1.6微积分基本定理第2课时(选修2-2).doc

§1.6.2 微积分基本定理 【 学 情 分 析 】 ： 在 上 一 节 教 学 中 ，学 生 已 经 学 习 了 微 积 分 基 本 定 理 ，并 且 初 步 学 会 使 用 微 积 分 基 本 定 理 进 行 求 定 积 分 的 计 算 ． 本 节 需 要 在 上 一 节 的 基 础 上 ， 进 一 步 理 解 定 积 分 的 几 何 意 义 ， 以 及 利 用 几 何 意 义 求 几 何 图 形 的 面 积 ． 学 生 在 学 习 了 几 种 初 等 函 数 ， 必 然 会 设 法 计 算 它 们 的 一 些 定 积 分 ． 另 外 学 生 在 之 前 还 学 习 一 些 具 有 特 殊 函 数 性 质 （ 奇 偶 性 ） 的 函 数 ， 这 些 函 数 也 是 可 以 作 为 研 究 的 对 象 ． 【 教 学 目 标 】 ： （ 1） 知 识 与 技 能 ： 进 一 步 熟 悉 运 用 基 本 定 理 求 定 积 分 ； 增 强 函 数 知 识 的 横 向 联 系 ; （ 2） 过 程 与 方 法 ： 理 解 定 积 分 的 值 与 曲 边 梯 形 面 积 之 间 的 关 系 ； （ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 培 养 学 生 的 探 究 精 神 与 创 新 思 想 。 【 教 学 重 点 】 ： （ 1） 运 用 基 本 定 理 求 定 积 分 （ 2） 定 积 分 的 值 与 曲 边 梯 形 面 积 之 间 的 关 系 【 教 学 难 点 】 ： （ 1） 求 函 数 的 一 个 原 函 数 （ 2） 理 解 定 积 分 的 值 与 曲 边 梯 形 面 积 之 间 的 关 系 【 教 学 突 破 点 】 ： 合 理 利 用 复 合 函 数 的 求 导 法 则 来 求 原 函 数 【 教 学 过 程 设 计 】 ： 教学环节 教 学 活 动 设 计 意 图 一、 提 出 问 题 师 ： 上 一 节 课 ， 我 们 学 习 微 积 分 基 本 定 理 （ 投 影 微 积 分 基 本 定 理 ），并 且 使 用 微 积 分 基 本 定 理 计 算 了 一 些 简 单 的 定 积 分 ． 下 面 我 们 看 看 试 试 计 算 这 些 定 积 分 ， 看 看 你 能 发 现 什 么 结 论 ？ 生 ： 计 算 ， 讨 论 ． 例 题 1： 计 算 下 列 定 积 分 ： （ 1） ； （ 2） 解 ： （ 1） ∵ ∴ （ 2） ∵ 时 ， ∴ 师 （ 总 结 ） ： 运 用 微 积 分 基 本 定 理 求 定 积 分 的 关 键 是 求 出 满 足 的 函 数 F(x)． （ 课 本 P60） 例 题 2： 计 算 下 列 定 积 分 ： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） 温 故 而 知 新 (2) 题 主 要 是 学 生 容 易 忽 视 定 义 域 ， 误 为 导 致 无 法 计 算 ． ( )f x ( )F x ( )F x 2 0 (2cos sin 1)dx x x π + −∫ 1 2 1dxx − −∫ (2sin cos )' 2cos sin 1x x x x− − = + − 2 02sin cos 3 2x x x π π− − = −原式= 0x < ( ) 1ln 'x x = ( ) 1 2 ln ln 1 ln 2 ln 2x − − = − − − = −原式= '( ) ( )F x f x= 0 sin dx x π∫ 2 sin dx x π π∫ 2 0 sin dx x π∫ 1 2ln ln( 1) ln( 2)x − − = − − −解 ： ∵ ∴ ， ， 二、 探 索 新 知 生 ： （ 可 能 会 回 答 ） 师 ： 这 是 一 个 定 积 分 的 性 质 ： （ 其 中 ）． 师 ： 试 试 利 用 曲 边 梯 形 的 面 积 表 述 所 发 现 的 结 论 ． 生 ： 定 积 分 的 值 可 以 是 正 值 、 负 值 或 0． 生 ： （ 书 本 P60）(1)当 对 应 的 曲 边 梯 形 位 于 x 轴 上 方 时 ， 定 积 分 的 值 为 正 值 ， 等 于 曲 边 梯 形 的 面 积 ； （ 2） 当 对 应 的 曲 边 梯 形 位 于 x 轴 下 方 时 ， 定 积 分 的 教 师 利 用 函 数 图 象 引 导 学 生 归 纳 给 出 一 般 结 论 ( cos )' sinx x− = 00 sin d ( cos ) ( cos ) ( cos0) 2x x x π π π= − = − − − =∫ 2 2sin d ( cos ) ( cos2 ) ( cos ) 2x x x π π ππ π π= − = − − − = −∫ 2 2 00 sin d ( cos ) ( cos2 ) ( cos0) 0x x x π π π= − = − − − =∫ 2 2 0 0 sin d sin d sin dx x x x x x π π π π = +∫ ∫ ∫ ( )d ( )d ( )db c b a a c f x x f x x f x x= +∫ ∫ ∫ a c b< ∫ ( )d 0b a f x x >∫ ( )f x [ ],a b ( )f x [ ],a b ,x a x b= = ( )db a f x x∫ [ ]( )d ( )d ( ) d ( )d ( )d ( )d ( )d b c d b a a c d c d b a c d f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x = + − + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( )f x [ ],a a− ( )f x ( )da a f x x− =∫ ( )f x [ ],a a− ( ) ( )f x f x= − − [ ],x a a∈ − '( ) ( )F x f x= '( ) ( )F x f x− = − [ ]'( ) ( ) ( ) '( ) ( )' '( ) ( ) 'F x f x f x F x x F x F x= = − − = − − = − − = −∴ （ C 为 常 数 ） 令 ， 则 有 ， ∴ ∴ ∴ ∴ 原 式 得 证 师 ： 本 题 从 几 何 直 观 上 是 非 常 容 易 理 解 的 ， 但 是 要 使 用 微 积 分 基 本 定 理 证 明 ， 关 键 是 证 明 奇 函 数 的 原 函 数 是 偶 函 数 这 个 性 质 ． 容 易 误 为 再 次 强 调 运 用 微 积 分 基 本 定 理 求 定 积 分 的 关 键 是 求 出 原 函 数 F(x) 三：实 践 新 知 练 习 ： 若 是 偶 函 数 ， 则 ． 证 明 ： ∵ 在 上 连 续 ,是 偶 函 数 ， ∴ ， 设 ， 则 有 , ∴ （ C 为 常 数 ） 令 ， 则 有 ， ∴ ∴ ∴原式得证 巩 固 新 知 练 习 ： 1． P62 习题 1. 6 B 组第 1 题（1）（3） 2． P62 习题 1. 6 B 组第 2 题（1）（3） 总 结 归 纳 定 积 分 的 几 何 意 义 ： 一 般 情 况 下 ， 定 积 分 的 几 何 意 义 是 介 于 x 轴 、 函 数 的 图 象 以 及 直 线 之 间 各 部 分 面 积 的 代 数 和 ， 在 x 轴 上 方 的 面 积 取 正 号 ； 在 x 轴 下 方 的 面 积 取 负 号 ． ( ) ( )F x F x C= − + 0x = (0) (0)F F C= + 0C = ( ) ( )F x F x= − ( )d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0a a aa f x x F x F a F a F a F a−− = = − − = − =∫ ( ) ( )F x F x= − ( )f x 0 ( )d 2 ( )da a a f x x f x x− =∫ ∫ ( )f x [ ],a a− ( ) ( )f x f x= − [ ],x a a∈ − '( ) ( )F x f x= '( ) ( )F x f x− = − [ ]'( ) ( ) ( ) '( ) ( )' ( ) ( ) 'F x f x f x F x x F x F x= = − = − = − − − = − − ( ) ( )F x F x C= − − + 0x = (0) (0)F F C= − + 2 (0)C F= ( )d ( ) ( ) ( ) 2 ( )a a aa f x x F x F a F a F a C−− = = − − = −∫ [ ]00 2 ( )d 2 ( ) 2 ( ) (0) 2 ( )a af x x F x F a F F a C= = − = −∫ ( )db a f x x∫ ( )f x ,x a x b= =布 置 作 业 1． P62 习题 1. 6 B 组第 1 题（2）（4） 2． P62 习题 1. 6 B 组第 2 题（2）（4） 3． P62 习题 1. 6 B 组第 3 题 设 计 反 思 对 于 例 题 3，在 证 明 某 些 关 键 的 地 方 要 提 示 ，也 可 以 采 用 老 师 讲 授 的 方 法 ，再 进 行 模 仿 练 习 。如 果 实 在 困 难 ， 略 去 严 格 的 数 学 证 明 也 未 尝 不 可 。 （基础题） 1. 的值是（ ） (A)0 (B) (C)2 (D)4 答案：C 解释： 2. 曲线 与坐标轴所围成的面积是（ ） (A)2 (B)3 (C) (D)4 答案：B 解释： 3. 与 x 轴所围成图形的面积为 答案：4 解释： 4. 设 ，求 。 2 2 (sin cos )dx x x π π− +∫ 4 π ( )2 2 2 2 (sin cos )d cos sin 2x x x x x π π π π− − + = − + =∫ 3cos (0 )2y x x π= ≤ ≤ 5 2 3 3 2 2 2 0 0 2 cos d cos d ( cos )dS x x x x x x π π π π= = + −∫ ∫ ∫ 32 0 2 sin sin 1 2 3x x ππ π= − = + = sin (0 2 )y x x π= ≤ ≤ 2 2 0 0 sin d sin d sin dx x x x x x π π π π = +∫ ∫ ∫ 2 0cos ( cos ) 4x xπ π π = − − = 2 0 1( ) 5 1 2 x xf x x ≤ ≤=  < ≤ 2 0 ( )f x dx∫ x y o 1 2解释： （难题） 5.求 解释：由图形可知 ∴ 6.设 为 上以 为周期的连续函数，证明对任何实数 ，有 证明：∵ 为 上以 为周期的连续函数 ∴ 设 ，则有 ∴ （C 为常数） ∴ 令 ，则 令 ，则 ∴ ∴ ∴原式等证。 2 1 2 1 2 0 0 1 0 1 ( ) ( ) ( ) 2 5 6f x dx f x dx f x dx xdx dx= + = + =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 max{ , } .x x dx−∫ y xo 2y x= 1 22− y x= 2 2 2 2 0 ( ) max{ , } 0 1 , 1 2 x x f x x x x x x x  − ≤ ≤ = = ≤ ≤  ≤ ≤ 0 1 22 2 2 0 1 11.2x dx xdx x dx− ∴ = + + =∫ ∫ ∫原式 ( )f x R T a 0 ( )d ( )da T T a f x x f x x + =∫ ∫ ( )f x R T ( ) ( ),f x T f x x+ = ∈R '( ) ( )F x f x= '( ) ( )F x T f x T+ = + [ ]'( ) ( ) ( ) '( ) ( )' '( ) ( ) 'F x f x f x T F x T x T F x T F x T= = + = + = + + = + ( ) ( )F x F x T C= + + ( ) ( )C F x F x T= − + 0x = (0) ( )C F F T= − x a= ( ) ( )C F a F a T= − + ( )d ( ) ( ) ( )a T a T aa f x x F x F a T F a C + += = + − = −∫ 00 ( )d ( ) ( ) (0)T Tf x x F x F T F C= = − = −∫