高二人教A版必修5系列教案：3.4基本不等式1 .doc

第一课时 3.4 基本不等式 （一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不 等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点：应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式 的证明过 程； 教学难点：理解“当且仅当 a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家 赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这 个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在 正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直 角边长为 a,b 那么正方形的边长为 。这样，4 个直角三角形的面积的和是 2ab，正 方形的面积为 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个 不等式： 。当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩 为一个点，这时有 。（教师提问 学生思考 师生总结） ②思考：证明一般的，如果 ③基本不等式：如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ，可得 ， 通常我们把上式写作： ④从不等式的性质推导基本不等式 ： 用分析法证明：要证 (1)， 只要证 a+b (2)， 要证（2），只要证 a+b- 0（3）要证（3），只要证（ - ） （4）， 显然，（4）是成立的。当 且仅当 a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知 x、y 都是正数，求证：(1) ≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８ x3y3. ⑥探究：课本第 110 页的“探究”：（结论：如果把 看作是正数a、b 的等差中项， 看作是正数 a、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的 等比中项.） 2. 小结：①两正数 a、b 的算术平均数与几何平均数成立的条件。②理解“当且仅当 a=b 时 取等号”的数学内涵。 三、巩固练习： 1. 练习：教材 114 页练习的第 1 题。 2. 作业：教材 114 页习题[A]组的第 1 题. 第二课时 3.4 基本不等式 （二） 教学要求：通知识与技能：进一步掌握基本不等式 ；会用此不等式证明不等式, 会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题； 2 a ba b +≤ 2 a ba b +≤ 2 a ba b +≤ 2 2a b+ 2 2a b+ 2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2a b ab+ = → → )""(2R,, 22 号时取当且仅当那么 ==≥+∈ baabbaba 2a b ab+ ≥ (a> 0,b> 0)2 a bab +≤ 2 a bab +≤ 2 a b ab + ≥ ≥ ≥ 2 y x x y + 2 ba + ab 2 a ba b +≤ 2 a ba b +≤教学重点：掌握基本不等式 ，会用此不等式证明不等式，求某些函数的最值。 教学难点：利用此不等式求函数的最大、最小值。 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：基本不等式，什么条件下取等号？ 2. 提问：用基本不等式 求最大（小）值的步骤。 二、讲授新课： 1. 教学利用基本不等式证明不等式 ①出示例 1：已知 m>0,求证 。 分析：审清楚题意 分析条件 应用什么定理？ 如何应用？ 学生讲述解答过程（学生板书，教师修订） 小结：注意 m>0 这一前提条件和 =144 为定值的前提条件。 ②练习：1.已知 a,b,c,d 都是正数，求证 . 2. 求证: .（方法：通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.） 2. 教学利用不等式求最值 ①出示例 2：(1) 若 x>0,求 的最小值;(2)若 x5)的最小值.2.若 x>0,y>0,且 ,求 xy 的最小值. 3.设 a、b∈R 且 a＋b＝1,求 ＋ 的最小值。 3. 小结：如何用基本不等式 证明不等式和求函数的最大、最小值。 三、巩固练习： 1. 练习：教材 114 页习题[B]组的第 1 题。 2. 证明： 3．若 ，则 为何值时 有最小值，最小值为几？ 4．解关于 x 的不等式 5. 已知 且 ，求 的最小值 第三课时 3.4 基本不等式 （三） 教学要求：进一步掌握基本不等式 ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够 解决一些简单的实际问题 教学重点：基本不等式 的应用 教学难点：利用基本不等式 求最大值、最小值。 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：重要不等式？基本不等式？ 2 a bab +≤ 2 a ba b +≤ 24 6 24mm + ≥ → → → → → 24 6mm × ( )( ) 4ab cd ac bd abcd+ + ≥ 4 73 aa + ≥− 9( ) 4f x x x = + 9( ) 4f x x x = + → → → → 9( ) 4 5f x x x = + − 2 8 1x y + = + a−1 1 b−1 1 2 a bab +≤ 2 2 2 2 2a b a b+ + ≥ + 1−>x x 1 1 ++ xx ax xa loglog < +∈ Ryxba ,,, 1=+ y b x a yx + 2 a ba b +≤ 2 a ba b +≤ 2 a bab +≤ 2 a ba b +≤2. 提问： 成立的条件？ 二、讲授新课： 1. 教学：最大值、最小值。 ① 出示例 1：（1）用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多 少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩 形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 分析：根据题意： 如何设长、宽？ 应用什么知识？ 怎样应用？ 学生讲述解答过程。 小结：解决应用问题，首先读懂题意，思考用什么方法去解决。 ②练习：用绳子围成一块矩形场地，若绳长为 20 米，则围成最大矩形的面积是 ；若要 围出一块 100 米 的场地，则绳子最短为 。 ③出示例 2：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800m3,深为 3m，如果池底每 1m2 的造价为 150 元，池壁每 1m2 的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低 总造价是多少元？ 分析： 如何由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式？ 如何求函数的最值， 用到了什么定理？ 师生共同解答。 小结：应注意数学语言的应用即函数解析式的建立 和注意不等式性质的适用条件。 ④练习：建造一个容积为 18 立方米，深为 2 米的长方体有盖水池。如果池底和池壁每平方 米的造价分别是 200 元和 150 元，那么如何建造，池的造价最低，为多少？ 2. 小结：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 三、巩固练习： 1. 练习：教材 114 页练习的第 1 题. 习题[A]组的第 2 题. 2. 已知 x≠0，当 x 取什么值时，x2＋ 的值最小?最小值是多少? 3．已知矩形的周长为 36，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，矩形的长.宽各为多少时，旋 转形成的圆柱的侧面积最大？ 3. 作业：教材 114 页习题[A]组的第 4 题。 abbaabba ≥+≥+ 2 222 和 2 → → → 2 → → → → 2 81 x