奥数练习六.doc

奥数练习 1．抛物线 与直线 x＝1，x＝2，y＝1，y＝2 围成的正方形有公共点， 则求 a 的取值范围． 2．点（x，y）满足方程 ，求它的图像所围成的区域的面 积． 3．二次函数 （a≠0）的图像如图所示． （1）试判断 a、b、c 及 的范围． （2）若|OA|＝|OB|，试证：ac＋b＋1＝0． 4．已知方程 有一个根小于－2，其余三个根大于－1， 试求 a 的取值范围． 参考答案 1．由题意知 a＞0，当 a＞0 时，a 值越大，抛物线张口越小，设正方形的四 个顶点为 A、B、C、D，抛物线通过 A（1，2）及 C（2，1）时得到 a 的最大值 和最小值，把 x＝1，y＝2 代入 得 a＝2，把 x＝2，y＝1 代入 得 ，即有 ． 2．如图所示，当 x≥1，y≥－2 时，x－1＋y＋2＝2 即 y＝－x＋1． 当 x≥1，y＜－2 时，y＝x－5． 当 x＜1，y≥－2 时，y＝x－1． 当 x＜1，y＜－2 时，y＝－x－3． 2axy = 2|2||1| =++− yx cbxaxy ++= 2 acb 42 − 03)3( 24 =+−− axaax 2axy = 2axy = 4 1=a 24 1 ≤≤ a图像所示．可知其图像是一个对角线长为 4，边长为 的正方形，故所求 区域面积为 ． 3．（1）因抛物线开口向上，故 a＞0．又因抛物线顶点在第四象限，故 ，即 b＞0．又因抛物线和 x 轴有两个交点，且和 y 轴的交点在 y 轴的负 方向上，故 ，c＜0． （2）解方程 ，得方程的两根为 ，故抛物线与 x 轴的两个交点坐标为 ， ．故 （ ∵ ）， 又 ， ，所以 ，整理得 ac（ac＋b＋1）＝0．又 ac≠0， 故 ac＋b＋1＝0． 4．如图所示，设 ，则 ．显然原方程有四个 非零的实根，否则，若 x＝0 可推得 a＝0，不合题意，于是方程 f（t）＝0，必有 两个正根．因而原方程四个根必为两对互为相反数，而已知原方程一个根小于－ 2，则必有一个根大于 2，即方程 f（t）＝0 有一个根大于 4．又由于原方程另外 三个根都大于－1，即除了大于 4 的一个根外，另外两个根必互为相反数，则这 两个根必一根在－1 和 0 之间，另一根在 0 和 1 之间．所以方程 f（t）＝0 的另 一个根必在 0 与 1 之间．当 a＞0 时，由 y＝f（t）的图像可知 a 必须满足 即 而此不等式组的解集为空集．当 a＜0 时，由 y＝f（t）的图像（如图所示） 可知，a 必须满足 22 8)22( 2 = 02 >− a b 042 >− acb 02 =++ cbxax a acbb 2 42 −±− )02 4( 2 ， a acbbA −−− )02 4( 2 ， a acbbB −+− =|| OA |2 4| 2 a acbb −−− a acbb 2 42 −+= 22 4 bacb >− cOB −=|| |||| OBOA = ca acbb −=−+ 2 42 tx =2 03)3()( 2 =+−−= ataattf       < < > > ，0)4( 0)1( 0)0( 0 f f f a       ，03)3(416 03)3( 03 0 aaa aaa a a即 解得 所以 ．故 a 的取值范围是 ．       > > < < ，0)4( 0)1( 0)0( 0 f f f a       >+−− >+−− < < ．03)3(416 03)3( 03 0 aaa aaa a a        −> −> < ， 5 4 1 0 a a a 05 4