§1.7.1 定积分在几何中的应用
【 学 情 分 析 】 ：
在 上 一 阶 段 的 学 习 中 ，已经 学 习 了 利 用 微 积 分 基 本 定 理 计 算 单 个 被 积 函 数 的 定 积 分 ，
并 且 已 经 理 解 定 积 分 可 以 计 算 曲 线 与 x 轴 所 围 面 积 。本 节 中 将 继 续 研 究 多 条 曲 线 围 成 的
封 闭 图 形 的 面 积 问 题 。学 生 将 进 一 步 经 历 到 由 解 决 简 单 问 题 到 解 决 复 杂 问 题 的 过 程 ，这
是 一 个 研 究 问 题 的 普 遍 方 法 。学 生 能 正 确 的 理 解 定 积 分 的 几 何 意 义 ，是 求 面 积 问 题 的 基
础 。 但 是 对 各 种 图 形 分 割 的 技 巧 以 及 选 择 x－ 型 区 域 或 y－ 型 区 域 计 算 是 比 较 陌 生 的 。
突 破 点 是 一 定 要 借 助 图 形 直 观 ， 让 学 生 清 楚 根 据 曲 线 的 交 点 划 分 图 形 （ 分 块 ）以 及 根 据
曲 线 的 特 点 （ 解 出 变 量 x 还 是 y 简 单 ） 选 择 x－ 型 区 域 或 y－ 型 区 域 。
【 教 学 目 标 】 ：
（ 1） 知 识 与 技 能 ： 解 决 一 些 在 几 何 中 用 初 等 数 学 方 法 难 以 解 决 的 平 面 图 形 面 积 问 题
（ 2） 过 程 与 方 法 ： 在 解 决 问 题 中 ， 通 过 数 形 结 合 的 思 想 方 法 ， 加 深 对 定 积 分 几 何 意
义 的 理 解
（ 3） 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 体 会 事 物 间 的 相 互 转 化 、 对 立 统 一 的 辩 证 关 系 ， 培 养 学 生
辩 证 唯 物 主 义 观 点 ， 提 高 理 性 思 维 能 力 ．
【 教 学 重 点 】 ：
（ 1） 应 用 定 积 分 解 决 平 面 图 形 的 面 积 问 题 ， 使 学 生 在 解 决 问 题 的 过 程 中 体 验 定 积 分
的 价 值 以 及 由 浅 入 深 的 解 决 问 题 的 方 法 。
（ 2） 数 形 结 合 的 思 想 方 法
【 教 学 难 点 】 ：
利 用 定 积 分 的 几 何 意 义 ， 借 助 图 形 直 观 ， 把 平 面 图 形 进 行 适 当 的 分 割 ， 从 而 把 求 平 面
图 形 面 积 的 问 题 转 化 为 求 曲 边 梯 形 面 积 的 问 题 ．
【 教 学 过 程 设 计 】 ：
教学环
节
教 学 活 动 设 计 意 图
一、
例题
1
（ 1） 师 ： 我 们 已 经 看 到 ， 定 积 分 可 以 用 来 计 算 曲 边 梯 形 的 面
积 ，事实 上 ，利用 定 积 分 还 可 以 求 比 较 复 杂 的 平 面 图 形 的 面 积 。
（ 2） 例 题 1 计 算 由 曲 线 所 围 图 形 的 面 积 S。
生 ： 思 考 ， 讨 论
师 （ 引 导 ， 总 结 ）：例 1 是 求 由 两 条 抛 物 线 所 围 成 的 平 面 图
形 的 面 积 ．第 一 步 ，画 图 并 确 定 图 形 大 致 形 状 、范 围 ，借 助 几
何 直 观 ，将 所 求 平 面 图 形 面 积 看 成 位 于 x 轴 上 方 的 两 个 曲 边 梯
形 面 积 之 差 ；
引 入 课 题
2 2,y x y x= =
师：第 二 步 ， 确 定 积 分 上 、 下 限 ， 即 通 过 解 方 程 组 求 出 交 点 的
横 坐 标 ， 进 而 确 定 被 积 函 数 和 积 分 上 、 下 限 (本 例 中 需 将 曲 线
的 解 析 式 进 行 变 形 ， 得 到 ， 由 于 所 围 图 形 在 x 轴
上 方 ， 因 此 取 )；
解 方 程 组 得 交 点 的 横 坐 标 为 及 。
师：第 三 步 ， 写 出 平 面 图 形 面 积 的 定 积 分 表 达 式 ， 运 用 微 积 分
基 本 定 理 计 算 定 积 分 ， 从 而 求 出 平 面 图 形 的 面 积
因 此 ， 所 求 图 形 的 面 积 为
师 ： 我 们 解 决 这 样 问 题 的 一 般 解 题 方 法 和 步 骤 是 ？
生 （ 总 结 ） ：
① 一 般 先 画 出 它 的 草 图 ．
② 借 助 图 形 直 观 确 定 出 被 积 函 数 以 及 积 分 的 上 、 下 限 ．
③ 利 用 微 积 分 基 本 定 理 计 算 定 积 分 ， 从 而 求 出 平 面 图 形 的 面
积 ．
师：我 们 把 这 个 题 目 提 升 为 一 般 类 型：即 求 两 条 曲 线 所 夹 面 积：
若 函 数 和 在 区 间 上 连 续 且 在 上 有 ,
板 书 解 题 详 细 步
骤 ，规范 学 生 的 解
题 格 式 。
结 合 例 题 ，对解 题
步 骤 进 行 归 纳 总
结 ，使学 生 明 确 利
用 定 积 分 求 平 面
图 形 面 积 的 基 本
步 骤 。
简 单 的 证 明 可 以
留 给 学 生 作 为 课
外 联 系 。
2y x= y x= ±
y x=
2
2
y x
y x
=
=
0x = 1x =
1 2
0
3
1 3 12
0 0
d d
2 1
3 3
2 1
3 3
1
3
OABC OABDS S S
x x x x
x x
= −
= −
= −
= −
=
∫ ∫
曲边梯形 曲边梯形
1
0
( )f x ( )g x [ ],a b [ ],a b ( ) ( )f x g x≥那 么 由 y＝ f (x)， y＝ g（ x） ,x=a,x=b 所 围 成 的 有 界 区 域 面 积 为
＝ －
－
＝
我 们 看 到 ， 尽 管 我 们 的 证 明 的 示 意 图 中 曲 线 与
的 均 在 x 轴 上 方 ， 但 是 ， 由 1.6 的 学 习 我 们 可 以 知 道 ， 曲 线
或 在 x 轴 下 方 也 不 影 响 我 们 的 证 明 ， 结 论 仍 然
是 正 确 的 。
师 ： 更 一 般 的 ， 若 函 数 和 在 区 间 上 连 续 ,那 么 由 y
＝ f (x) ， y ＝ g （ x ） ,x=a,x=b 所 围 成 的 有 界 区 域 面 积 为
。 但 是 仍 然 去 绝 对 值 后 转 化 为 分 出 和
的 大 小 解 决 。
b
[ ( ) ( )]da
A f x g x x= −∫
b
( )da
f x x∫ b
( )da
g x x∫
( )y f x= ( )y g x=
( )y f x= ( )y g x=
( )f x ( )g x [ ],a b
b
( ) ( )da
A f x g x x= −∫ ( )f x
( )g x二 、
例
题
2
例 题 2 计 算 由 直 线 ， 曲 线 以 及 x 轴 所 围 图 形 的
面 积 S。
师 ： 仿 照 上 题 的 思 路 ， 能 够 解 决 这 个 题 目 。
生 ： 可 以 。
生 ： 思 考 ， 计 算 ， 对 比 课 本 的 解 答 。
师 ： 巡 视 。
师 ： 本 题 还 有 其 他 的 解 法 吗 ？
生：将 所 求 平 面 图 形 的 面 积 看 成 一 个 曲 边 梯 形 与 一 个 三 角 形 的
面 积 之 差
师：本 题 还 可 以 将 所 求 平 面 图 形 的 面 积 看 成 位 于 y 轴 右 边 的 一
个 梯 形 与 一 个 曲 边 梯 形 的 面 积 之 差 ，因 此 取 y 为 积 分 变 量 ，还
需 要 把 函 数 变 形 为 ，函 数 变 形 为 。
这 时 候 ， 把 例 题 2 转 化 成 例 题 1 的 图 形 。
师 ： 比 较 这 些 解 法 ， 你 有 什 么 想 法 ？
生 ： 比 较 这 些 解 法 可 以 发 现 ． 利 用 定 积 分 求 平 面 图 形 面 积 时 ，
适 当 地 分 割 图 形 或 适 当 地 选 择 积 分 变 量 可 以 简 化 解 题 过 程 ．
如果发现其他解法，
记录展示。
教 学 中 ．可以 引 导
学 生 得 出 不 同 的
解 法 并 进 行 比
较 ．
选 择 x 作 为 积 分
变 量 则 作 为 x－ 型
计 算 ，选 择 y 作 为
积 分 变 量 则 作 为 y
－ 型 计 算 。
三 、
实 践
新 知
练 习 ： 1.计 算 曲 线 和 所 围 的 图 形 面 积 。 体 会 如 何 灵 活
处 理 x－ 型 区 域 问
题 与 y－ 型 区 域 问
题
4y x= − 2y x=
8 8
0 5
402 d ( 4)d 3S x x x x= − − =∫ ∫
4y x= − 4x y= + 2y x=
2
2
yx =
24 4
0 0
40( 4)d d2 3
yS y y y= + − =∫ ∫
2x y= 24x y= −解 法 一 （ 按 x－ 型 计 算 ） ：
联 立 ， 解 得 。
如 图 ， 由 对 称 性 ,
， 其 中 被 积 函 数
∴
其 中
∴ ， ∴
解 法 二 （ 按 y－ 型 计 算 ） ：
联 立 ， 解 得 。
∴
2．求抛 物 线 与 直 线 所 围 成 的 平 面 区 域 的 面 积 。
解 法 一 ： 所 给 的 区 域 不 是 一 个 规 范 的 x-型 区 域 ， 如 图 ， 为 了
便 于 计 算 需 将 其 图 形 进 行 分 割 ,即 可 化 成 两 个 x-形 区 域 的 面
2
24
x y
x y
=
= −
2 2
,
2 2
x x
y y
= = = = −
12S S=
4
1 0
( )dS f x x= ∫ , 0 2( )
4 ,2 4
x xf x
x x
≤ ≤=
− < ≤
2 4
1 0 2
d 4 dS x x x x= + −∫ ∫
( )3 1 13
2 2 22
2 2' , 4 ' (4 )3 3x x x x
= − − = −
( )
2 43 3
2 21
20
2 2 8 243 3 3S x x= + − − = 1
16 22 3S S= =
2
24
x y
x y
=
= −
2 2
,
2 2
x x
y y
= = = = −
2 22 2 2
2 2
23
2
(4 ) d (4 2 )d
2 16 24 3 3
S y y x y x
yy
− −
−
= − − = −
= − =
∫ ∫
2y x= 2 3 0x y− − =积 问 题 。
联 立 方 程 组 得 ， 解 得 ，
∴ ，
∴ 总 面 积
解 法 二 ： 以 y 为 积 分 变 量 ， 区 域 看 成 是 y－ 型 区 域 求 解 。
联 立 方 程 组 得 ， 解 得 ，
∴
四 、
巩 固
新 知
1.P65 练 习 (1)(2)
总 结
归 纳
1.利 用 定 积 分 求 平 面 图 形 面 积 的 基 本 步 骤 ：
① 一 般 先 画 出 它 的 草 图 ．
② 借 助 图 形 直 观 确 定 出 被 积 函 数 以 及 积 分 的 上 、 下 限 ．
③ 利 用 微 积 分 基 本 定 理 计 算 定 积 分 ， 从 而 求 出 平 面 图 形 的 面
积 ．
2．若 函 数 和 在 区 间 上 连 续 ,那 么 由 y＝ f (x)，y＝ g
（ x） ,x=a,x=b 所 围 成 的 有 界 区 域 面 积 为
3. 利 用 定 积 分 求 平 面 图 形 面 积 时 ， 适 当 地 分 割 图 形 或 适 当 地
选 择 积 分 变 量 可 以 简 化 解 题 过 程 ．选 择 x 作 为 积 分 变 量 则 作 为
x－ 型 计 算 ， 选 择 y 作 为 积 分 变 量 则 作 为 y－ 型 计 算 。
2
2 3 0
y x
x y
=
− − = 1 21, 9x x= =
1
1 0
4[ ( )] 3S x x dx= − − =∫
9
2 1
3 28[ ( )]2 3
xS x dx
−= − =∫
1 2
32
3S S S= + =
2
2 3 0
y x
x y
=
− − = 1 21, 3y y= − =
3 2
1
32(2 3) d 3S y y y−
= + − = ∫
( )f x ( )g x [ ],a b
b
( ) ( )da
A f x g x x= −∫布 置
作 业
1．P67 习题 1.7 A 组 1
2．P68 习题 1.7 B 组 1、2、3
设 计
反 思
如 果 特 色 班 在 学 习 例 题 1 的 时 候 ， 可 以 由 学 生 总 结 规 律 。 例
题 2 以 及 练 习 ， 教 师 特 别 应 该 强 调 清 楚 根 据 曲 线 的 交 点 划 分
图 形 （ 分 块 ）以 及 根 据 曲 线 的 特 点 （ 解 出 变 量 x 还 是 y 简 单 ）
选 择 x－ 型 区 域 或 y－ 型 区 域 。这 个 地 方 可 以 由 老 师 帮 助 学 生
归 纳 。
（基础题）
1. 如右图，求直线 与抛物线 所围成的图形面积。
解：由方程组 ，可得 ，故所求面积为
2. 如图所示，阴影部分面积是（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：C
解释：
3. 由曲线 和 x 轴、直线 、 所围成图形的面积为
答案：
解释：
如图所示，
4. 由曲线 和 x 轴所围成的图形面积为
答案：144
解释：
如图所示，曲线 与 x 轴交点为 ，与 y 轴交点为 ，
∴
5. 由曲线 和直线 所围成的图形面积为
2 3y x= + 2y x=
2
2 3y x
y x
= +
= 1 21, 3x x= − =
3
3 2 2 3
1
1
1 32(2 3) d 3 3 3S x x x x x x−
−
= + − = + − = ∫
2 3 2 3− 32
3
35
3
1
1 2 3 2
3
3
1 32(3 2 )d 3 3 3x x x x x x−
−
− − = − − = ∫
1xy e −= 0x = 3x =
3 1e
e
−
33 31 1 2 1
00
1dx x eS e x e e e e
− − − −= = = − =∫
64
xy = −
64
xy = − ( 24,0)± (0, 6)−
1 24 ( 24) 6 1442S = × − − × − =
lny x= 2, 2x y= = −答案：
解释：
如图所示，曲线 与 的交点为 ，
∴
（中等题）
6. 求由曲线 和 所围成的图形在区间 上的面积。
答案：1
解释：
如图所示，
7. 求曲线 及直线 所围成的平面图形的面积
解释：先求交点坐标，由 得交点 ，
以 y 为积分变量，求面积
（难题）
8. 的值为（ ）
(A) (B) (C) (D)以上都不对
答案：C
解释：由定积分的几何意义可知，所求的为圆 的第一象限的面积
9. 在曲线 上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 ，试求：
（1）切点 A 的坐标；（2）过切点 A 的切线方程。
解：如右图，
设切点 ，由 ，过点 A 的切线方程为 ，
即 。令 ，得 ，即 。设由曲线和过 A 点的切线
及 x 轴所围成的图形面积为 ， ，
2
2
9 2
2 e e
− −
lny x= 2y = − 2( , 2)e− −
2 2
2
2
2 2 1ln ( 2)d (ln 2)d 2e e
e
S x x x x xx− −
−
= − − = + = + = ∫ ∫
2
2
9 2
2 e e
− −
1sin 2y x= 1 sin2y x= [ ]0,π
0 0
1 1 1 1sin sin d sin sin d2 2 2 2S x x x x x x
π π = − = − ∫ ∫
0
1 12cos cos 12 2x x
π = − + =
1xy = , 3y x y= =
1xy
y x
=
= (1,1)A
3
3 2
1
1
1 1d ln 4 ln32S y y y yy
= − = − = − ∫
2 2
0
4 dx x−∫
2π 1π + π
2 2 4x y+ = 21 24S π π= × × =
2 ( 0)y x x= ≥ 1
12
0 0( , )A x y ' 2y x= 0 0 02 ( )y y x x x− = −
2
0 02y x x x= − 0y = 0
2
xx = 0 ,02
xC
S
0
0 2 3 3
00
0
1 1d = 3 3
x
x
AOBS x x x x= =∫曲边△，即： ，∴ ，从而切点 ，切
线方程为 。
2 30
0 0 0
1 1 1( )2 2 2 4ABC
xS BC AB x x x= = − = △
3 3 3
0 0 0
1 1 1 1
3 4 12 12S x x x= − = = 0 1x = (1,1)A
2 1y x= −
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