2.3.1离散型随机变量的均值教案 新人教版选修2-3.doc

§2．3 离散型随机变量的均值与方差 §2．3．1 离散型随机变量的均值 教学目标： 知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期 望． 过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ B（n,p），则 Eξ=np”.能熟练地应用它们求 相应的离散型随机变量的均值或期望。 情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教学过程： 一、复习引入： 1.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在 n 次独立 重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 ，（k＝0,1,2,…，n， ）． 于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P … … 称 这 样 的 随 机 变 量 ξ 服 从 二 项 分 布 ， 记 作 ξ～B(n，p)，其中 n，p 为参数，并记 ＝ b(k；n，p)． 二、讲解新课： 根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远 不止于此，例如：已知某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下 ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在 n 次射击之前，可以根据这个分布列估计 n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随 机变量的均值或期望 根据射手射击所得环数 ξ 的分布列， 我们可以估计，在 n 次射击中，预计大约有　　 　　次得 4 环； 　　 　　次得 5 环； ………… 　　次得 10 环． 故在 n 次射击的总环数大约为  knkk nn qpCkP −== )(ξ pq −= 1 n n qpC 00 111 −n n qpC knkk n qpC − 0qpC nn n knkk n qpC − nnP 02.0)4( =×=ξ nnP 04.0)5( =×=ξ nnP 22.0)10( =×=ξ， 从而，预计 n 次射击的平均环数约为 ． 这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数， 它反映了射手射击的平均水平． 对于任一射手，若已知其射击所得环数 ξ 的分布列，即已知各个 （i=0，1，2，…，10）， 我们可以同样预计他任意 n 次射击的平均环数: … ． 1. 均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 … … 为 ξ 的均值或数学期望，简称期望． 2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 平均数、均值: 一般地，在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中，令 … ，则有 … ， … ，所以 ξ 的数学期望又称为平均数、均值 4. 均值或期望的一个性质: 若 (a、b 是常数)，ξ 是随机变量，则 η 也是随机变量，它们的分布列为 ξ x1 x2 … xn … η … … P p1 p2 … pn … 于是 … … ＝ … …) … …) ＝ ， 由此，我们得到了期望的一个性质: 5.若ξ B（n,p），则 Eξ=np +×× n02.04 ++×× n04.05 n×× 22.010 +×= 02.04( ++× 04.05 n×× )22.010 +× 02.04 ++× 04.05 32.822.010 =× )( iP =ξ +=× )0(0 ξP +=× )1(1 ξP )10(10 =×+ ξP =ξE +11 px +22 px ++ nn px =1p =2p np= =1p =2p npn 1== =ξE +1(x +2x nxn 1)×+ ba += ξη bax +1 bax +2 baxn + =ηE ++ 11 )( pbax ++ 22 )( pbax +++ nn pbax )( +11( pxa +22 px ++ nn px ++ 1( pb +2p ++ np baE +ξ baEbaE +=+ ξξ )( 证明如下： ∵　 ， ∴　 0× ＋1× ＋2× ＋…＋k× ＋…＋n× ． 又∵ ， ∴ ＋ ＋ … ＋ ＋ … ＋ ． 故　　若 ξ～B(n，p)，则 np． 三、讲解范例： 例 1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分，已知他命中的概率为 0.7，求他罚球一次 得分 的期望 解：因为 ， 所以 例 2. 一次单元测验由 20 个选择题构成，每个选择题有 4 个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每 题选择正确答案得 5 分，不作出选择或选错不得分，满分 100 分 学生甲选对任一题的概率为 0.9，学生乙 则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是 ，则 ~ B（20,0.9）, , 由于答对每题得 5 分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是 5 和 5 所以，他们在测验中 的成绩的期望分别是： 例 3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数 的期望 解：∵ ， =3.5 例 4.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 ξ 的数学期望． knkk n knkk n qpCppCkP −− =−== )1()(ξ =ξE n n qpC 00 111 −n n qpC 222 −n n qpC knkk n qpC − 0qpC nn n 1 1)]!1()1[()!1( )!1( )!(! ! − −=−−−− −⋅=−⋅= k n k n nCknk nn knk nkkC =ξE (np 0 0 1 1 n nC p q − − 211 1 − − n n qpC )1()1(11 1 −−−−− − knkk n qpC )011 1 qpC nn n −− − npqpnp n =+= −1)( =ξE ξ 3.0)0(,7.0)1( ==== ξξ PP 7.03.007.01 =×+×=ξE ηξ, ξ )25.0,20(~ Bη 525.020,189.020 =×==×=∴ ηξ EE ξ η 2555)(5)5(,90185)(5)5( =×===×== ηηξξ EEEE ξ 6,,2,1,6/1)( ⋅⋅⋅=== iiP ξ 6/166/126/11 ×+⋅⋅⋅+×+×=∴ ξE解：抛掷骰子所得点数 ξ 的概率分布为 ξ 1 2 3 4 5 6 P 所以 1× ＋2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6× ＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)× ＝3.5． 抛掷骰子所得点数 ξ 的数学期望，就是 ξ 的所有可能取值的平均值． 四、课堂练习： 1. 口袋中有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，从中任取 3 球，以 表示取出球的最大号码，则 （ ） A．4；　　B．5；　　C．4.5；　　D．4.75 答案：C 2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的 1 分，罚不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7， 求 ⑴他罚球 1 次的得分 ξ 的数学期望； ⑵他罚球 2 次的得分 η 的数学期望； ⑶他罚球 3 次的得分 ξ 的数学期望． 3．设有 m 升水，其中含有大肠杆菌 n 个．今取水 1 升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为 ξ， 求 ξ 的数学期望． 五、小结 ： (1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； (2)求离散型随机变量 ξ 的期望的基本步骤： ①理解 ξ 的意义，写出 ξ 可能取的全部值； ②求 ξ 取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出 Eξ 公式 E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的 期望 Eξ=np 六、布置作业：练习册 七、板书设计（略） 八、教学反思： (1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； (2)求离散型随机变量 ξ 的期望的基本步骤： ①理解 ξ 的意义，写出 ξ 可能取的全部值； ②求 ξ 取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出 Eξ 公式 E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变 量的期望 Eξ=np。 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 =ξE 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 ξ Eξ =