3.1回归分析的基本思想及其初步应用第1课时教案 新人教版选修2-3.doc

§3.1 回归分析的基本思想及其初步（1） 【学情分析】： 教学对象是高二理科学生，学生已经初步学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知 识解决一些简单的实际问题。回归分析是数理统计中的重要内容，在教学中，要结合实例进行相关性检验， 理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义。在起点低的班级中注重让学生参与实践，结 合画图表的方法整理数据，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而认识统计方法的特点，达 到学习的目的。 【教学目标】： （ 1）知 识 与 技 能 ： 回忆线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤，了解 判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。 （ 2）过 程 与 方 法 ： 本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线 方程。 （ 3）情 感 态 度 与 价 值 观 ： 从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲， 培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。 【教学重点】： 1. 了解线性回归模型与函数模型的差异； 2. 了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。 【教学难点】： 1. 了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数； 2. 了解线性回归模型与一次函数模型的差异。 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、创设情 境 问题一：一般情况下，体重与身高有一定的关系，通常个子较高的人体重 比较大，但这是否一定正确？（是否存在普遍性） 师：提出问题，引导学生判断体重与身高之间的关系（函数关系、相 关关系） 生：思考、讨论。 问题二：统计方法解决问题的基本过程是什么？ 师：提出问题，引导学生回忆用最小二乘法求回归直线方程的方法。 生：回忆、叙述 回归分析的基本过程：⑴画出两个变量的散点图； ⑵判断是否线性相关 ⑶求回归直线方程（利用最小二乘法） ⑷并用回归直线方程进行预报 复习回归分析 用于解决什么样的 问题。 复习回归分析 的解题步骤 二、例题选 讲 探究活动：对于一组具有线性相关的数据（x ,y ）,(x ,y )……,(x ,y ),我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为： = + , 复习统计方法 解决问题的基本过 程。 学生动手画散 点图，老师用 EXCEL 1 1 2 2 n n ^ a − y ^ b − x = 其中 = , = .( , )称为样本点的中心。你能推导出 这两个计算公式吗？ 从已经学过的知识我们知道，截距 和斜率 分别是使 Q（α,β）= 取最小值时α，β的值。 由于 Q（α，β）= = = +2 + n( -β -α) , 注意到 =（ ） =（ ）［ ］ =（ ［n ］=0, 所以 Q（α,β）= + n( ) =β - 2β + 的作图工作演示， 并引导学生找出两 个变量之间的关系。 学生经历数据 处理的过程，并借 助 EXCEL 的统计功 能鼓励学生使用计 算器或计算机等现 代工具来处理数据。 ^ b ∑ ∑ = − −− = − −− n i i ii n i xx yyxx 1 2 1 )( ))(( − x n 1 ∑ = n i ix 1 − y n 1 ∑ = n i iy 1 − x − y ^ a ^ b ∑ = −− n i ii xy 1 2)( αβ ∑ = −−−− −−+−−− n i ii ］xyxyx［y 1 2)()( αβββ ∑ = −−−− −−−− −−+−− −−−+−−−n i iiii ｝］xy［］xy ］xyx［y］xyx｛y 1 2 2 )()( )(2)( αβαβ ββββ ∑ = −− −−− n i ii ］xyx［y 1 2)( ββ ∑ = −−−− −−−−− n i ii xy］xyx［y 1 )()( αβββ − y − x 2 ∑ = −−−− −−−−− n i ii xy］xyx［y 1 )()( αβββ αβ −− −− xy ∑ = −− −−− n i ii ］xyx［y 1 )( ββ αβ −− −− xy )( 1 1 −− = = −−−∑ ∑ xynxy n i n i ii ββ )αβ −− −− xy )( −−−− −−− xynxny ββ ∑ = −− −−− n i ii ］xyx［y 1 2)( ββ αβ −− −− xy 2 2 ∑ = − − n i i xx 1 2)( ∑ = −− −− n i ii yyxx 1 ))(( ∑ = − − n i i yy 1 2)(+n ( =n( + - + 在上式中，后两项和α，β无关，而前两项为非负数，因此要 Q 取得最 小值，当且仅当前两项的值均为 0，即有 β= ， α= . 这正是我们所要推导的公式。 下面我们通过案例，进一步学习学习回归分析的基本思想及其应用。 问题三：思考例 1：从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高和体重数 据如表所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预 报一名身高为 172cm 的女大学生的体重。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 题目中表达了哪些信息？ 师：读例 1 的要求，引导学生理解例题含义。 （例题含义：①数据体重与身高之间是一种不确定性的关系 ②求出以身高为自变量 x，体重为因变量 y 的回归方程。 ③由方程求出当 x = 172 时，y 的值。 生：思考、讨论、叙述自己的理解，归纳出题目中的信息。 根据以前所学的知识，让学生自己动手求出回归方程 求解过程如下： ①画出散点图，判断身高 x 与体重 y 之间存在什么关系（线性关 系）？ 2)αβ −− − xy 2)αβ −− −− xy ∑ ∑ ∑ = = − = −− − − −− −− n i n i i n i ii i ］ xx yyxx ［xx 1 2 1 2 12 )( ))(( )( β ∑ ∑ = − = −− − −− n i i n i ii xx ］yyxx［ 1 2 2 1 )( ))(( ∑ = − − n i i yy 1 2)( ∑ ∑ = − = −− − −− n i i n i ii xx yyxx 1 2 1 )( ))(( −− − xy β②列表求出相关的量，并求出线性回归方程 代入公式有 所以回归方程为 ③利用回归方程预报身高 172cm 的女大学生的体重约为多少？ 当 时， 引导学生复习总结求线性回归方程的步骤： 第一步：作散点图—→第二步：求回归方程—→第三步：代值计算 三、探究新 知 问题四：身高为 172cm 的女大学生的体重一定是 60.316kg 吗？ （不一定，但一般可以认为她的体重在 60.316kg 左右.） 师：提出问题，引导学生比较函数模型与线性回归模型的不同，并引 出相关系数的作用。 生：思考、讨论、解释 解释线性回归模型与一次函数的不同 从散点图可观察出，女大学生的体重 和身高 之间的关系并不能用 一次函数 来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模 型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为 165cm 的 3 名 女大学生的体重分别为 48kg、57kg 和 61kg，如果能用一次函数来描述体 引导学生了解 线性回归模型与一 次函数的不同 848.025.1658218774 5.5425.165872315ˆ 2 2 1 2 1 ≈×− ××−= − − = ∑ ∑ = = xnx yxnyx b n i i n i ii 712.8525.165849.05.54ˆ −=×−=−= xbya 712.85849.0ˆˆˆ −=+= xxbay 172=x ( )kgy 316.60712.85172849.0ˆ =−×= y x y bx a= + 40 45 50 55 60 65 70 150 155 160 165 170 175 180重与身高的关系，那么身高为 165cm 的 3 名女在学生的体重应相同. 这就 说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果 （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型 ，其中残差变量 中包含体重不能由身高的线性函数解释的 所有部分. 当残差变量恒等于 0 时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次 函数模型的一般形式. 问题五：如何衡量两个变量之间线性相关关系的强弱呢？ 相关系数： 相关系数的绝对值越接近于 1，两个变量的线性相关关系越强，它们 的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此 时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于 0，两个变 量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当 大于 时，认为两个变量有很强的线性相关关系。 问题六：例 1 中由体重与身高建立的线性相关关系有无意义？ 生：动手计算本例中两个变量之间的相关系数， ，表明体 重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义 的。 引导学生在解 决具体问题的过程 中，通常先进行相 关性的检验，确认 两变量间的线性相 关关系的强弱再求 线性回归方程。 结合实例的分 析和研究，正确地 进行相关性检验。 四、巩固练 习 1． 假设关于某设备的使用年限 x 和支出的维修费用 y（万元），有如下表 的统计资料。试求： 使用年限 x 2 3 4 5 6 维修费用 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 ⑴画出数据的散点图； ⑵若 x 与 y 呈线性相关关系，求线性回归方程 y ＝ bx + a 的回归系数 a、b； ⑶估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？ 答案：⑴散点图如图： ⑵由已知条件制成下表： 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 4 9 16 25 36 巩固知识 e y bx a e= + + e ( )( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ = = = −− −− = n i n i ii n i ii yyxx yyxx r 1 1 22 1 r 75.0 798.0=r i ix ix ii yx 2 ix 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 2 4 6 8 xi y i； ； ； 于是有 ⑶ 回归直线方程是 ， 当 时， （万元） 即估计使用 10 年时维修费用是 12.38 万元。 五、小结 1． 熟练掌握求线性回归方程的步骤； ⑴画出两个变量的散点图； ⑵判断是否线性相关； ⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）； ⑷并用回归直线方程进行预报。 2． 理解线性回归模型与一次函数的不同； 一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数 模型的一般形式. 3． 了解相关系数的计算与解释。 相关系数： 相关系数的绝对值越接近于 1，两个变量的线性相关关系越强，它们 的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此 时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于 0，两个变 量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当 大于 时，认为两个变量有很强的线性相关关系。 反思归纳 练习与测试 1． 设有一个回归方程为 ，则变量 增加一个单位时，则（ C ） A． 平均增加 个单位 B． 平均增加 个单位 C． 平均减少 个单位 D． 平均减少 个单位 2． 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ B ） A．预报变量在 轴上，解释变量在 轴上 B．解释变量在 轴上，预报变量在 轴上 C．可以选择两个变量中任意一个变量在 轴上 D．可以选择两个变量中任意一个变量在 轴上 3． 已知 x 与 y 之间的一组数据： 则 y 与 x 的线性回归方程为 必过（ D ） A．（2，2）点 B．（1.5，0）点 C．（1，2）点 D．（1.5，4）点 4． 已知两个相关变量 与 具有线性相关关系，当 取值 1，2，3，4 时，通过观测得到 的值分别为 1.2，4.9，8.1，12.8，这组样本点的中心是（ D ） x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 4=x 5=y ∑ = = n i ix 1 2 90 ∑ = = n i ii yx 1 3.112 23.110 3.12 4590 5453.112ˆ 2 ==×− ××−=b 08.0423.15ˆˆ =×−=−= xbya 08.023.1ˆ += xy 10=x 38.1208.01023.1 =+×=y ( )( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ = = = −− −− = n i n i ii n i ii yyxx yyxx r 1 1 22 1 r 75.0 xy 5.22ˆ −= x y 5.2 y 2 y 5.2 y 2 x y x y x y axby ˆˆˆ += x y x yA．(2，4.9) B．(3，8.1) C．(2.5，7) D．(2.5，6.75) 5． 一 位 母 亲 记 录 了 儿 子 3—9 岁 的 身 高 ， 数 据 （ 略 ），由 此 建 立 的 身 高 与 年 龄 的 回 归 模 型 为 y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高，则正确的叙述是（ C ） A．身高一定是 145.83cm B．身高在 145.83cm 以上 C．身高在 145.83cm 左右 D．身高在 145.83cm 以下 6． 在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是 A（1，2）、B（2，3）、C（3，4）D（4，5），则 y 与 x 之间的回归直线方程为（ A ） A． B． C． D． 7． 有下列关系：⑴人的年龄与其拥有的财富之间的关系；⑵曲线上的点与该点的坐标之间的关系；⑶苹 果的产量与气候之间的关系；⑷森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑸学生与其学 号之间的关系。其中有相关关系的是__________。 答案： ⑴⑶⑷ 8． 许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时，收集了美国 50 个州的成 年人受过 9 年或更少教育的百分比（ ）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（ ） 的数据，建立的回归直线方程如下： 。斜率的估计等于 说明__________________， 成年人受过 9 年或更少教育的百分比（ ）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比 （ ）之间的相关系数__________________（填充“大于 0“或”小于 0“）。 答案： ⑴⑶⑷ 9． 若施化肥量 x 与小麦产量 y 之间的回归直线方程为 ，当施化肥量为 50kg 时，预计小麦 产量为__________。 解析：当 时， 。 答案： 。 10． 在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度 y 与腐蚀时间 t 之间对应的一组数据： 时间 t（s） 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 12 0 深度 y（μm） 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 （1）画出散点图； （2）求腐蚀深度 y 对腐蚀时间 t 的回归直线方程. 解：（1）散点图为 （2）经计算可得 b= ≈0.3， 1ˆ += xy 2ˆ += xy 12ˆ += xy 1ˆ −= xy x y 6.48.0 += xy 8.0 x y xy 4250ˆ += 50=x 450450250ˆ =×+=y kg450 510 10 1520 20 30 30 40 40 50 50 60 70 90 120 y t .13910,5442,36750,45.19,36.46 11 1 11 1 2 11 1 2 ===== ∑∑∑ === i ii i i i i ytytyt 2211 1 2 11 1 36.461136750 45.1936.461113910 11 11 ×− ××−= − ⋅×− ∑ ∑ = = tt ytyt i i i iia= －b =19.45－0.3×46.36≈5.542. 故所求的线性回归方程为 =0.3t+5.542. y t ^ y