1.6微积分基本定理第1课时(选修2-2).doc

§1.6.1 微积分基本定理 【 学 情 分 析 】 ： 学 生 已 经 在 高 一 学 习 了 物 理 中 的 匀 速 直 线 运 动 的 速 度 与 位 移 的 关 系 ， 并 且 在 前 一 节 课 通 过 学 习 了 “ 已 知 物 体 的 速 度 与 时 间 的 关 系 ， 求 其 在 一 定 时 间 内 经 过 的 路 程 ”，得 到 定 积 分 的 概 念 以 及 求 法 ． 学 生 必 然 会 提 出 ： 如 果 每 次 求 定 积 分 都 按 “ 四 部 曲 ” 求 解 是 一 件 很 麻 烦 的 事 情 ．利 用 学 生 的 疑 问 ，激 发 他 们 的 探 究 精 神 学 习 微 积 分 基 本 定 理 ．以 学 生 现 有 的 知 识 水 平 对 于 微 积 分 基 本 定 理 的 严 密 证 明 是 存 在 着 一 定 难 度 的 ， 而 突 破 难 点 在 于 让 学 生 主 动 去 探 索 ， 体 会 微 积 分 基 本 公 式 的 导 出 以 及 利 用 它 来 计 算 简 单 的 定 积 分 ， 这 样 才 能 从 真 正 意 义 上 把 握 该 定 理 的 含 义 ， 提 高 学 生 的 能 力 ， 体 现 学 生 的 主 体 地 位 ． 【 教 学 目 标 】 ： （ 1） 知 识 与 技 能 ： 了解微积分基本定理的含义 （ 2） 过 程 与 方 法 ： 运用基本定理计算简单的定积分 （ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 通 过 微 积 分 基 本 定 理 的 学 习 ， 体 会 事 物 间 的 相 互 转 化 、 对 立 统 一 的 辩 证 关 系 ， 培 养 学 生 辩 证 唯 物 主 义 观 点 ， 提 高 理 性 思 维 能 力 ． 【 教 学 重 点 】 ： 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正 确运用基本定理计算简单的定积分 【 教 学 难 点 】 ： 了解微积分基本定理的含义． 【 教 学 过 程 设 计 】 ： 教学环节 教 学 活 动 设 计 意 图 一、 提 出 问 题 (1) 你 能 用 定 义 计 算 吗 ? 师 :我 们 首 先 回 忆 昨 天 怎 样 计 算 ? 提 示 :快 速 阅 读 课 本 P52 例 题 1. 生 : 利 用 定 义 进 行 计 算 , 分 四 步 :① 分 割 ;② 近 似 代 替 ,③ 作 和 ;④取 极 限 . 师 : 利 用 定 义 计 算 时 , 需 要 使 用 这 一 结 果 ,技 巧 性 较 强 . 师 :能 否 按 照 定 义 计 算 ? 生 (或 师 ):需 要 求 的 和 ,而 这 个 “ 和 ”是 “ 求 不 出 ” 的 ， 因 此 用 定 义 就 算 不 出 的 结 果 ． 师：从 这 个 事 实 我 们 有 这 样 一 个 感 觉 ， 尽 管 我 们 的 被 积 函 数 简 单 （ 如 ），但 是 利 用 定 义 求 它 们 的 定 积 分 依 然 会 很 困 难 ， 甚 至 “ 求 ” 不 出 ． 师 ： 我 们 知 道 加 法 的 逆 运 算 是 减 法 ． 乘 法 的 逆 运 算 是 除 法 ， 而 两 向 量 的 加 法 运 算 和 减 法 运 算 是 互 为 逆 运 算 ．类 似 地 提 出 引 导 学 生 思 考 用 定 义 计 算 定 积 分 的 困 难 及 其 原 因 ． 2 1 1 dxx∫ 1 3 0 dx x∫ 1 3 0 dx x∫ 3 2 2 1 1 ( 1)4 n i i n n = = +∑ 2 1 1 dxx∫ 1 1 1 1 2 1n n n + + ++ − 2 1 1 dxx∫ 3 1( ) , ( )f x x f x x = =问 题：求 定 积 分 运 算 有 没 有 逆 运 算 ， 如 果 有 ， 它 的 逆 运 算 我 们 如 何 去 定 义 ？ 师：数 学 也 是 一 门 应 用 的 科 学 ， 如 果 微 积 分 难 以 在 实 际 中 应 用 ， 那 么 欧 洲 的 十 七 世 纪 的 科 学 也 不 会 得 到 那 么 快 的 发 展 ．我 们 的 前 辈 牛 顿 和 莱 布 尼 茨 分 别 独 立 有 效 的 创 立 了 微 积 分 的 基 本 定 理 和 运 算 法 则 ，从 而 使 微 积 分 能 普 遍 应 用 于 科 学 实 践 ． 师：前 辈 们 是 如 何 发 现 微 积 分 基 本 定 理 呢 ？ 现 在 我 们 不 妨 循 着 前 辈 足 迹 走 一 走 ．前 辈 经 过 思 考 ，发 现 导 数 和 定 积 分 有 某 种 联 系 ． 师 ： 我 们 可 以 看 看 下 面 的 一 些 事 实 ： 我 们 知 道 ，如 果 是 匀 速 直 线 运 动 速 度 函 数 ，那 么 在 直 线 下 方 的 面 积 S 就 是 位 移 ； 如 果 匀 变 速 直 线 运 动 速 度 函 数 为 ，同样 在 直 线 下 方 的 面 积 S 就 是 位 移 。 我 们 又 知 道 ， 位 移 函 数 ， 曲 线 下 的 面 积 可 以 用 定 积 分 进 行 计 算 。 你 能 从 上 面 的 找 到 规 律 吗 ？ 生 ： （ 2）师 ： 那 么 ， 导 数 和 定 积 分 到 底 有 何 内 在 联 系 ?能 否 从 这 种 联 系 中 找 出 求 定 积 分 的 简 便 、 有 效 的 方 法 ? 生 ： 阅 读 P57 的 探 究 师 ： 你 能 说 说 解 决 书 本 第 57 页 的 “ 探 究 ” 的 基 本 思 路 吗 ? 生 ： 思 考 ， 讨 论 ， 探 究 ， 并 尝 试 提 出 解 决 问 题 的 思 路 ． 类 比 启 发 引 导 学 生 大 胆 尝 试 激 发 寻 求 计 算 定 积 分 新 方 法 的 认 知 需 要 ． 渗 透 数 学 史 ， 让 学 生 认 识 到 历 史 上 数 学 光 辉 的 一 页 ． 0( )v t v= 0( )v t v= 0S vt= ( )v t at= ( )v t at= 2 0 1 2S at= ( ) '( )s t v t= 0 0 ( )dt v t t∫ 0 0 0 0 0 ( ) ( )d ( )dt t s t v t t s t t= =∫ ∫二、 探 索 新 知 师：为 了 解 决 一 个 一 般 性 的 问 题 ． 我 们 可 以 先 把 问 题 分 解 一 下 ． （ 3）师：如 果 做 直 线 运 动 的 物 体 的 运 动 规 律 是 ， 那 么 它 在 时 刻 的 速 度 是 什 么 ? 生 ： （ 4） 师 ： 如 何 用 表 示 物 体 在 内 的 位 移 S? 教 师 引 导 学 观 察 函 数 的 图 象 （ 图 1.6-1 ），观 察 图 象 （ 或 根 据 位 移 的 定 义 ） 得 出 S＝ s(b)－ s(a)． （ 图 1.6-1） （ 5） 师 ： 如 何 用 表 示 物 体 在 内 的 位 移 S？ （ 图 1.6-2） 教 师 引 导 学 生 利 用 导 数 的 几 何 意 义 ， 从 图 形 上 直 观 的 观 察 近 似 值 的 意 义 ，并 从 图 形 上 直 观 地 观 察 近 似 值 的 意 义 ，并 用 定 积 分 得 出 ． （ 6） 由 上 面 的 讨 论 你 能 得 到 什 么 结 论 ? 教 师 引 导 学 生 小 结 ： 物 体 在 上 的 位 移 就 是 在 区 间 上 的 定 积 分 ，等 于 函 数 在 区 间 端 点 b，a 处 的 函 数 值 之 差 ， 从 而 ． (7)给 出 微 积 分 基 本 定 理 的 一 般 形 式 ． 一 般 地 ， 如 果 是 区 间 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 ，那 么 ．这 个 结 论 叫 做 微 积 分 基 本 定 理 （ fundamental theorem of calculus），又 叫 做 牛 顿 － 复 习 路 程 与 速 度 之 间 的 关 系 ． 得 到 基 本 定 理 中 右 端 的 雏 形 得 到 基 本 定 理 中 左 端 的 雏 形 得 出 微 积 分 基 本 定 理 的 一 个 特 例 ， 为 得 出 微 积 分 基 本 定 理 奠 定 基 础 ( )s s t= t ( ) '( )v t s t= ( )s t [ ],a b ( )s s t= ( )v t [ ],a b ( )db a S v t t= ∫ [ ],a b ( ) '( )v t s t= ( )s t ( ) ( )s b s a− ( )d '( )d ( ) ( )b b a a v t t s t t s b s a= = −∫ ∫ ( )f x [ ],a b '( ) ( )F x f x= ( )d ( ) ( )b a f x x F b F a= −∫ ( ) ( )s b s a− ( )db a v t t∫莱 布 尼 茨 公 式 （ Newton－ Leibniz Formula）． 为 了 方 便 ， 我 们 常 常 把 记 成 ， 即 ． （ 8） 从 微 积 分 基 本 定 理 看 ， 运 用 定 理 求 定 积 分 的 关 键 是 什 么 ?如 何 求 F(x)? 生 （ 或 师 ） ： 关 键 是 求 出 满 足 的 函 数 F(x)． 教 师 引 导 学 生 得 出 求 函 数 F(x)的 方 法：运 用 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式 和 导 数 的 四 则 运 算 法 则 从 反 方 向 上 求 出 F(x)． 明 确 运 用 定 理 的 关 键 ． 三：实 践 新 知 （ 9） 计 算 ． 以 学 生 练 习 、 讨 论 为 主 ， 让 学 生 与 上 一 节 例 题 比 较 ， 得 出 结 论：结 果 相 同 ， 但 比 用 定 义 计 算 定 积 分 简 单 ． 教 师 给 出 规 范 的 书 写 格 式 ． （ 10） P59 例 题 1 计 算 （ 1） ； （ 2） 生 ： 解 题 ， 讨 论 ． 师 ： 板 书 （ 投 影 ），注 意 解 题 的 书 写 格 式 ． 附 板 书 ： 解 ： （ 1） ∵ ， ∴ （ 2） ∵ ， ∴ ① ， 初 步 展 示 利 用 微 积 分 基 本 定 理 求 定 积 分 的 优 越 性 ． ②第（ 1）题 与 本 节 引 言 中 的 讨 论 过 的 问 题 相 呼 应；第（ 2） 题 的 解 题 过 程 中 利 用 了 定 积 分 的 性 质 2，以说 明 利 用 定 积 分 的 性 质 可 以 间 或 求 解 过 程 ． ②规 范 书 写 格 式 ． 四 、 巩 固 新 知 1． 练 习 ： 计 算 （ 1） （ 2） （ n 为 正 整 数 ） 解 ： (1)∵ ， ∴ ． （ 1 ） 注 意 三 角 函 数 的 导 数 （ 2） 第 （ 2） 小 题 中 的 结 果 可 以 作 为 结 果 记 忆 ． ( ) ( )F b F a− ( ) b aF x ( )d ( ) ( ) ( )b b aa f x x F x F b F a= = −∫ '( ) ( )F x f x= 1 3 0 dx x∫ 2 1 1dxx∫ 3 21 12 dx xx  −  ∫ ( ) 1ln 'x x = 2 2 11 1d ln ln 2 ln1 ln 2x xx = = − =∫ ( )2 2 1 1' 2 , 'x x x x  = = −   3 3 3 3 32 2 2 11 1 1 1 1 1 12 d 2 d d 1 22(9 1) 13 3 x x x x x xx x x  − = − = +    = − + − =   ∫ ∫ ∫ 2 0 sin dx x π ∫ db n a x x∫ ( cos )' sinx x− = 2 0 2 0 sin d cos cos cos0 12x x x ππ π= − = − + =∫（ 2） ∵ ∴ 2． P61 练 习 （ 1）（ 3）（ 5）（ 7） 五 、 总 结 归 纳 （ 1） 微 积 分 基 本 定 理 （ 牛 顿 － 莱 布 尼 茨 公 式 ） ： 一 般 地 ， 如 果 是 区 间 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 ， 那 么 ． （ 2 ） 运 用 微 积 分 基 本 定 理 求 定 积 分 的 关 键 是 求 出 满 足 的 函 数 F(x)； 运 用 基 本 初 等 函 数 的 求 导 公 式 和 导 数 的 四 则 运 算 法 则 从 反 方 向 上 求 出 F(x) 教 师 引 导 学 生 概 括 微 积 分 基 本 定 理 的 思 想 方 法 ． 布 置 作 业 课后作业： １．书本：练习 （２）（４）（6）（8）． 2．P62 习题 A 组 1 3．P62 习题 A 组 1（思考） 为 下 一 节 课 准 备 设 计 反 思 特 色 班 应 该 注 意 以 教 师 启 发 ， 学 生 的 探 究 为 主 ， 充 分 让 学 生 体 会 得 到 微 积 分 基 本 定 理 的 过 程 。 同 步 练习 基础题： 1. 下列值等于 1 的积分是（ ） (A) (B) (C) (D) 答案：C '1 1 n nx xn +  = +  1 1 1 d 1 1 n n nb n b aa x b ax x n n + + +−= =+ +∫ ( )f x [ ],a b '( ) ( )F x f x= ( )d ( ) ( ) ( )b b aa f x x F x F b F a= = −∫ '( ) ( )F x f x= 1 0 dx x∫ 1 0 ( 1)dx x+∫ 1 0 1dx∫ 1 0 1d2 x∫解释： 2. 计算：(1) ；（2） ；（3） 解释：（1） （2） （3） 3. 已知自由落体速度为 ，则落体从 到 所走过的路程为（ ） (A) (B) (C) (D) 答案：C 解释： 4. 若 ，则 答案：1 解释： ，∴ ，∴ （难题） 5. 已知函数 ，若 成立，则 答案：－1 或 解释： ，∴ ，即 ，解得 或 6、计算下列定积分 （1） （2） 解：（1）∵ ， ∴ （2） ∵ ，且 ， ∴ 1 1 00 1d 1x x= =∫ 2 3 1 dx x∫ 2 0 (2 5)dx x+∫ 1 8 3 1 dx x−∫ 2 2 3 4 4 1 1 1 1 15d (2 1)4 4 4x x x= = − =∫ 2 22 00 (2 5)d ( 5 ) 14x x x x+ = + =∫ 81 48 3 3 1 1 3 45d 4 4x x x− − = =∫ v gt= 0t = 0t t= 2 0 1 3 gt 2 0gt 2 0 1 2 gt 2 0 1 4 gt 0 0t 2 2 00 0 1 1d 2 2 t gt x gt gt= =∫ 1 0 (2 )d 2x k x+ =∫ k = 1 12 00 (2 )d ( ) 1x k x x kx k+ = + = +∫ 1 2k+ = 1k = 2( ) 3 2 1f x x x= + + 1 1 ( )d 2 ( )f x x f a− =∫ a = 1 3 1 13 2 11 ( )d ( ) 4f x x x x x −− = + + =∫ 22(3 2 1) 4a a+ + = 23 2 1 0a a+ − = 1a = − 1 3a = 22 0 (3 sin )x x dx π +∫ 22 6 cos xdx π π∫ ( )3 2cos ' 3 sinx x x x− = + ( ) ( )3 3 2 3 22 0 0 (3 sin ) cos 0 0 1 18 8x x dx x x ππ π π + = − = − − − = +   ∫ 2 1 cos2cos 2 xx += 1 1 1 cos2( sin 2 ) '2 2 2 xx x + + =   222 2 6 6 6 1 cos2 1 1 3cos ( sin 2 )2 2 2 6 8 xxdx dx x x π π π π π π π+  = = + = −  ∫ ∫