1.5定积分的概念第3课时(选修2-2).doc

§1.5.3 定积分的概念 【学情分析】： 前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。学生 对定积分的思想方法已有了一定的了解。 【教学目标】： （ 1） 知 识 与 技 能 ： 定积分的概念、几何意义及性质 （ 2） 过 程 与 方 法 ： 在 定 积 分 概 念 形 成 的 过 程 中 ， 培 养 学 生 的 抽 象 概 括 能 力 和 探 索 提 升 能 力 。 （ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 让 学 生 了 解 定 积 分 概 念 形 成 的 背 景 ， 培 养 学 生 探 究 数 学 的 兴 趣 . 【教学重点】： 理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质 【教学难点】： 对定积分概念形成过程的理解 【教学过程设计】： 教学 环节 教学活动 设计意图 一 、 复 习 引 入 ： 曲边梯形的面积 ： 变速运动的路程： 归纳解决曲边梯形面积和变速直线运动的共同特征：第一，都通过“四 步曲”——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题；第二，最终结果都 归结为求同 一种类型的和式的极限。 结合已学的相关 知 识 基 础 学 习 新 概 念。 ( ) ( ) 0 1 1 1lim lim n n i ix ni i S f x fn ξ ξ ∆ → →∞= = = ∆ =∑ ∑ ( ) ( ) 0 1 1 1lim lim n n i it ni i S v t vn ξ ξ ∆ → →∞= = = ∆ =∑ ∑1.定积分概念 如果函数 在区间 上连续，用分点 将区间 等分成 个小区间，在每个小区间 上任取一点 ，作和式 当 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 在区间 上的定积分，记作 ，即 二、 新 课 讲 解 2.定积分概念的理解 （1）关于区间 分法。对区间 的分割应该是任意的，只要保 证每一小区间的长度都趋向于 0 就可以了。 （2）关于 的取法。在定积分的定义中，规定 是第 小区间上任意取 定的点，这主要是考虑到定义的一般性，但在解决实际问题或计算定积分时， 可以把 都取为每个小区间的左端点或右端点，以便于得出结果。 （3）定积分 中符号的含义： 叫做积分号， 分别叫做积 分下限和积分上限，区间 叫做积分区间，函数 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式。 定 积 分 的 值 与 积 分 变 量 用 什 么 字 母 表 示 无 关 ， 即 有 。 （4）定积分的含义（与不定积分的区别）： 是一个和式的极 限——是一个确定的常数； 是 的全体原函数——是函数。 详细剖析新概念， 让学生透彻理解。 ( )f x [ ],a b 0 1 1i i na x x x x x b−= < < < < < < =  [ ],a b n [ ]1,i ix x− ( 1,2, , )i i nξ =  ( ) ( ) 1 1 n n i i i i b af x fn ξ ξ = = −∆ =∑ ∑ n → ∞ ( )f x [ ],a b ( )b a f x dx∫ ( ) 1 ( ) lim nb ia n i b af x dx fn ξ →∞ = −= ∑∫ [ ],a b [ ],a b i ξ i ξ i i ξ ( )b a f x dx∫ ∫ ,a b [ ],a b ( )f x x ( )f x dx ( ) ( ) ( )b b b a a a f x dx f t dt f u du= =∫ ∫ ∫ ( )b a f x dx∫ ( )f x dx∫ ( )f x3．定积分的几何意义。 （1）学生在回顾前面两个实例的基础上做出回答： 1.5.1 中曲边梯形面积： 1.5.2 中 汽 车 在 这 段 时 间 经 过 的 路 程 ： （2）探究（课本 52 页）：如何用定积分表示位于 轴上方的两条曲线 与直线 围成的平面图形的面积。 结合图形，回忆 前 两 节 的 两 个 实 例 讲解，学生容易接受。 例 1 利用定积分的定义，计算 的值。 （使学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四部曲”，注意 引导学生选取 为特殊点以便于计算。） 4.定积分的基本性质： 由 于 没 有 学 习 极限相关知识，教学 中，不要求学生证明 这些基本性质，可帮 助 学 生 从 几 何 直 观 上感知。 例 2：计算定积分 分析：利用定积分的性质（1）、（2），可将定积分 转化 为 ，利用定积分的定义分别求出 ， ，就能得 到定积分 的值。 此 例 可 以 说 明 定积分性质的应用。 三 、 练 习 ①计算 的值，并从几何上解释这个值表示什么。 ②利用定积分的定义，证明 ，其中 均为常数且 。 ③试用定积分的几何意义说明 的大小。 进 一 步 熟 悉 定 积分的概念。 进 一 步 熟 悉 定 积分的几何意义。 四 、 课 堂 小 结 定积分的定义，计算定积分的“四步曲”，定积分的几何意义，定积分 的性质。 归纳，小结本节 的知识。 1 1 2 0 0 1( ) 3S f x dx x dx= = =∫ ∫ 0 1t≤ ≤ ( )1 1 2 0 0 5( ) 2 3S v t dt t dt= = − + =∫ ∫ x ( ) ( )1 2,y f x y f x= = ,x a x b= = 1 3 0 x dx∫ ( 1,2, , )i i nξ =  (1) ( ) ( ) ( )b b a a kf x dx k f x dx k=∫ ∫ 为常数 1 2 1 2(2) [ ( ) ( )] ( ) ( )b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx± = ±∫ ∫ ∫ (3) ( ) ( ) ( ) (a