九年级下册数学第三章 回顾与思考（第2课时）教学设计.doc

1 第三章 圆 《回顾与思考（第 2 课时）》 教学设计说明 一、学生起点分析 学生的知识技能基础 通过本章内容的学习，学生初步掌握圆的相关知识，结合《圆》复习课第一 课时，逐渐形成“圆的基本概念与定理”、“与圆有关的位置关系”、“与圆有关的 计算”的知识网络体系. 学生活动经验基础 在圆的相关知识的学习过程中，学生逐渐形成了数学思想方法，如在探索圆 周角与圆心角关系、点与圆、直线与圆的位置关系的过程中体会分类讨论思想， 研究拱桥跨度、拱高等问题时建立建模思想，研究垂径定理、圆心角、弧、弦之 间关系定理时体会化归与转化思想等.同时在以往的数学学习中学生已经经历了 很多探究学习的过程，具有了一定的探究学习的经验，具备一定的提出问题、分 析问题的能力. 二、教学任务分析 通过复习课第一课时内容的学习，学生对《圆》的知识网络体系进行了初步 的梳理与构建.本课通过创设开放性的问题情景，引导学生综合应用知识从不同 角度展开提问并尝试解答，从另一个维度对本章的数学知识与思想方法进行反思， 通过进一步整合、重组，将其内化到学生原有的认知体系中.为此，本节课的教 学目标是： 1．通过问题的设计，对圆的相关知识与思想方法进行反思，逐步培养提出 问题，分析问题的能力； 2．在解决具体问题的过程中，构建圆的知识体系，内化数学思想方法. 3．在探索活动中通过合作与交流，进一步发展合作交流的能力和数学表达 能力.2 三、教学设计分析 本课共分三个环节：问题开放、变式练习、总结归纳. 第一环节：问题开放 如图：已知在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，过 D 作 DE⊥AC 于点 E，CD＝ ，∠ACB ＝30 º . 请同学们尝试提出问题. 『分析』本题改编自一道课后练习题，题目的信息量非常丰富，由于问题的 开放性，学生可提出问题的角度很多，如垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、点 与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等.如： 问题 1：求证点 D 是 BC 的中点； 问题 2：求⊙O 的半径； 问题 3：求点 O 到 BD 的距离； 问题 4：求证 DE 是⊙O 的切线； …… 学生提出问题后，分组并进行求解或证明. 问题 1：求证点 D 是 BC 的中点； 『分析』本题涉及圆的基本概念与性质，通过连接 AD，构造直径所对的圆 周角，利用直径所对的圆周角是直角，等腰三角形三线合一，即可得证. 本题辅 助线的构造方式是有关圆问题讨论的常用方案，本题也较好地体现了转化的思想 方法.类似地，学生还可以提出：求证 AD 平分∠CAB. 问题 2：求⊙O 的半径； 『分析』利用含 30º 角的直角三角形边角关系，勾股定 理，等边对等角等方法，便可求得半径.本题较好地体现了 圆与三角形知识的综合应用. 类似的，学生还可以提出：求 DE、AE、AD 的长度， 解题思路类似. 问题 3：求点 O 到 BD 的距离； 『分析』本题通过作 OF⊥BD,构造垂径定理基本模型，结合勾股定理便可 3 F3 求得结论. 教师点拨：以上几个问题主要涉及圆的基本概念与定理，请同学们谈一谈学 习这部分内容的知识线索？ ——圆具备轴对称性和旋转对称性，利用轴对称变换的方法我们探索垂径定 理及其逆定理，然后用推理证明的方法进行证明；用旋转变换的方法我们探索圆 心角、弧、弦之间相等关系的定理，然后加以证明；我们还用推理证明的方法研 究了圆周角与圆心角的关系. 教师点拨：虽然圆这部分涉及的知识非常丰富，但只要我们把握了学习的基 本线索，相关的概念、定理便易于理解、掌握.本章还研究了与圆有关的位置关 系，请同学们继续就有关内容提出新的问题？ 问题 4：求证 DE 是⊙O 的切线 『分析』本题主要考察直线与圆的位置关系，证明方法多种，涉及知识面较 丰富，是一个很有价值的问题.为此，本题先由学生独立完成，再进行分组讨论， 讨论、比较不同的证明方法，总结规律. 证法 1：由于已知点 D 为圆上一点，要求证 DE 是⊙ O 的切线，根据切线得判定定理，可构造辅助线 OD，并 证明半径 OD⊥DE.具体方法如下：连接 DO、AD，因为 AB 是 直径，所以∠ADB＝90 º，即∠1＋∠4＝90 º；又因为 DE ⊥AC，所以∠4＋∠C＝90 º，可得∠1＝∠C＝30 º.因为 AB＝AC，所以∠B＝∠C＝ 30 º，故∠3＝90 º －∠B＝60 º；又因为 OD＝OA，所以∠2＝∠3＝60 º，所以 ∠ODE＝∠1＋∠2＝90 º，即半径 OD⊥DE，从而得证 DE 是⊙O 的切线. 教师点拨：这种证法的亮点在于准确把握了证明直线与圆相切的一种常用的 辅助线作法，构造半径 OD，通过证明 OD⊥DE，从而得证 DE 是⊙O 的切线.还 有其它证明方法吗？ 证法 2：可以通过证明 OD∥AC，由∠ODE=∠DEC=90 º，证明 DE 是⊙O 的切线.具体方法如下：连接 DO，因为 OB=OD，AB=AC，所以∠5=∠B，∠C=∠B，故∠5﹦∠C， 所以 OD∥AC；又因为 DE⊥AC，所以∠ODE﹦∠DEC＝90 º ，即半径 OD⊥DE，所以 DE 是⊙O 的切线. 教师点拨：本题结合了平行线的性质与判定，使证明方法更简洁了，可见在 几何证明过程中，知识综合应用的优越性. 5 1 3 4 24 证法 3：还有更简洁的方法！由于 BO=AO，BD=CD，利用三角形中位线即 可得证 OD∥AC，便易证 DE 是⊙O 的切线. 『分析』通过一题多证，从多角度构建起知识的联系与拓展，进一步丰富的 几何知识体系的构建.教师适时进行点拨，结合本题总结归纳直线与圆的位置关 系的有关知识以及与切线有关的常用辅助线作法. 第二环节：变式练习 变式：如图，已知⊙O 的直径 AB＝2，∠ABC＝30 º，BC ＝2 ，D 是 BC 的中点，试判断点 D 与⊙O 的位置关系. 请判断下列解题过程是否正确？ 解：连接 OD、AD, ∵AB 是直径 ∴∠ADB＝90 º ∵AO=BO ∴OD＝ =AO ∴点 D 在圆上 『分析』本题考查点与圆的位置关系，基本的思想方法是转化为点到圆心的 距离与半径比较，即把“形”的关系，转化为“数”的关系.该题解题过程为看 似利用“直径所对的圆周角是直角”以及“直角三角形斜边的中线等于斜边的一 半”便可获得结论，然而仔细分析题目条件却发现∠ADB 并没有条件确定圆周 角，条件不完备，解法错误.本题应利用勾股定理计算出 OD 的长度，再与半径 比较作出判断. 解：连接 OD，作 OF⊥BC 于点 F 在 Rt△BOF 中，∠B＝30 º，OF＝ OB＝ ∴BF＝ ∵D 是 BC 中点，BC＝2 ， ∴BD＝ BC＝ ∴DF＝BD－BF＝ 3 AB2 1 2 1 2 1 2 322 =− OFBO 3 2 1 3 2 3 F5 在 Rt△DOF 中，DO＝ ∴OD＝OB ∴点 D 在圆上 第三环节 课堂小结 1．通过开放问题情景，从多角度提出问题，逐步培养提出问题，解决问题 能力； 2．《圆》的内容综合性较强，在具体应用中，进一步完善知识体系构建. 四、教学设计反思 本课借用一道课后作业题作为研究对象，请学生从不同角度展开提问并尝试 解答，从另一个角度让学生把本章的知识点重新组织起来.由于问题的开放性， 学生提问的角度有许多，包括垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、点与圆的位置 关系、直线与圆的位置关系、与圆有关的计算等.通过教师引导，学生参与提问， 并尝试解决的方式，充分调动学生学习的积极性，体现了学习的自主性.学生编 制题目时，需要思考回忆本章知识的线索，对照过去的问题，是一种主动参与， 思维是开放的.通过这样的参与，有助于学生对所学知识的进一步理解与掌握， 有助于把章节知识内化到学生原有的认知体系中，并获得新的意义建构，符合新 课程教学的基本理念.课堂上学生还可以提出了许多精彩的问题，如求弧长问题、 求圆心角问题等，但由于时间所限，部分题目只能留待课下继续完成，面对当前 课改提出的探究式教学、开放式教学模式，如何掌控时间的分配，如何引导学生 学会发问，如何对学生提出的开放性问题进行有效点拨，如何优化资源的使用等 都是值得进一步研究与思考的课题. 12 1 2 3 22 22 =    +     =+ OFDF