1.3导数的几何意义(选修2-2).doc

§3．1．3 导数的几何意义 【学情分析】： 上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。 【教学目标】： 1.了解曲线的切线的概念 2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法． 3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程 【教学重点】： 理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解 导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法. 【教学难点】： 发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率. 【教学过程设计】： 教学 环节 教学活动 设计 意图 一、 曲线 的切 线及 切线 的斜 率： 圆与圆锥曲线的切线定义：与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线。 曲线的切线 如图 3.1-2，当 沿着曲线 趋近于点 时，割 线 的变化趋势是什么？ 我们发现,当点 沿着曲线无限接近点 P 即Δx→0 时,割线 趋近于确定的位置，这 个确定位置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线. 问题：⑴割线 的斜率 与切线 PT 的斜率 有什么关系？ ⑵切线 PT 的斜率 为多少？ 容易知道，割线 的斜率是 ,当点 沿着曲线无限接近点 P 时， 为课 题引 入作 铺垫. ( , ( ))( 1,2,3,4)n n nP x f x n = ( )f x 0 0( , ( ))P x f x nPP nP nPP nPP nk k k nPP 0 0 ( ) ( )n n n f x f xk x x −= − nP nk 图 3.1-2无限趋近于切线 PT 的斜率 ，即 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的 切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与 求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线 的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 二 、 导 数 的 几 何 意 义： 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点 处的切线的斜率， 即 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ②求出函数在点 处的变化率 ，得到曲线在点 的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. 指导 学生 理解 导数 的几 何意 义，可 以讨 论 三 、 导 函 数 由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么, 当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作： 或 ， 即: 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 函数 在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极 限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点 x 而言的， 就是函数 f(x)的导函数 3）函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求 函数在点 处的导数的方法之一。 四 、 典 例 分析 例 1:（1）求曲线 y=f(x)=x2+1 在点 P(1,2)处的切线方程. （2）求函数 y=3x2 在点 处的导数. 解：（1 ） , 所以，所求切线的斜率为 2，因此，所求的切线方程为 即 通过 例子， 更深 入理 解导 数的 概念 k 0 0 00 ( ) ( )lim ( ) x f x x f xk f xx∆ → + ∆ − ′= =∆ 0x x= 0 0( , ( ))x f x 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim x f x x f xf x kx∆ → + ∆ −′ = =∆ 0x 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim x f x x f xf x kx∆ → + ∆ −′ = =∆ 0 0( , ( ))x f x 0( )f x′ ( )f x′ y′ 0 ( ) ( )( ) lim x f x x f xf x y x∆ → + ∆ −′ ′= = ∆ ( )f x 0x 0( )f x′ ( )f x′ 0( )f x′ ( )f x 0x ' 0( )f x ( )f x′ 0x x= 0x (1,3) 2 2 2 1 0 0 [(1 ) 1] (1 1) 2| lim lim 2x x x x x xy x x= ∆ → ∆ → + ∆ + − + ∆ + ∆′ = = =∆ ∆ 2 2( 1)y x− = − 2 0x y− =（2）因为 所以，所求切线的斜率为 6，因此，所求的切线方程为 即 例 2、求曲线 f(x)= x3－x2+5 在 x=1 处的切线的倾斜角. 分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率 k=tana，求出倾斜角 a. 解：∵tana= ∵a∈［0，π ，∴a= π. ∴切线的倾斜角为 π. 例 3．（课本例 2）如图 3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 ，根据图像，请描述、比较曲线 在 、 、 附近的变化 情况． 解：我们用曲线 在 、 、 处的切线，刻画曲线 在上述三个时刻附近的变化情 况． （1）当 时，曲线 在 处的切线 平行于 轴，所以，在 附近曲线比较平 坦，几乎没有升降． 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 3( 1 )| lim lim lim3( 1) 61 1x x x x x xy xx x= → → → − ⋅ −′ = = = + =− − 3 6( 1)y x− = − 6 3 0x y− − = 3 1 x fxf x xfxxf xx ∆ −∆+=∆ −∆+ →∆→∆ )1()1(lim)()(lim 0 00 0 3 2 0 1 1(1 ) (1 ) 5 ( 1 5)3 3lim x x x x∆ → + ∆ − + ∆ + − − + = ∆ 3 0 1 ( )3lim x x x x∆ → ∆ − ∆ = ∆ 2 0 1lim[ ( ) 1] 13x x∆ → = ∆ − = − ) 4 3 4 3 2( ) 4.9 6.5 10h x x x= − + + ( )h t 0t 1t 2t ( )h t 0t 1t 2t ( )h t 0t t= ( )h t 0t 0l x 0t t=（2 ）当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线下降，即函数 在 附近单调递减． （3）当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线下降，即函数 在 附近单调递减． 从图 3.1-3 可以看出，直线 的倾斜程度小于直线 的倾斜程度，这说明曲线在 附近 比在 附近下降的缓慢． 例 4．（课本例 3）如图 3.1-4，它表示人体血管中药物浓度 (单位： )随 时间 （单位： ）变化的图象．根据图像，估计 时，血管中药 物浓度的瞬时变化率（精确到 ）． 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 在此时刻的导数，从图 像上看，它表示曲线 在此点处的切线的斜率． 如图 3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻 药物浓度瞬时变化率的近似值． 作 处的切线，并在切线上去两点，如 ， ，则它的斜率为： 所以 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： 0.2 0.4 0.6 0.8 1t t= ( )h t 1t 1l 1( ) 0h t′ < 1t t= 2( ) 4.9 6.5 10h x x x= − + + 1t t= 2t t= ( )h t 2t 2l 2( ) 0h t′ < 2t t= 2( ) 4.9 6.5 10h x x x= − + + 2t t= 1l 2l 1t 2t ( )c f t= /mg mL t min 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8t = 0.1 ( )f t ( )f t 0.8t = (0.7,0.91) (1.0,0.48) 0.48 0.91 1.41.0 0.7k −= ≈ −− (0.8) 1.4f ′ ≈ − t药物浓度瞬时变化率 0.4 0 -0.7 -1.4 五、 课堂 小结 导数的几何意义，怎么求曲线的切线。 补充题目: 1 ． 导 数 的 本 质 是 什 么 ？ 请 写 数 学 表 达 式 。 导 数 的 本 质 是 函 数 在 处 的 即： ２．函数 平均变化率 的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　 3．导数 的几何意义是什么？导数 的几何意义是 4．在函数 的图像上，（1）用图形来体现导数 ， 的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线 在 . 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在 附近呢？ ' ( )f t )( 0 / xf )(xf )(xf x xfxxf ∆ −∆+ )()( 00 y )( 0xf O 0x x )( 0 / xf )( 0 / xf 105.69.4)( 2 ++−= ttth 3.3)1(/ −=h 6.1)5.0(/ =h )(th 210 ,, ttt 43 ,tt )(xf 1）平均变化率 x xfxxf ∆ −∆+ )()( 00 的几何意义： 2）当 0→∆x 时，观察图形变化。　 （说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导 数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。） 5．如图表示人体血管中的药物浓度 （单位： ）随时间 （单位： ）变化的函数 图像，根据图像，估计 （min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到 0.1) 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度的 瞬时变化率 （说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导 数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。） (以上几题可以让学生在课堂上完成) 6. 求下列曲线在指定点处的切线斜率. (1)y=－ +2,　x＝２处 　（２）y＝ ，x＝０处． 答案：(1)k=－１２，（２）k=－１ 7．已知曲线 y=2x2 上一点 A(1，2)，求(1)点 A 处的切线的斜率.(2)点 A 处的切线方程. )(tfc = mLmg / t min 8.0,6.0,4.0,2.0=t t 3x 1 1 +x h tO 3t 4t 0t 1t 2t解：(1)k= ∴点 A 处的切线的斜率为 4. (2)点 A 处的切线方程是 y－2=4(x－1)即 y=4x－2 8.求曲线 y=x2+1 在点 P(－2，5)处的切线方程. 解：k= ∴切线方程是 y－5=－4(x+2)，即 y=－4x－3. x x x fxf xx ∆ ⋅−∆+=∆ −∆+ →∆→∆ 22 00 12)1(2lim)1()1(lim 4)24(lim)(24lim 0 2 0 =∆+=∆ ∆+∆= →∆→∆ xx xx xx x x x fxf xx ∆ −−−+∆+−=∆ −−∆+− →∆→∆ 1)2(1)2(lim)2()2(lim 22 00 4)4(lim)(4lim 0 2 0 −=∆+−=∆ ∆+∆−= →∆→∆ xx xx xx