1.5定积分的概念第1课时(选修2-2).doc

§1.5.1　曲边梯形的面积 【学情分析】： 本节教材是在学生学习导数及其在研究函数的应用的基础上，开始初步探究定积分的概念。学生对这 个解决问题的思想方法和步骤还是很生疏,必须深入浅出,逐步渗透. 【教学目标】： （1）知识与技能：定积分概念的引入 （2）过程与方法：“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 （3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。 【教学重点】： 了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。 【教学难点】： “以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑。 【教学过程设计】： 一、创设情景 我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲 线围成的平面图形的面积呢？ 这就是定积分要解决的问题。 定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分 的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。 一个概念：如果函数 在某一区间 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数 称为区间 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 二、新课讲授 问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线 的 一段，我们把由直线 和曲线 所围成的图 形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？ 例 1：求图中阴影部分是由抛物线 ，直线 以及 轴所围成的 平面图形的面积 S。 思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？ （2）能否将求这个曲边梯形面积 S 的问题转化为求“直边图 形”面积的问题？ 分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边 是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想 的应用． 把区间 分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代 ( )y f x= I ( )y f x= I ( )y f x= , ( ) , 0x a x b a b y= = ≠ = ( )y f x= 2y x= 1=x x [ ]0 ,1 xxx 1 x 1 x y 1 x y y取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求 和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割 无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积 S．也即：用划归为计算 矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解： （1）．分割 在区间 上等间隔地插入 个点，将区间 等分成 个小区间： ， ，…， 记第 个区间为 ，其长度为： 分别过上述 个分点作 轴的垂线，从而得到 个小曲边梯形，他们的面积分别记作： ， ，…， ，显然， （2）近似代替 记 ，如图所示，当 很大，即 很小时，在区间 上，可以认为函数 的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认 为它近似的等于左端点 处的函数值 ，从图形上看，就是用平 行于 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间 上，用小矩形的面积 近似的代替 ，即在局部范围内“以直代取”，则有 ① （3）求和 由①，上图中阴影部分的面积 为 = = = = 从而得到 的近似值 （4）取极限 分别将区间 等分 8，16，20，…等份（如图），可以看到，当 趋向于无穷大时，即 趋向于 0 时， 趋向于 ，从而有 [ ]0 ,1 1n − [ ]0 ,1 n 10 , n      1 2,n n      1 ,1n n −     i 1 , ( 1, 2 , , )i i i nn n −  =    1 1i ix n n n −∆ = − = 1n − x n 1S∆ 2S∆ nS∆ 1 n i i S S = = ∆∑ ( ) 2f x x= n x∆ 1 ,i i n n −     ( ) 2f x x= 1i n − 1if n −     x 1 ,i i n n −     iS′∆ iS∆ 21 1 i i i iS S f x xn n − −   ′∆ ≈ ∆ = ∆ = ∆        21 1 ( 1,2, , )i i nn n − = =     nS 2 1 1 1 1 1 1n n n n i i i i i iS S f xn n n= = = − −   ′= ∆ = ∆ =      ∑ ∑ ∑  2 21 1 1 1 10 n n n n n n −   + + +          ( )22 2 3 1 1 2 1nn  + + + −  ( ) ( ) 3 1 2 11 6 n n n n − − 1 1 11 13 2n n   − −     S 1 1 11 13 2nS S n n   ≈ = − −     [ ]0 ,1 n x∆ 1 1 11 13 2nS n n   = − −     S 1 1 1 1 1 1 1lim lim lim 1 13 2 3 n nn n ni iS S f n n n n→∞ →∞ →∞= −    = = = − − =        ∑  1( )if n −从数值上的变化趋势： 三 、 求 曲 边 梯形面积的四个步骤: 第 一 步 ： 分 割 ． 将 分 为 等 份 ， 每 份 区 间 长 为 第 二 步 ： 近 似 代 替 ，“ 以 直 代 取 ” ： ，即 用矩形的面积近似代替小曲 边梯形的面积. 第 三 步 ： 求 和 ： 第 四 步 ： 取 极限： 说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割 以直代曲 求和 逼近 2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值 四、练习． 求 围成图形面积 解：1．分割 在区间 上等间隔地插入 个点，将区间 等分成 个小区间： ， ，…， 记第 个区间为 ，其长度为： 分别过上述 个分点作 轴的垂线，从而得到 个小曲边梯形，他们的面积分别记作： ， ，…， ， 显然， （2）近似代替 ∵ ，当 很大，即 很小时，在区间 上，可以认为函数 的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点 处的函数值 ，这样，在区间 上，用小矩形的面积 近似的代替 ，即 在局部范围内“以直代取”，则有 ① （3）求和 由①，上图中阴影部分的面积 为 [ ],a b n b a n − 'i iS S∆ ≈ ∆ 1 2' ' 'n nS S S S= ∆ + ∆ + + ∆ lim nn S S→∞ = b a n − → → → 20,0,2 2 ≤≤=−= xyxxy [ ]0 , 2 1n − [ ]0 , 2 n 20 , n      2 4,n n      ( )2 1 ,1n n −      i ( )2 1 2, ( 1, 2 , , )i i i nn n −  =     ( )2 12 2iix n n n −∆ = − = 1n − x n 1S∆ 2S∆ nS∆ 1 n i i S S = = ∆∑ 22y x x= − n x∆ ( )2 1 2, ( 1, 2 , , )i i i nn n −  =     22y x x= − ( )2 1i n − ( ) ( ) 22 1 2 12 i i n n − −   −        ( )2 1 2,i i n n −      iS′∆ iS∆ ( ) ( ) 22 1 2 12i i i iS S xn n  − −   ′  ∆ ≈ ∆ = − ∆         ( ) ( ) 22 1 2 1 22 i i n n n  − −    = −         nS= = = = 从而得到 的近似值 （4）取极限 练习 设 S 表示由曲线 ，x=1，以及 x 轴所围成平面图形的面积。 五：课堂小结 求曲边梯形的思想和步骤：分割 以直代曲 求和 逼近 （“以直代曲”的思想） ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 1 22 n n n i i i i iS S n n n= =  − −   ′  ∆ = ∆ = −         ∑ ∑  1 1 1 24 1 n i i i n n n= − − −  ∑    ( ) ( )2 3 1 8 1 1 n i n i in =  − − − ∑ ( ) ( )( )22 2 2 3 8 80 1 2 1 1 2 1n nn n + + + + − − + + + −    ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 2 18 8 2 6 n n n n n n n − − −− S ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 2 18 8 2 6n n n n n nS S n n − − −≈ = − ( ) ( ) ( ) 2 3 1 1 1 2 18 8 4lim lim 2 6 3 n nn n i n n n n nS S n n→∞ →∞ = − − − = = − =    ∑ xy = → → →