OC=AC，
由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′，
故四边形 ACOC′为菱形．
（3）如图 1，点 C′不在抛物线 y= x2+2x 上．
理由如下：
过点 C′作 C′G⊥x 轴，垂足为 G，
∵OC 和 OC′关于 OA 对称，∠AOB=∠AOH=45°，
∴∠COH=∠C′OG，
∵CE∥OH，
∴∠OCE=∠C′OG，
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′，
∴△CEO≌△C′GO，
∴OG=4，C′G=2，
∴点 C′的坐标为（﹣4，2），
把 x=﹣4 代入抛物线 y= x2+2x 得 y=0，
∴点 C′不在抛物线 y= x2+2x 上；
（4）存在符合条件的点 Q．
∵点 P 为 x 轴上的一个动点，点 Q 在抛物线 m 上，
∴设 Q（a， （a﹣2）2﹣4），
∵OC 为该四边形的一条边，
∴OP 为对角线，
∴ =0，解得 x1=6，x2=4，
∴P（6，4）或（﹣2，4）（舍去），
∴点 Q 的坐标为（6，4）．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到抛物线的性质、菱形的判定与性质、平行四边
形的性质等知识，难度适中．
（2013•玉林）如图，抛物线 y=﹣（x﹣1）2+c 与 x 轴交于 A，B（A，B 分别在 y 轴的左右
两侧）两点，与 y 轴的正半轴交于点 C，顶点为 D，已知 A（﹣1，0）．
（1）求点 B，C 的坐标；
（2）判断△CDB 的形状并说明理由；
（3）将△COB 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE 与△CDB 重叠
部分（如图中阴影部分）面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点 B，C 的坐标；（2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形；
（3）△COB 沿 x 轴向右平移过程中，分两个阶段：
（I）当 0＜t≤ 时，如答图 2 所示，此时重叠部分为一个四边形；
（II）当 ＜t＜3 时，如答图 3 所示，此时重叠部分为一个三角形．
解答：解：（1）∵点 A（﹣1，0）在抛物线 y=﹣（x﹣1）2+c 上，
∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得 c=4，
∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，
令 x=0，得 y=3，∴C（0，3）；
令 y=0，得 x=﹣1 或 x=3，∴B（3，0）．
（2）△CDB 为直角三角形．理由如下：
由抛物线解析式，得顶点 D 的坐标为（1，4）．
如答图 1 所示，过点 D 作 DM⊥x 轴于点 M，则 OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．
过点 C 作 CN⊥DM 于点 N，则 CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．
在 Rt△OBC 中，由勾股定理得：BC= = = ；
在 Rt△CND 中，由勾股定理得：CD= = = ；
在 Rt△BMD 中，由勾股定理得：BD= = = ．
∵BC2+CD2=BD2，
∴△CDB 为直角三角形（勾股定理的逆定理）．
（3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），
∴ ，
解得 k=﹣1，b=3，
∴y=﹣x+3，
直线 QE 是直线 BC 向右平移 t 个单位得到，
∴直线 QE 的解析式为：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；
设直线 BD 的解析式为 y=mx+m，∵B（3，0），D（1，4），
∴ ，
解得：m=﹣2，n=6，
∴y=﹣2x+6．
连接 CQ 并延长，射线 CQ 交 BD 于点 G，则 G（ ，3）．
在△COB 向右平移的过程中：
（I）当 0＜t≤ 时，如答图 2 所示：
设 PQ 与 BC 交于点 K，可得 QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．设 QE 与 BD 的交点为 F，则： ，解得 ，∴F（3﹣t，2t）．
S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE= PE•PQ﹣ PB•PK﹣ BE•yF= ×3×3﹣ （3﹣t）2﹣ t•2t=
t2+3t；
（II）当 ＜t＜3 时，如答图 3 所示：
设 PQ 分别与 BC、BD 交于点 K、点 J．
∵CQ=t，
∴KQ=t，PK=PB=3﹣t．
直线 BD 解析式为 y=﹣2x+6，令 x=t，得 y=6﹣2t，
∴J（t，6﹣2t）．
S=S△PBJ﹣S△PBK= PB•PJ﹣ PB•PK= （3﹣t）（6﹣2t）﹣ （3﹣t）2= t2﹣3t+ ．
综上所述，S 与 t 的函数关系式为：
S= ．点评：本题是运动型二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函
数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、图形面积计算等知识点．难点在于第（3）
问，弄清图形运动过程是解题的先决条件，在计算图形面积时，要充分利用各种图形
面积的和差关系．
（2013•包头）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b＜0；
②4a+2b+c＜0；③a﹣b+c＞0；④（a+c）2＜b2．其中正确的结论是（ ）
A
．
①② B．①③ C．①③④ D
．
①②③④
考点：二次函数图象与系数的关系．3718684
分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，
利用图象将 x=1，﹣1，2 代入函数解析式判断 y 的值，进而对所得结论进行判断．
解答：解：①图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧，能得到：a＞0，﹣ ＞0，则 b＜0，正
确；
②∵对称轴为直线 x=1，∴x=2 与 x=0 时的函数值相等，∴当 x=2 时，y=4a+2b+c＞0，
错误；
③当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＞0，正确；
④∵a﹣b+c＞0，∴a+c＞b；∵当 x=1 时，y=a+b+c＜0，∴a+c＜﹣b；∴b＜a+c＜﹣b，∴|a+c|
＜|b|，∴（a+c）2＜b2，正确．
所以正确的结论是①③④．
故选 C．
点评：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关
系，以及二次函数与方程之间的转换，将 x=1，﹣1，2 代入函数解析式判断 y 的值是解题关键，得出 b＜a+c＜﹣b 是本题的难点．
（2013•包头）已知抛物线 y=x2﹣3x﹣ 的顶点为点 D，并与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A
在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C．
（1）求点 A、B、C、D 的坐标；
（2）在 y 轴的正半轴上是否存在点 P，使以点 P、O、A 为顶点的三角形与△AOC 相似？若
存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）取点 E（﹣ ，0）和点 F（0，﹣ ），直线 l 经过 E、F 两点，点 G 是线段 BD 的中
点．
①点 G 是否在直线 l 上，请说明理由；
②在抛物线上是否存在点 M，使点 M 关于直线 l 的对称点在 x 轴上？若存在，求出点 M 的
坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．3718684
专题：代数几何综合题．
分析：（1）令 y=0，解关于 x 的一元二次方程求出 A、B 的坐标，令 x=0 求出点 C 的坐标，
再根据顶点坐标公式计算即可求出顶点 D 的坐标；
（2）根据点 A、C 的坐标求出 OA、OC 的长，再分 OA 和 OA 是对应边，OA 和 OC
是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出 OP 的长，从而得解；
（3）①设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式求出
直线 l 的解析式，再利用中点公式求出点 G 的坐标，然后根据直线上点的坐标特征验
证即可；
②设抛物线的对称轴与 x 轴交点为 H，求出 OE、OF、HD、HB 的长，然后求出△OEF
和△HDB 相似，根据相似三角形对应角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出 EG⊥BD，
从而得到直线 l 是线段 BD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点 D 关于直线
l 的对称点就是 B，从而判断出点 M 就是直线 DE 与抛物线的交点，再设直线 DE 的
解析式为 ymx+n，利用待定系数法求一次函数解析求出直线 DE 的解析式，然后与抛
物线解析式联立求解即可得到符合条件的点 M．
解答：解：（1）令 y=0，则 x2﹣3x﹣ =0，整理得，4x2﹣12x﹣7=0，解得 x1=﹣ ，x2= ，
所以，A（﹣ ，0），B（ ，0），
令 x=0，则 y=﹣ ，
所以，C（0，﹣ ），
∵﹣ =﹣ = ， = =﹣4，
∴顶点 D（ ，﹣4）；
（2）在 y 轴正半轴上存在符合条件的点 P，设点 P 的坐标为（0，y），
∵A（﹣ ，0），C（0，﹣ ），
∴OA= ，OC= ，OP=y，
①若 OA 和 OA 是对应边，则△AOP∽△AOC，
∴ = ，
y=OC= ，
此时点 P（0， ），
②若 OA 和 OC 是对应边，则△POA∽△AOC，
∴ = ，
即 = ，
解得 y= ，
此时点 P（0， ），
所以，符合条件的点 P 有两个，P（0， ）或（0， ）；
（3）①设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k≠0），
∵直线 l 经过点 E（﹣ ，0）和点 F（0，﹣ ），∴ ，
解得 ，
所以，直线 l 的解析式为 y=﹣ x﹣ ，
∵B（ ，0），D（ ，﹣4），
（ + ）= ， [0+（﹣4）]=﹣2，
∴线段 BD 的中点 G 的坐标为（ ，﹣2），
当 x= 时，y=﹣ × ﹣ =﹣2，
所以，点 G 在直线 l 上；
②在抛物线上存在符合条件的点 M．
设抛物线的对称轴与 x 轴交点为 H，则点 H 的坐标为（ ，0），
∵E（﹣ ，0）、F（0，﹣ ），B（ ，0）、D（ ，﹣4），
∴OE= ，OF= ，HD=4，HB= ﹣ =2，
∵ = = ，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB，
∴∠OFE=∠HBD，
∵∠OEF+∠OFE=90°，
∴∠OEF+∠HBD=90°，
∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD）=180°﹣90°=90°，
∴直线 l 是线段 BD 的垂直平分线，
∴点 D 关于直线 l 的对称点就是点 B，
∴点 M 就是直线 DE 与抛物线的交点，
设直线 DE 的解析式为 y=mx+n，
∵D（ ，﹣4），（﹣ ，0），
∴ ，解得 ，
所以，直线 DE 的解析式为 y=﹣ x﹣2，
联立 ，
解得 ， ，
∴符合条件的点 M 有两个，是（ ，﹣4）或（ ，﹣ ）．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点的求解，求顶点坐标，
待定系数法求一次函数解析式，点在直线上的验证，相似三角形的判定与性质，联立
两函数解析式求交点坐标的方法，综合性较强，难度较大，（2）要根据对应边的不同
分情况讨论，（3）求出直线 l 是线段 BD 的垂直平分线是解题的关键．
（2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数 y=mx+m 和 y=﹣mx2+2x+2（m 是常数，
且 m≠0）的图象可能是（ ）[来源:z&zstep*~@.^com]
A
．
B． C． D
．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象．3718684
分析：本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是 m 的正负的确定，对于二次函数 y=ax2+bx+c，当 a＞0 时，开口向上；当 a＜0 时，开口向下．对称
轴为 x= ，与 y 轴的交点坐标为（0，c）．
解答：解：当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴 x= ＜0，
这时二次函数图象的对称轴在 y 轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．故选 D．
点评：主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的
性质才能灵活解题．
（2013•呼和浩特）如图，已知二次函数的图象经过点 A（6，0）、B（﹣2，0）和点 C（0，
﹣8）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的顶点为 M，若点 K 为 x 轴上的动点，当△KCM 的周长最小时，
点 K 的坐标为 （ ，0） ；
（3）连接 AC，有两动点 P、Q 同时从点 O 出发，其中点 P 以每秒 3 个单位长度的速度沿
折线 OAC 按 O→A→C 的路线运动，点 Q 以每秒 8 个单位长度的速度沿折线 OCA 按
O→C→A 的路线运动，当 P、Q 两点相遇时，它们都停止运动，设 P、Q 同时从点 O 出发 t
秒时，△OPQ 的面积为 S．
①请问 P、Q 两点在运动过程中，是否存在 PQ∥OC？若存在，请求出此时 t 的值；若不存
在，请说明理由；
②请求出 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围；
③设 S0 是②中函数 S 的最大值，直接写出 S0 的值．
考点：二次函数综合题．3718684
分析：（1）根据已知的与 x 轴的两个交点坐标和经过的一点利用交点式求二次函数的解析
式即可；
（2）首先根据上题求得的函数的解析式确定顶点坐标，然后求得点 C 关于 x 轴的对
称点的坐标 C′，从而求得直线 C′M 的解析式，求得与 x 轴的交点坐标即可；
（3）（3）①如果 DE∥OC，此时点 D，E 应分别在线段 OA，CA 上，先求出这个区
间 t 的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时 t 的值，然后看 t 的
值是否符合此种情况下 t 的取值范围．如果符合则这个 t 的值就是所求的值，如果不
符合，那么就说明不存在这样的 t．
②本题要分三种情况进行讨论：当 E 在 OC 上，D 在 OA 上，即当 0≤t≤1 时，此时 S= OE•OD，由此可得出关于 S，t
的函数关系式；
当 E 在 CA 上，D 在 OA 上，即当 1＜t≤2 时，此时 S= OD×E 点的纵坐标．由此可得
出关于 S，t 的函数关系式；
当 E，D 都在 CA 上时，即当 2＜t＜ 相遇时用的时间，此时 S=S△AOE﹣S△AOD，由
此可得出 S，t 的函数关系式；
综上所述，可得出不同的 t 的取值范围内，函数的不同表达式．
③根据②的函数即可得出 S 的最大值．
解答：解：（1）设二次函数的解析式为 y=a（x+2）（x﹣6）
∵图象过点（0，﹣8）
∴a=
∴二次函数的解析式为 y= x2﹣ x﹣8；
（2）∵y= x2﹣ x﹣8= （x2﹣4x+4﹣4）﹣8= （x﹣2）2﹣
∴点 M 的坐标为（2，﹣ ）
∵点 C 的坐标为（0，﹣8），
∴点 C 关于 x 轴对称的点 C′的坐标为（0，8）
∴直线 C′M 的解析式为：y=﹣ x+8
令 y=0
得﹣ x+8=0
解得：x=
∴点 K 的坐标为（ ，0）；
（3）①不存在 PQ∥OC，
若 PQ∥OC，则点 P，Q 分别在线段 OA，CA 上，
此时，1＜t＜2
∵PQ∥OC，
∴△APQ∽△AOC
∴
∵AP=6﹣3t
AQ=18﹣8t，∴
∴t=
∵t= ＞2 不满足 1＜t＜2；
∴不存在 PQ∥OC；
②分情况讨论如下，
情况 1：0≤t≤1
S= OP•OQ= ×3t×8t=12t2；
情况 2：1＜t≤2
作 QE⊥OA，垂足为 E，
S= OP•EQ= ×3t× =﹣ +
情况 3：2＜t＜
作 OF⊥AC，垂足为 F，则 OF=
S= QP•OF= ×（24﹣11t）× =﹣ + ；
③当 0≤t≤1 时，S=12t2，函数的最大值是 12；
当 1＜t≤2 时，S=﹣ + ，函数的最大值是 ；
当 2＜t＜ ，S= QP•OF=﹣ + ，函数的最大值为 ；
∴S0 的值为 ．点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用等知识点，综合性
较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
（2013•毕节）将二次函数 的图像向右平移一个单位长度，再向上平移 3 个单位长度
所得的图像解析式为（ C ）
A. B.
C. D.
（2013•毕节）如图，抛物线 与 轴交于点 A、B，且 A 点的坐标为（1,0），
与 y 轴交于点 C（0，1）。
（1）求抛物线的解析式，并求出点 B 坐标；
（2）过点 B 作 BD∥CA 交抛物线与点 D，连接 BC、CA、AD，求四边形 ABCD 的周长；
（结果保留根号）
（3）在 轴上方的抛物线上是否存在点 P，过点 P 作 PE 垂直于 轴，垂足
为点 E，是以 B、P、E 为顶点的三角形与△CBD 相似，若存在请求出 P 点的
坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）因为 A（1,0），C（0，1）在抛物线 上，
将 =1，y=0 和 =0，y=1 分别代入 解得： =-1，b=1
即抛物线解析式为：
因为抛物线 的对称轴为 y 轴，所以 B 与 A 关于 y 轴对称，
即 B（-1，0）
（2）过 D 作 DE⊥ 轴于点 E，
因为 D 点在抛物线 上，设 D（ ， ），
即 OE= ,DE=| |
因为 A（1,0），B（-1，0），C（0，1）
所以 OA=OB=OC=1，△AOC、△BOC、△ABC 为等腰 Rt△，
AC=BC= = ，∠CAB=45°。
由 BD∥CA 得：∠DBE=∠CAB=45°,BE=DE
因为 BE=OE+OB= +1，所以| |= +1，
由于 D 在第四象限， 2-1= +1，解之得 1=-1（不合题意，舍去）， 2=2 .
所以 D（2，-3），BE=DE=3，BD=
又因为 AE=OE-OA=2-1=1，所以 AD=
即四边形 ABCD 的周长为：AC+BC+BD+AD= + +3 + =5 +
（3）存在。求解过程如下：
设 P（ ， ），其中 -1＜ ＜1,由此可得：BE= +1，EP=
由（2）知∠CBD=∠DBE+∠ABC=45°+45°=90°,即△CBD 为 Rt△.
当以 B、P、E 为顶点的三角形与△CBD 相似时，主要有下列两种情况：
① Rt△BEP∽Rt△CBD 时， .
由（2）知，CB= ,BD=3 ,即 ，
化简整理得： 2+3 +2=0，解之得： 1= -1 ， 2= -2 （均不合题意，舍去）
此时无符合条件的 P 点坐标。
2y x=
2( 1) 3y x= − + 2( 1) 3y x= + +
2( 1) 3y x= − − 2( 1) 3y x= + −
2y ax b= + x
x x
2y ax b= +
x x 2y ax b= + a
12 +−= xy
12 +−= xy
x
12 +−= xy x 12 +− x
x 12 +− x
22 11 + 2
x 12 +− x x
x x x x
2333 2222 =+=+ DEBE
1031 2222 =+=+ DEAE
2 2 2 10 2 10
m 12 +− m m m 12 +− m
BD
EP
CB
BE =
2 2
23
1
2
1 2 +−=+ mm
m m m m② Rt△PEB∽Rt△CBD 时， .
由（2）知，CB= ,BD=3 ,即 ，
化简整理得：3 2 + -2=0，解之得： 1= -1 （均不合题意，舍去）， 2=
此时符合条件的 P 点坐标为( , )
综上所述，符合条件的 P 点坐标为( , )
（2013•遵义）二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图如图所示，若 M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，
P=2a﹣b．则 M，N，P 中，值小于 0 的数有（ ）
A
．
3 个 B．2 个 C．1 个 D
．
0 个
考点：二次函数图象与系数的关系．3718684
专题：计算题．
分析：根据图象得到 x=﹣2 时对应的函数值小于 0，得到 N=4a﹣2b+c 的值小于 0，根据对
称轴在直线 x=﹣1 右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到 a 小于 0，
变形即可对于 P 作出判断，根据 a，b，c 的符号判断得出 a+b﹣c 的符号．
解答：解：∵图象开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在 y 轴左侧，
∴a，b 同号，
∴a＜0，b＜0，
∵图象经过 y 轴正半轴，
∴c＞0，
∴M=a+b﹣c＜0，
当 x=﹣2 时，y=4a﹣2b+c＜0，
∴N=4a﹣2b+c＜0，
∵﹣ ＞﹣1，
∴ ＜1，
∴b＞2a，
∴2a﹣b＜0，
∴P=2a﹣b＜0，
则 M，N，P 中，值小于 0 的数有 M，N，P．
DB
BE
BC
EP =
2 2
23
1
2
12 +=+− mm
m m m m 3
2
3
2
9
5
3
2
9
5故选：A．
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象判断出对称轴以及 a，b，c 的
符号是解题关键．
（2013•北京）请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________
答案：y＝x2＋1
解析：此题答案不唯一，只要二次项系数大于 0，经过点（0,1）即可。
（2013•北京）在平面直角坐标系 O 中，抛物线
（ ）与 轴交于点 A，其对称轴与 轴交于点 B。
（1）求点 A，B 的坐标；
（2）设直线与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；
（3）若该抛物线在 这一段位于直线的上方，并且在 这一段位于
直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式。
解析：【解析】（1）当 时， .
∴
抛物线对称轴为
∴
（2）易得 点关于对称轴的对称点为
则直线 经过 、 .
没直线的解析式为
则 ，解得 [来源:#z~zste*p.%co&m]
∴直线的解析式为
（3）∵抛物线对称轴为
抛物体在 这一段与在 这一段关于对称轴对称
结合图象可以观察到抛物线在 这一段位于直线 的上方
在 这一段位于直线 的下方；
∴抛物线与直线 的交点横坐标为 ；
当 时，
则抛物线过点（-1，4）
x y
222 −−= mxmxy 0≠m y x
12 −
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