3.4 基本不等式
一、三维目标：
1、知识与技能：
理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、
求取值范围等问题
2、过程与方法：
能够理解并建立不等式的知识链
3、情感、态度与价值观：
通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识
4、本节重点：
应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程
5、本节难点：
应用基本不等式求最值
二、课程引入：
第 24 届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图：
四个以 a，b 为直角边的直角△ABC，组成正方形 ABCD
则
如图可知： 即
当且仅当小正方形 EFGH 面积为 0 时取等号，即 时取得等号
三、新课讲授：
（一）基本不等式的推证：
1、重要不等式与基本不等式
由引入中提到的重要不等式 ，将其中的 用 代换，
得到基本不等式 ，当且仅当 时，即 时取得等号。
特别注意，重要不等式 的适用范围是全体实数，
而基本不等式 的使用需要
2、基本不等式的几种表述方式
平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理）
数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项
探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长
3、分析法推证基本不等式
要证 ，只需证明 （2）。要证明（2）只需证明
2
baab
+≤
22 baDACDBCAB +====
22 baS ABCD += abS ABE 2
1=∆
ABEABCD SS ∆≥ 4 abba 222 ≥+
baba ==− ,0
abba 222 ≥+ ba, ba,
2
baab
+≤ ba = ba =
abba 222 ≥+
2
baab
+≤ 0,0 >> ba
2
baab
+≤ abba 2≥+ 02 ≥−+ abba（3）。
要证明（3）只需证明 （4）。（4）式显然成立，故得证。
（二）基本不等式的应用与提高：
1、你是设计师！
（1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为 100 平米的花圃种花。有以下两种方案：
圆形花圃：造价 12 元/米 矩形花圃：造价 10 元/米
你觉得哪个方案更省钱呢？
分析及解答：因为初中学习过平面几何，同学们大都知道，同样长度的篱笆围圆形会比围矩
形得到的面积大，由此可知，同样的面积肯定是为圆形用的材料省。但是本题涉及造价问题，
两种篱笆的花费不同。圆形篱笆虽然需要的材料少，但是每米的花费高，所以到底应该用哪
个方案需要动手算一下才能知道。在这里让学生分成两派，可以自己选择一个认为比较省钱
的方案去计算。
圆形花圃：
矩形花圃：设两边为 x，y， ，故当 x=y 时花费最少为 400 元
（2）现在只有 36 米的篱笆可用，怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大？
解：
（3）有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料。
那么发挥你的聪明才智，用这 36 米的篱笆，怎么样设计才能围出面积最大的花圃？
2、看谁算得快！
3、大家来挑错！
分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时
必须是正数这一点注意事项。
0)( 2 ≥− ba
元花费约为圆 432,202,10,1002 ππ
π
π ===== rCrrS
404)(2 =≥+= xyyxC
281m
81,218218,36)(2
时，面积有最大值为当且仅当 yx
xySxyxyyxyxyxC
=
≤=∴≥∴≥+=+=+=
2162mS216222362
2
有最大值为时，当且仅当解：
的最大值的问题为定值，求分析：已知
yxxyyxyx
xySyx
=∴≤∴⋅≥=+
=+
______,4)1( 值为有最则若 yxyx ⋅=+ ______,4)2( 值为有最则若 yxyx +=⋅
_______,___,82)3( ==⋅=+ yxyxyx 此时值为有最则若
__________326)4( ==+=⋅ yxyxyx 此时值为有最则若
________4,0)5( =+> aaaa 此时值为有最则已知
________4,0)6( =−−> aaaa 此时值为有最则已知
________4,0)7( =+< aaaa 此时值为有最则已知
的值域求函数
xxy 4)1( += )4[4424 ∞+∴=⋅≥+= ，函数值域为解：
xxxxy
的最小值求已知
3
4,3)2( −+>
aaa
83
4,4,3
4,3
423
4,03,3 取得最小值为时即当解： −+=−=−⋅≥−+∴>−∴>
aaaaaaaaaaa本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导
致所得结果并不是最小的值。
提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。
本题的解答没有注意 本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。
提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的等号是否能取得，在什么情况下取得。
（三）小结：
1、使用重要不等式和基本不等式需要注意适用条件，基本不等式需要正数，重要不等式可
用于全体实数。
2、积定和最小、和定积最大。
3、使用基本不等式解决最值问题需要注意“一正，二定，三相等”
四、作业：
1、书后练习题。
2、请你给出大家来挑错环节里三道题目的正确解答。
五、课后反思：
1、多媒体的运用。
在引入部分，关于数学家大会的图标，如果可以进一步利用多媒体做出可以变形的效果，让
学生更加直观的观察到变换过程的话，教学效果会更好。
2、
应该引导学生多种思路考虑问题
比如 这样的拼凑出定值条件的思路是学生应该掌握的。
3、因为本节是新课讲授，学生新接触一个知识，还没有能够很好的融会贯通。因此上在这
个阶段不应该做过难的题目。一些简单的，同时可以起到巩固新知识的小题目往往可以起到
更好的效果。本课中设计了一些基本可以口答的小题，让学生在很短的时间中完成。这不仅
可以强化学生会本节主要内容的理解和运用，而且也对快速反应和解答题目进行了强化，提
高学生解题效率。
4、让学生学会检查和挑错其实是很重要的。本课中的大家来挑错环节不仅可以强化学生对
本节重点内容的理解，而且再遇到相似题型的时候可以避免犯类似的错误，提高教学效率。
同时也培养了学生质疑精神，寻求科学真理的热情。
天津市二十中学
归娜
αsin
yxxyS 22
1 ⋅==
的最小值，（其中求函数 ]20sin
4sin)3(
πααα ∈+=y
。函数的最小值为解： 44sin
4sin2sin
4sin ∴=⋅≥+= ααααy
的最大值的问题为定值，求已知 xySyx =+ 2
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