九年级下册数学第三章 回顾与思考（第1课时）教学设计.doc

1 九年级下册 第三章《圆》复习课 第三章《圆》复习课共分两个课时，第一课时，梳理本章知识脉络，一方面 从知识点的角度整理“圆的基本概念与定理”、“与圆有关的位置关系”、“与圆有 关的计算”三大板块内容；另一方面结合本章典型例题归纳数学思想方法；第二 课时，通过创设开放性的问题情景，引导学生综合应用知识从不同角度展开提问 并尝试解答，从另一个角度让学生把本章的知识点重新组织起来. 第三章 圆 《回顾与思考（第 1 课时）》 教学设计说明 一、学生起点分析 学生的知识技能基础 通过《圆》的整张内容的学习，学生能初步掌握圆的相关知识，对与圆有关 的基本概念及定理有了清楚的认识.但本单元知识点较多，学生在知识体系建构 以及应用定理解决实际问题方面均需要一个循序渐进的过程. 学生活动经验基础 在初中阶段各个单元的相关知识的学习过程中，学生逐渐形成了归纳总结所 学知识的习惯.同时在以往的数学学习中学生已经具备了一定的分析问题的能力， 且在解决具体问题时会运用转化等数学思想方法. 二、教学任务分析 本课为单元的复习课的第一课时，需要引导学生对所学知识进行系统梳理. 同时针对圆的相关定理，配以典型例题，以习题讲练的形式进行，以点带面，将 本单元中各种典型的图形展现，使学生对定理的应用得到进一步的深化. 为此，本节课的教学目标是：2 1．逐渐形成“圆的基本概念与定理”、“与圆有关的位置关系”、“与圆有关 的计算”的知识网络体系； 2．在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法，特 别是辅助线添加和转化思想等难点问题. 三、教学设计分析 本课共分三个环节：知识回顾、精选精练、归纳小结. 第一环节：知识回顾 在课前，先让学生自行回顾本单元内容，并尝试建构单元的知识框架，并在 课堂上展示.之后老师给出参考框图如下： 对于每一个知识点，可以在利用学案填空的形式让学生回顾. 1. 圆的对称性 圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ； 圆又是 中心 对称图形， _圆心____是它的对称中心. 2. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ； 平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，并且平分 弦所对的两、 条弧. 圆 基本概念与性质 与圆有关的位置关系 与圆有关的计算 定义 对称性 点与圆的位置关系 弧长 确定圆的条 件 圆周角与圆心角的关系 垂径定理 圆心角、弧、弦的关系 直线与圆的位置关系 圆的内接四边形 扇形面积 切线长定 理 内接正多边形 · O A B D E C3 3. 圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相 等. 在同圆或等圆中，如果两个 圆心角 ，两条弧，两条弦，中有 一组量 相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 . 4.圆周角定理 同弧或等弧所对的圆周角相等 ，都等于它所对弧的圆心角 度数 的一半 . 直径所对的圆周角是直角 ，90°所对的弦是直径 . 5.与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 ①点 P 在圆外 d > r； ②点 P 在圆上 d = r； ③点 P 在圆内 d < r. （2）直线与圆的位置关系 ①直线和⊙O 相交 d < r； ②直线和⊙O 相切 d = r； ③直线和⊙O 相离 d > r. 6.圆的切线的性质 圆的切线 垂直于 过切点的半径； 符号语言：∵l 是⊙O 的切线， 切点为 A，OA 是⊙O 的直径， ∴OA⊥l 7．圆的切线的判定 经过 半径 的外端，并且垂直于 这条 半径 的直线是圆的切线. 符号语言∵OA 是⊙O 的半径, l⊥OA 于 A, ∴ l 是⊙O 的切线. 8. 切线长定理 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ · O A B A′ B′ · A C B O r · O A P P P · l O r l l · O lA A P O. B4 从圆外一点所画的圆的两条切线的长相等. 符号语言：∵PA、PB 分别切⊙O 于 A、B， ∴PA=PB 9．圆的内接多边形 圆的内接四边形对角互补. 10．弧长与扇形面积的计算 n°的圆心角所对的弧长计算公式为 ， n°的圆心角所在的扇形面积为 . 本环节主要由学生自主填写，课堂上可以用大概 5 分钟左右时间让学生去完 成，之后老师和同学以前回顾，并指出当中规范符号语言表达. 第二环节：精选精练 对于圆的各种定理，学生学习完本单元后往往只停留在表面的理解之上.对 于定理的具体应用及之间的联系是不够深刻的.本环节设计了 6 道习题，从不同 的角度对问题进行分析，以达到精练而有效的目的. 问 题 1. 如 图 ， ⊙ O 是 △ ABC 的 外 接 圆 ， 已 知 ∠ ACO=30 ° ， ∠ B=_______． 『分析』本题考察的是同弧所对的圆周角的问题，题目只给出了部分图形， 需要学生挖掘相关条件，因此，添加辅助性是一个关键. 方法一：连接 OA，可知∠B= ∠ACO，由等腰三角形性质易求∠ACO=120 °； 方法二：延长 CO 交⊙O 于 D，连接 DA，则∠B 与∠D 均为 所对的圆周 角，而 CD 为直径，可得∠DAC=90°，则∠B=∠D=90°-30°=60°. 教师点拨：通过辅助线的添加，建立同弧所对的圆周角及圆心角或直径所对 180 n Rl π= 2 360 n RS π=扇形 2 1 AC A B C D · O n° 1° B A O C B A O C D5 的圆周角，实现所求对象的转换. 问题 2.如图 2，在⊙O 中，弦 AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30 °，则⊙O 的直径等于______cm. 『分析』本题所求的对象——直径并非显性对象，需要构造 出来，同时要与题目中的已知条件有联系，因此构造直角三角形是 关键点和难点. 解：连接 AO，并延长交⊙O 于 D，连接 BD， ， ∴∠D=∠C=30° ， ∵AD 是直径，∴∠B=90° ， ∴ 教师点拨：当所求对象非显性存在时，可先将其作出，并寻找与之相关的已 知条件. 问题 3.已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F, 且 AE=BF，请你找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明. 『分析』本题需要先通过观察，对线段的数量关系进行判断，对于证明线段 相等的问题，学生往往会选择使用较多的全等方法，此时可以提出对称形的思想 方法，利用垂径定理的结论直接解答，当然，辅助性的添加是个难点. 解法一：连接 OA、OB，可知△AOB 为等腰三角形，因此可以找到全等三 角形的三组条件 OA=OB ，∠A= ∠B ，AE=BF ，所以△AOE ≌△BOF ，可得 OE=OF. 解法二：过 O 作 AB 的垂线 OG，由垂径定理可得 AG=BG,又已知 AE=BF， 所以得 EG=GF，从而知道 OG 为 EF 的垂直平分线，所以 OE=OF.  AB AB= 2 3.6AD AB= = B C O A D O A B C D E F O A B C D E F G6 教师点拨：图形呈轴对称性时，可利用垂径定理求解，也可利用半径和弦组成 的等腰三角形的对称性求解. 问题 4. 某宾馆大堂要铺设圆环形地毯，如图，工人 王师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦 AB 的长就计算出 了圆环的面积，王师傅是怎样算的？请你用圆的相关知识 加以解释. 『分析』本题需要先表示出圆环的面积，而大小圆的 半径未知，但利用圆的切线可以将两半径 OA 与 OC 联系在一起，从而达到解决 问题的目的. 解：连接圆心 O 与切点 C，连接 AO ， ∵OC⊥AB, ∴在△AOC 中，AO2-OC2=AC2 ∴S 圆环面积=π(AO2-OC2)=πAC2 =π( )2, 教师点拨：遇到相切问题经常需要作出过切点的半径，垂径定理往往需要建 立的直角三角形，并利用勾股定理求解三边. 问题 5. 如图，过圆外一点 O 作⊙O′的两条切线 OA、 OB ，A 、B 是切点，且 OO ’圆 O 半径长两倍，则∠ AOB=______. 『分析』本题的基本图形是切线长定理的模型，但问题 却转化为求切线的夹角，此时连接过切点的半径是解决问题的关键.同时直角三 角形的边角关系也是一个考察的知识点. 解：连接 OA,OB，OO’， ∵OA,OB 与⊙O′相切， ∴OA=OB，且 O’A⊥OA，O’B⊥OB, 在 Rt△AOO’中，∵ ，∴∠AOO’=30° 同理可得∠BOO’=30°，即∠AOB=60° 教师点拨：过圆外一点可作两条与圆相切的直线，该点与两切点的距离相等， 且 OO’平分∠AOB 问题 6. 如图，Rt△ABC 内接于⊙O，∠A=30°， 2 AB 2 1 ' = OO OA O A BC O A B O’ O A B C D7 延长斜边 AB 到 D，使 BD 等于⊙O 半径，求证：DC 是⊙O 切线. 『分析』本题是综合应用定理解决问题，表面是考察切线的判定问题，但实 际需要使用辅助线，实现直角三角形的判定. 证明：连 OC，如图， ∵∠A=30°，OA=OC， ∴∠COB=60°， ∵△COB 为等边三角形，∴BC=BO， 而 BD 等于⊙O 半径， ∴BC=BO=BD， ∴△OCD 为直角三角形，即∠OCD=90°， 所以 DC 是⊙O 切线． 教师点拨：求证圆的切线问题除了需要作出过切点的半径，还要注意观察图 形的特征，例如包涵的特殊三角形的性质. 第三环节 课堂小结 1．本章知识结构和重点内容； 2．观察——猜想——关联； 3．辅助线的添加以及转化的数学思想在解决圆的问题时的相关应用. 四、教学设计反思 本课是在完成北师大九年级下《圆》的一整章教学后的一节复习课，但本课 并没有过多地进行知识的归纳和直接的梳理，而是以习题讲练的形式进行，以点 带面，将本单元中各种典型的图形展现，特别是突出辅助线添加和转化思想等难 点问题，内容充实.学生通过自己的练习发现每个题目均有多种不同的方法，并 发现其之间的联系，实现了巩固知识，突破难点的目的. 为了更高效的复习，可以选用学案的形式，先以图表的形式展示了《圆》知 识结构，并通过填空的形式重温了重要的定理.之后由学生随堂动笔解决问题， 并由学生自己提出解答方案，将课堂还给学生，一题多解，探索效果较好.但实 际教学中的时间有限，对于转化思想的几个难题较作更深入的探究，老师也会急7 于提示相关的方法.实际上学生可能有更多的解答方法，甚至可以提出更多的新 的问题，这需要在教学中为学生创设更宽广的空间.