1.1 变化率问题1.2　导数的概念(选修2-2).doc

§3．1.1 变化率问题 §3．1.2 导数的概念 【学情分析】： 本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次： 1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义. 2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解 导数内涵. 学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生 形成导数的概念。 【教学目标】： 知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. 【教学难点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. 【教学过程设计】： 教学环 节 教学活动 设计意 图 问 题 1 气 球 膨 胀率 （ 一 ） 问 题 提 出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气 球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?  气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是  如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 分析: ， （1）当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 （2）当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变 小了． 思考：当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率 是多少? 为导数 概念的 引入做 铺垫 3 3 4)( rrV π= 3 4 3)( π VVr = 3 4 3)( π VVr = )(62.0)0()1( dmrr ≈− )/(62.001 )0()1( Ldmrr ≈− − )(16.0)1()2( dmrr ≈− )/(16.012 )1()2( Ldmrr ≈− − 12 12 )()( VV VrVr − − h to 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位： s）存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略 地描述其运动状态? 思考计算： 和 的平均速度 在 这段时间里， ； 在 这段时间里， 探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： （1）运动员在这段时间内使静止的吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t2+6.5t+10 的图像，结合图形可知， ， 所以 ， 虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员 仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （ 二 ） 平 均 变 化 率 概 念: 1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平 均变化率 2．若设 , (这里 看作是对于 x1 的一个“增量”可 用 x1+ 代替 x2,同样 ) 3． 则平均变化率为 思考：观察函数 f(x)的图象 平均变化率 表示什么? （1）一起讨论、分析，得出结果； （2）计算平均变化率的步骤： ①求自变量的增量Δx=x2-x1； ②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)； ③求平均变化率 . v 5.00 ≤≤ t 21 ≤≤ t v 5.00 ≤≤ t )/(05.405.0 )0()5.0( smhhv =− −= 21 ≤≤ t )/(2.812 )1()2( smhhv −=− −= 49 650 ≤≤ t )0()49 65( hh = )/(0 049 65 )0()49 65( ms hh v = − − = 49 650 ≤≤ t )/(0 ms 12 12 )()( xx xfxf − − 12 xxx −=∆ )()( 12 xfxff −=∆ x∆ x∆ )()( 12 xfxfyf −=∆=∆ =∆ ∆=∆ ∆ x f x y x xfxxf xx xfxf ∆ −∆+=− − )()()()( 11 12 12 =∆ ∆ x f 12 12 )()( xx xfxf − − 2 1 2 1 ( ) ( )f x f xf x x x −∆ =∆ −注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与 x 相乘； ②x2= x1+Δx； ③Δf=Δy=y2-y1； 三 ． 典 例分析 例 1 ． 已 知 函 数 f(x)= 的 图 象 上 的 一 点 及 临 近 一 点 ,则 ． 解： ， ∴ 例2． 求 在 附近的平均变化率。 解： ，所以 所以 在 附近的平均变化率为 让学生 进一步 认识瞬 时速度， 为引入 导数的 概念做 好铺垫. 四 、 瞬 时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他 在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， 时的瞬 时速度是多少？考察 附近的情况： 思考：当 趋近于 0 时，平均速度 有什么样的变化趋势？ 结论：当 趋近于 0 时，即无论 从小于 2 的一边，还是从大于 2 的一边趋近于 2 时，平均速度 都趋近于一个确定的值 ． 从物理的角度看，时间 间隔无限变小时，平均速度 就无限趋近于史的瞬时速 度，因此，运动员在 时的瞬时速度是 为了表述方便，我们用 xx +− 2 )2,1( −−A )2,1( yxB ∆+−∆+− =∆ ∆ x y )1()1(2 2 xxy ∆+−+∆+−−=∆+− xx xx x y ∆−=∆ −∆+−+∆+−−=∆ ∆ 32)1()1( 2 2xy = 0xx = 2 0 2 0 )( xxxy −∆+=∆ x xxx x y ∆ −∆+=∆ ∆ 2 0 2 0 )( xxx xxxxx ∆+=∆ −∆+∆+= 0 2 0 2 0 2 0 22 2xy = 0xx = xx ∆+02 2t = 2t = t∆ v t∆ t v 13.1− t∆ v 2t = 13.1 /m s− 0 (2 ) (2)lim 13.1 t h t h t∆ → + ∆ − = −∆表示“当 ， 趋近于 0 时，平均速度 趋近于定值 ” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬 时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 五 、 导 数 的 概 念 设函数 在 处附近有定义，当自变量在 处有增量 时， 则函数 相应地有增量 ，如果 时， 与 的比 （也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这 个 极 限 值 叫 做 函 数 在 处 的 导 数 ， 记 作 ， 即 注意：（1）函数应在点 的附近有定义，否则导数不存在 （2）在定义导数的极限式中， 趋近于 0 可正、可负、但不为 0，而 可能 为 0 （3）导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 （4） 是函数 对自变量 在 范围内的平均变化率. （5） ，当 时， ，所以 （定义的变形） 要让学 生理解 导数概 念 六 、 典 例分析 例 3、求 y=x2 在点 x=1 处的导数. 分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求 ，最后 求 . 解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2， =2+Δx ∴ = (2+Δx)=2. ∴y′|x=1=2. 注意：(Δx)2 括号别忘了写. 例 4、求函数 f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 2t = t∆ v 13.1− )(xfy = 0xx = 0xx = x∆ ( )y f x= )()( 00 xfxxfy −∆+=∆ 0→∆x y∆ x∆ x y ∆ ∆ x y ∆ ∆ )(xfy = 0xx → 0 / xxy = x xfxxfxf x ∆ −∆+= →∆ )()(lim)( 00 00 / 0x x∆ y∆ x y ∆ ∆ )(xfy = x x∆ 0x x x∆ = − 0x∆ → 0x x→ 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim x f x f xf x x x∆ → −′ = − 0 0 0 ( ) ( )lim x x f x f x x x→ −= − x y ∆ ∆ 0 lim→∆x x y ∆ ∆ x xx x y ∆ ∆+∆=∆ ∆ 2)(2 0 lim→∆x x y ∆ ∆ 0 lim→∆x xx +− 2 1x = −解： 例 5、（课本例 1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行 冷却和加热，如果第 时，原油的温度（单位： ）为 ， 计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 解：在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数定义， 所以 同理可得: 在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率分别为 和 5，说明在 附近，原 油温度大约以 的速率下降，在第 附近，原油温度大约以 的速率上 升． 注：一般地， 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况． 七 、 引 申 例 6、函数 满足 ，则当 x 无限趋近于 0 时， （1） （2） 变式:设 f(x)在 x=x0 处可导， （3） 无限趋近于 1，则 =___________ （4） 无限趋近于 1，则 =________________ （5）当△x 无限趋近于 0， 所对应的常数与 的关系。 xx xx x y ∆−=∆ −∆+−+∆+−−=∆ ∆ 32)1()1( 2 2 0 0 ( 1 ) ( 1 ) 2( 1) lim lim(3 ) 3 x x y x xf xx x∆ → ∆ → ∆ − − + ∆ + − + ∆ −′ − = = = − ∆ =∆ ∆ xh C 2( ) 7 15(0 8)f x x x x= − + ≤ ≤ 2h 6h 2h 6h ' (2)f ' (6)f 0(2 ) ( )f x f xf x x + ∆ −∆ =∆ ∆ 2 2(2 ) 7(2 ) 15 (2 7 2 15) 3x x xx + ∆ − + ∆ + − − × += = ∆ −∆ 0 0 (2) lim lim( 3) 3 x x ff xx∆ → ∆ → ∆′ = = ∆ − = −∆ (6) 5f ′ = 2h 6h 3− 2h 3 /C h 6h 5 /C h ' 0( )f x 0x )(xf 2)1(' =f =−+ x fxf 2 )1()1( =−+ x fxf )1()21( x xfxxf ∆ −∆+ )()4( 00 )( 0xf ′ x xfxxf ∆ −∆− )()4( 00 )( 0xf ′ x xxfxxf ∆ ∆−−∆+ )2()2( 00 )( 0xf ′八、课 堂小结 （1）理解平均变化率、导数的概念。 （2）求函数 的导数的一般方法： ①求函数的改变量 . ②求平均变化率 . ③取极限，得导数 ＝ . 补充题目：1.一直线运动的物体，从时间 到 时，物体的位移为 ，那么 为（ ） Ａ．从时间 到 时，物体的平均速度； Ｂ．在 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为 时物体的速度； Ｄ．从时间 到 时物体的平均速度 2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是 s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在 t=5 时的 瞬时速度 解：瞬时速度 v= (10+Δt)=10 m/s. ∴瞬时速度 v=2t=2×5=10 m/s. 3.质点 M 按规律 s=2t2+3 做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度. 解：瞬时速度 v= = (8+2Δt)=8 cm/s. )(xfy = )()( xfxxfy −∆+=∆ x xfxxf x y ∆ −∆+=∆ ∆ )()( /y ( )f x′ = x y x ∆ ∆ →∆ 0 lim t t t+ ∆ s∆ 0 lim t s t∆ → ∆ ∆ t t t+ ∆ t t∆ t t t+ ∆ 2 2 0 0 (5 ) (5) (5 ) 5lim lim t t s t s t t t∆ → ∆ → + ∆ − + ∆ −=∆ ∆ 0 lim t∆ → = t t t sts tt ∆ +⋅−+∆+=∆ −∆+ →∆→∆ )322(3)2(2lim)2()2(lim 22 00 0 lim→∆t