3.4 基本不等式
地 点：合肥 26 中学
班 级 ：高一（四）
授课人：代诗平
3.4 基本不等式 ≤
[教学目标]
1. 探索并了解基本不等式的证明过程。
2. 从基本不等式的证明过程了解不等式证明的常用思路：由条件到结论，
或由结论到条件。
3. 能利用基本不等式进行简单的应用。
4. 通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯和数形结
合的思想。
5. 通过对问题的引入培养学生的爱国主义情操。
[重 点]：
应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式
。
[难 点]：
从不同角度探索基本不等式的证明过程。
[教学方法]：
2
baab +≤
ab 2
ba +
2
baab
+≤启发、引导、讲解。
[教学准备]：
Z+Z 课件
[教学过程]：
一、 导入新课
（多媒体展示 24 届国际数学家大会会标）
问：你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何寻找？（引导
学生作出其几何图形，多媒体展示该几何图形。）
问：四个全等的直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？
答：四个全等的直角三角形的面积之和不大于大正方形的面积。（多媒体动
态演示变化过程，引导学生注意何时相等。）
问：同学们已学过从具体情境中抽象出不等关系并把其表示出来的相关练
习，请同学们用不等式表示上述不等关系。为了表示方便，我们可设直角三角形
的两直角边的长分别为 。
答：四个全等的直角三角形的面积之和为 ，大正方形的面积为 ,
则
当直角三角形变为等腰直角三角形,即 时,正方形 EFGH 缩为一个点
时有 。
问：如何证明 ，当且仅当 时取等号。
答：由 ，所以
当且仅当 ，即 时取等号。
[板书]：一般的，对于任意实数 ，都有 ，当且仅当
时取等号。
问：当 时，以 ， 代替此式中 的可得到一个什么样的
关系式？
答：
二、.新课探究
[板书]：若 ，则 ，当且仅当 时取等号。
ba,
ab2 22 ba +
abba 222 ≥+
ba =
abba 222 =+
abba 222 ≥+ ba =
( ) 02 222 ≥−=−+ baabba abba 222 ≥+
( ) 02 =− ba ba =
ba, abba 222 ≥+ ba =
0,0 >> ba a b ba,
abba 2≥+
0,0 >> ba 2
baab
+≤ ba =师：能否从不等式的性质直接推导出上式？
答：方法一：
因为
2. 方法二（引导学生填写下面证明过程）：
要证： ①
只要证： ②
要证②，只要证 — 0 ③
要证③，只要证（ — ） 2 0 ④
显然④是成立的，当且仅当 时④中的等号成立
师： ≤ 有什么几何意义？（引导学生探究下面的问题）
探究：AB 是圆的直径，点 C 是 AB 上一点，
，过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE，连 AD，
BD，你能利用这个图形得出不等式 ≥ 的几何
解释吗？
[板书]： ≤ 的几何意义：半弦长不大
于半径长
常把 叫做正数 的几何平均数， 叫做正数 的算术平均数。
≤ 说明两个正数的几何平均数不大于其算术平均数。
三．练习： ，当 取什么值时， 的值最小？
四．小结：
1. 不等式
2. 基本不等式 ≤
3. 不等式的证明方法。
0,0 >> ba
( )
22
02
2
2
2
2
baababba
b－a
abb－aab－ba
+≤≥+
≥=
+=+
，即所以
则
abba ≥+
2
≥+ ba
ba + ≥
≥
ba =
ab 2
ba +
bBCaAC == ,
2
ba +
ab
ab 2
ba +
ab ba, 2
ba +
ba,
ab 2
ba +
0>x x xx 1+
abba 222 ≥+
ab 2
ba +五．作业：
1．补充：已知 ，当 取什么值时， 的值最小？最小值是多
少？
2． 已知： （仿照基本不等式的证明方法）
3. P114 习题 3.4 A 组 1
0≠x x 2
2 81
xx +
211,0 xxx +≤+> 求证：
微信/支付宝扫码支付