1.5定积分的概念第2课时(选修2-2).doc

§1.5.2 汽车行驶的路程 【学情分析】： 学生在上一节学习了求曲边梯形面积之后，对定积分基本思想方法有了初步的了解。这一节可帮助学 生进一步强化理解定积分概念的形成过程。 【教学目标】： （1）知识与技能：“以不变代变”思想解决实际问题。 （2）过程与方法：强化掌握“分割、以不变代变、求和、取极限”解决问题的思想方法 （3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。 【教学重点】： “以不变代变” 的思想方法，再次体会求解过程中蕴含着的定积分的基本思想 【教学难点】： 过程的理解． 【教学过程设计】： 教学 环节 教学活动 设计意图 一 、 创 设 情 景 复习：1．连续函数的概念； 2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤； 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问 题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？ 引 导 学 生类比上节 内容解决本 节问题，培 养学生数学 应用意识。 问题：汽车以速度 组匀速直线运动时，经过时间 所行驶的路程为 ．如 果汽车作变速直线运动，在时刻 的速度为 （单位：km/h），那么它在 0≤ ≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程 （单位：km）是多少？ 引用生活实 例 （课本例题） 二 、 新 课 讲 授 分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的 路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间 分成 个小区间，在每个 小区间上，由于 的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽 车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得 （单位：km）的近似值，最后让 趋紧于无穷大就得到 （单位：km）的精确值． 思想：用化 归为各个小 区间上匀速 直线运动路 程和无限逼 近的思想方 法求出匀变 速直线运动 的路程 v t S vt= t ( ) 2 2v t t= − + t S [ ]0 ,1 n ( )v t S n S三 、 探 究 讨 论 思 考 ： 结 合 求 曲 边 梯 形 面 积 的 过 程 ， 你 认 为 汽 车 行 驶 的 路 程 与 由 直 线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ 结 合 上 述 求 解 过 程 可 知 ， 汽 车 行 驶 的 路 程 在 数 据 上 等 于 由 直 线 和曲线 所围成的曲边梯形的面积． 一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为 ，那么我们也可以采用 分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思 想，求出它在 a≤ ≤b 内所作的位移 ． 分 析 求 曲边梯形面 积过程和求 汽车行驶的 路程过程的 关系，使学 生认清问题 的本质。 例：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力 （ 为常数， 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方 法求解． 四 、 典 例 分 析 解： 将物体用常力 沿力的方向移动距离 ，则所作的功为 ． 1．分割 在区间 上等间隔地插入 个点，将区间 等分成 个小区间： ， ，…， 记第 个区间为 ，其长度为 把在分段 ， ，…， 上所作的功分别记作： ， ，…， S 0 , 1 , 0t t v= = = 2 2v t= − + lim nn S S→∞ = 0 , 1 , 0t t v= = = 2 2v t= − + ( )v v t= t S ( )F x kx= k x b F x W F x= ⋅ [ ]0 , b 1n − [ ]0 ,1 n 0 , b n      2,b b n n      ( )1 ,n b bn −      i ( )1 , ( 1, 2 , , )i b i b i nn n − ⋅ =     ( )1i bi b bx n n n −⋅∆ = − = 0 , b n      2,b b n n      ( )1 ,n b bn −      1W∆ 2W∆ nW∆2．近似代替 有条件知： 3．求和 从而得到 的近似值 4．取极限 所以得到弹簧从平衡位置拉长 所作的功为： 变 式 例 题，可以提 高学生对定 积分思想的 认识。 五 、 课 堂 练 习 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻 的速度为 （单 位 ），试计算这辆车在 （单位： ）这段时间内汽车行驶的路程 （单 位： ） 学 以 致 用，让学生 运用已学知 识解决问题。 六 、 总 结 回 顾 求汽车行驶的路程有关问题的过程与求曲边梯形面积的共同特征，概括出基本步骤 总 结 好 这两节的内 容，为下节 讲解定积分 的概念大好 基础。 ( ) ( )1 1 i i b i b bW F x kn n n − − ∆ = ⋅∆ = ⋅ ⋅    ( 1, 2 , , )i n=  ( ) 1 1 1n n n i i i i b bW W k n n= = −= ∆ = ⋅ ⋅∑ ∑ ( ) ( )2 2 2 2 2 1 10 1 2 1 12 2 n nkb kb kbnn n n −  = + + + + − = = −       W 2 112n kbW W n  ≈ = −   2 2 1 1lim lim lim 12 2 n n in n ni kb kbW W W n→∞ →∞ →∞=  = = ∆ = − =  ∑ b 2 2 kb t ( ) 2 5v t t= − + /km h 0 2t≤ ≤ h S km