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第六章 实数
回顾与思考
一、学生起点分析
本章学习至此,学生已经认识了无理数,学习了实数概念及相关运算,从而
将原有有理数扩充到了实数范围,使得对数的认识更进一步深入,让学生感受到
了数系扩充的必要性与作用.在前面的探究活动中,学生已经掌握了相关数学知
识,并具备了一定的数学能力,掌握了类比、数形结合等数学思想方法,也具备
了一定的合作学习经验,为学习本节“知识回顾与思考”奠定了基础.
二、教学任务分析
本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上,进行的数系第二次扩张,
使学生对数的认识进一步深入.本课是对整章内容的复习与归纳,在教学过程中
不必多过地追求概念,只要学生能够结合具体情境,从意义上理解主要概念即
可.
作为复习归纳课,学生虽对相关知识基本掌握,但是知识间的联系还不够清楚,
对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺,因此本节的教学中应将整章知识
点进行梳理整合,并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点,从题中悟数学思
想与方法.
因此,本节课的教学目标是:
①复习无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式及相关概念,
会用根号表示,并会求数的平方根、立方根并进行相关运算;
②在实数的有关概念和运算律、运算法则的教学中,让学生体会类比的思想;
③通过复习提高学生归纳整理的能力,并在师生互动、生生互动的过程中让
学生学会倾听学会交流;
本章概念较多,学生容易混淆,因此本节的重点应帮助学生理清无理数、算
术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式的概念.
本章的难点体现在以下几处:①算术平方根的双重非负性有着重要的作用,
常与平方、绝对值等具有非负性的知识结合在一起应用;②实数的混合运算也一
向是学生计算的难点,学生往往在运算顺序、运算法则上出错;③本章对学生数2
形结合的能力有较高要求,如实数与几何知识勾股定理结合在一起就是学生掌握
的难点.
本章的知识结构框图
三、教学过程设计
本节课设计了五个教学环节:第一环节:知识回顾;第二环节:典例精析;
第三环节:运用巩固;第四环节:课堂小结;第五环节:布置作业.
第一环节 知识回顾
知识点填空:
(1) 无限不循环小数 叫做无理数.
2
2
2
3
3 3
( 0)
x a x a x a
x a x a
x a a x
x a x a x a
x a x a
a a
=
= = ±
=
= = =
≥
整数有理数
分数
实数分类
正无理数无理数
负无理数
定义:如果一个数 的平方等于 ,即 ,那么这个数 叫做 的平方根
平方根 表示:若 ,则
算术平方根:若 ,则 的算术平方根为
定义:如果一个数 的立方等于 ,即 ,那么这个数 叫做 的立方根立方根
表示:若 ,则
实数 定义:式子 叫做二次根式二次根式
最简二次
2
2
33
3 3
( ) ( 0)
( )
( 0, 0)
( 0, 0)
a a a
a a
a a
a a
a b ab a b
a a a bbb
= ≥ = = =
⋅ = ≥ ≥
= ≥ ≥
根式:被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式
重要性质
实数的性质应用3
(2) 有理数和无理数 统称为实数.
(3) 实数 和数轴上的点是一一对应的.
(4) ; ; ; ;
;
(5)把 分母 中的根号化去,叫做分母有理化.
(6)最简二次根式应满足的条件是被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数
或因式
(7)同类二次根式:几个二次根式化成 最简二次根式 后,如果被开方数相
同,这几个二次根式就叫做同类二次根式;化简时,有同类二次根式要合并,可
以约分的分式要约分.
设计说明:以上 7 个填空题老师可带着学生共同完成,通过填空让学生清晰
本章的几个重要概念,特别是(4)中的几个易混点可通过此环节帮助学生理清
楚.这样也为解决下一环节中的经典例题做好知识点的扎实铺垫.
第二环节 典例精析
(一)实数的相关概念
例 1 下列各数中,哪些是有理数,哪些是无理数?
, ,3.14159265, , , , ,3.1010010001…(相邻两个
1 之间 0 的各数逐次加 1)
设计说明:此题考查概念.整数和分数统称为有理数,这是有理数的判断方
法.无理数是无限不循环的小数,这是无理数的判断方法.而无限不循环小数主
要有以下几种:①开方开不尽的方根;②含 的数;③是无限小数且不循环.在判
整数有理数
分数
实数分类
正无理数无理数
负无理数
=2a a )0()( 2 ≥= aaa aa =33 )( aa =3 3
)0,0( ≥≥=⋅ baabba )0,0( ≥≥= bab
a
b
a
23 3 5 9 π− 3 1− 2( 5)−
π4
断时还应注意,一定要抓住概念的本质而不是根据数的形式,如此题中的 ,
虽然都含有根号,但它们都是有理数.所以此题中的有理数有:3.14159265,
, ;无理数有: , , , ,3.1010010001…(相邻两个 1
之间 0 的各数逐次加 1)
(二)实数的相关性质及运算
例 2 实数 、 在数轴上的位置如图所示,化简 .
设计说明:此题考查算术平方根的意义,也培养学生的读图能力,体现数学
中的数形结合思想方法.由数轴上 、 的位置可知 , ,从而根
据算术平方根与绝对值的意义有:
例 3 计算:(1) (2)
设计说明:意在复习实数的运算法则及二次根式的化简.
例 4 (1)已知 、 满足 ,求 的值
(2)已知 ,求 的值.
设计说明:运用算术平方根的双重非负性解决此题,这也是本章的难点之一.
解:(1)
又
9
2( 5)−
9 2( 5)− 23 3 5 π− 3 1−
a b 2( )a b b a+ + −
a b 0a b+ < 0b a− >
2( ) ( ) 2a b b a a b b a a b b a a+ + − = − + + − = − − + − = −
1 4010
− 482
1
3
19125 +−
1 1 10 19 1040 4 10 2 1010 10 1010
− = − = − = −
1 1 1 1 35 12 9 48 5 4 3 9 16 3 10 3 9 2 3 10 3 3 3 2 3 9 33 2 2 33
− + = − + = − ⋅ + = − + =
a b 2 3 0a b− + + = 2013( )a b+
2 4 2 4 2 3y x x= − − − + yx
2 0, 3 0a b− ≥ + ≥
2 3 0a b− + + =
2 0, 3 0a b∴ − = + =
2, 3a b∴ = = −5
(2)
(三)实数中的数形结合
例 5、已知△ABC 中,AB=17,AC=10,BC 边上的高 AD=8,则边 BC 的长为多少?
设计说明:此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问题.其
易错点是△ABC 的形状有两种情况,学生容易忽略钝角三角形的情况.通过此题
意在提高学生运用分类讨论的思想解决数学问题的能力.
分析:(1)当 △ABC 为锐角三角形时,易求 BD=15,DC=6,从而求得
BC=15+6=21.
(2)当△ABC 为钝角三角形时,易求 BD=15,DC=6,从而求得 BC=15-
6=9.
第三环节 运用巩固
1.下列说法错误的是( )
A.4 的算术平方根是 2 B. 是 2 的平方根
C.-1 的立方根是-1 D.-3 是 的平方根
2.当 时,求代数式 的值.
3.若 有意义,求 的取值范围.
2013 2013 2013( ) (2 3) ( 1) 1a b∴ + = − = − = −
2 4 0,4 2 0x x− ≥ − ≥
2 4 4 2 0x x∴ − = − =
2x∴ =
0 0 3 3y∴ = − + =
32 8yx∴ = =
2
2( 3)−
32 8 17ABCC∆ = 51ABCS∆ =
47 49P −7
学活动最主要的意图就是让学生主动起来,应多给予学生交流的时间与机会.
3.注意收集学生生成性的学习资源
在师生的问答活动中、在学生的独立思考中、在生生之间的互动交流中都会
迸发出许多我们难以预料的惊喜或困惑,也许是一些精彩的发言、也许是一个精
妙的方法、也许是一个典型的错误、也许一个重要的经历、也许是一串宝贵的收
获…这些在课堂中新生成的资源是学生学习过程中的宝贵财富,因此我们应鼓励
学生多收集这些闪光点用以形成自己可以学习借鉴的学习资源.